第12章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

1、 第十二章第十二章 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)l 理解隨機(jī)現(xiàn)象，掌握兩種常用概型的概率計(jì)算；理解隨機(jī)現(xiàn)象，掌握兩種常用概型的概率計(jì)算；l 理解隨機(jī)變量及其均值和方差的概念，會(huì)分析簡(jiǎn)單理解隨機(jī)變量及其均值和方差的概念，會(huì)分析簡(jiǎn)單 隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的 概率分布及其均值、方差的計(jì)算；概率分布及其均值、方差的計(jì)算；l 理解正態(tài)分布，掌握其概率計(jì)算；理解正態(tài)分布，掌握其概率計(jì)算；l 理解總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握參數(shù)估計(jì)和理解總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握參數(shù)估計(jì)和 假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的 基本方法。基本方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件第二

2、節(jié)第二節(jié) 概率的定義概率的定義 第三節(jié)第三節(jié) 概率的基本公式概率的基本公式 第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 第五節(jié)第五節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布第六節(jié)第六節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第七節(jié)第七節(jié) 總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量第八節(jié)第八節(jié) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件l 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象l 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 l 基本事件基本事件l事件間的關(guān)系和運(yùn)算事件間的關(guān)系和運(yùn)算高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)概率論是研究什么的？概率論是研究什么的？ 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：不確定性與統(tǒng)計(jì)

3、規(guī)律性一、隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象：事先可斷言結(jié)果，即確定性確定性現(xiàn)象：事先可斷言結(jié)果，即確定性現(xiàn)實(shí)世界中兩類現(xiàn)象：現(xiàn)實(shí)世界中兩類現(xiàn)象：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)5 擲一枚硬幣，“正面” 向上或“反面”向上； 擲一枚骰子，可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)：1、2、3、4、5、6； 射擊一次，所中環(huán)數(shù)可能是010中任一個(gè)； 一只燈泡的使用壽命可能為任意的正實(shí)數(shù)。隨機(jī)現(xiàn)象舉例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、隨機(jī)試驗(yàn)二、隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn): :對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察.簡(jiǎn)稱試驗(yàn)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)： 1. 可以在相同條件下重復(fù) 2. 每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果已知； 3. 每次試驗(yàn)前

4、不能斷定哪一種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)事件（事件）：隨機(jī)事件（事件）：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果。常用字母A,B,C,等表示。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)u 將一硬幣連拋三次，觀察“正面”向上的次數(shù)；u 從一批產(chǎn)品中任取一件，檢驗(yàn)是否正品；u 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；u 任選一人，記錄他的身高和體重 。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)舉例：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)舉例：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)必然事件必然事件( )( )：每次實(shí)驗(yàn)必然發(fā)生的事件不可能事件不可能事件( ():):每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的 事件。射擊訓(xùn)練中，某戰(zhàn)士射擊一次事件“命中環(huán)數(shù)小于2且大于5”是不可能事件。事件“命中的環(huán)數(shù)不超過10”是必然事件高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)思考思考 解放軍戰(zhàn)士進(jìn)行

5、射擊訓(xùn)練，每射一發(fā)子彈就是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)“射中的環(huán)數(shù)不小于8” 就是一個(gè)隨機(jī)事件請(qǐng)你繼續(xù)說出該實(shí)驗(yàn)的三個(gè)隨機(jī)事件高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、基本事件三、基本事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一單個(gè)結(jié)果例：例：“擲骰子擲骰子”的試驗(yàn)中的試驗(yàn)中若若,(1,2,3,4,5,6)iAii出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為123456,A A A A A A則就是該實(shí)驗(yàn)的所有基本事件練習(xí)練習(xí) 從兩件正品 、一件次品 共四件產(chǎn)品中任取兩件，試寫出該實(shí)驗(yàn)所有的基本事件；事件“取出的兩件中恰有一件次品”由哪些基本事件組成？12,a a12,b b注：注：由若干基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)1. 1. 包含關(guān)系包含關(guān)系“ “ 事件事件 A A發(fā)

6、生必有事件發(fā)生必有事件B B發(fā)生發(fā)生”，記為，記為A AB B AB A B且且B A.四、事件間的關(guān)系和運(yùn)算四、事件間的關(guān)系和運(yùn)算借助集合間的關(guān)系及其圖形表示和集合的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)122. 事件的并（和）：事件的并（和）： “事件事件A與事件與事件B至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生”，記作，記作A Bn個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作至少有一個(gè)發(fā)生，記作iniA1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)在射擊訓(xùn)練中89108ABC命中的環(huán)數(shù)是 環(huán)或9環(huán) ；命中的環(huán)數(shù)是 環(huán)或環(huán) ；命中的環(huán)數(shù)不小于，CAB則有例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3. 事件的交（積）事件的交（積）“事件事件A與事件與事件B同時(shí)發(fā)生

7、同時(shí)發(fā)生”，記作，記作 AB或或ABl n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An的交事件，記作的交事件，記作 A1A2An高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)AB至多命中3環(huán) ；命中奇數(shù)環(huán) ，AB與AB 命中的環(huán)數(shù)是1或3在射擊訓(xùn)練中，則 同時(shí)發(fā)生即命中的環(huán)數(shù)不超過3且是奇數(shù)，所以例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)4、互不相容（互斥）事件、互不相容（互斥）事件事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，即AB 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)5. 互逆事件互逆事件事件事件B為事件為事件A的逆事件：的逆事件：AB , 且且AB ，,ABAB易知：即事件 與 為互逆事件BA記作高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)6. 事件的運(yùn)算律事件的運(yùn)算律1、交換律：、交換律

8、：A BB A，ABBA2、結(jié)合律、結(jié)合律：(A B) CA (B C) (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(A B)C(AC) (BC)， (AB) C(A C)(B C)4、對(duì)偶、對(duì)偶(De Morgan)律律： ,.kkkkkkkkABABABABAAAA推廣：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)19 甲、乙兩人各向目標(biāo)射擊一次，設(shè)：甲、乙兩人各向目標(biāo)射擊一次，設(shè)：1234AAAA目標(biāo)被擊中 ：兩人恰有一人擊中目標(biāo) ：目標(biāo)未被擊中 ：兩人都擊中目標(biāo) ：ABABABABABAB = 甲擊中目標(biāo) ，乙擊中目標(biāo)試用試用A A、B B的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 第二節(jié)

9、第二節(jié) 概率的定義概率的定義l概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義l概率的古典定義概率的古典定義 概率：概率：描述事件發(fā)生的可能性大小的描述事件發(fā)生的可能性大小的量量高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)事件的概率應(yīng)具有何種性質(zhì)？事件的概率應(yīng)具有何種性質(zhì)？* * 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？* * 擲一顆骰子，出現(xiàn)擲一顆骰子，出現(xiàn)6 6點(diǎn)的概率為多少？點(diǎn)的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？* * 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)1 1、事件的頻率、事件的頻率 一、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、概率的統(tǒng)計(jì)定義定義定

10、義: 事件事件 在在 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn) 次，則次，則比值比值 稱為事件稱為事件 的的頻率頻率，記為，記為 , 即即 Ann( )AnnfAn( )nfAAnAAn高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 歷史上有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 頻率的性質(zhì)：頻率的性質(zhì)：A0( )1P A0 1 1 1） 對(duì)于任一事件 ，有()1()0PP，0 2 2） ()( )( )P ABP AP B0 3 3） 若 ,則AB 0 2. 2. 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 實(shí)踐證明：實(shí)踐證明：隨著試驗(yàn)次數(shù)隨著試驗(yàn)次數(shù) 的增大，的增大， 逐漸逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定值趨向一個(gè)穩(wěn)

11、定值。此穩(wěn)定值稱為事件此穩(wěn)定值稱為事件A的的概率概率，記作記作P(A)。( )nfA0 fn高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A0( )1P A0 11 1） 對(duì)于任一事件 ，有( )1( )0PP ，02 2） A( ) 1( )P AP A 01 推論：推論： 對(duì)于任一事件 ，有()( )( )P ABP AP B0 3 3） 若 , 則AB 0 12nnAAA個(gè)事件 ， ， ，是互不相容的事件組，有1212()()()()nnP AAAP AP AP A0概率的性質(zhì)推廣：推廣： 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、概率的古典定義二、概率的古典定義古典古典概型概型一次隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件個(gè)數(shù)有限；一次隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事

12、件個(gè)數(shù)有限；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。概率概率計(jì)算計(jì)算( )mP An:n隨機(jī)試驗(yàn)包含的基本事件總數(shù):mA事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 5個(gè)電子器件中混有兩個(gè)不合格品，現(xiàn)從中任取兩件使用，求下列事件的概率: 取出的兩件都是合格品；(2) 取出的兩件都是不合格品；(3) 取出的兩件中恰有一件是合格品。 解：該實(shí)驗(yàn)基本事件總數(shù)為 (1)設(shè) ， 則事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)為 所以有 2510nCA 取出的兩件都是合格品233mC3( )10mP AnA例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) (3)設(shè) , 類似可得 C 取出的兩件中恰有一件合格品11323( )105C C

13、mP Cn 該例中的三個(gè)事件的概率之和是該例中的三個(gè)事件的概率之和是1 1，為什么？，為什么？ (2)設(shè) ， 則事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)為 所以有 B 取出的兩件都是不合格品B221mC1( )10mP Bn思考思考高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 從從5252張撲克牌中一次抽取張撲克牌中一次抽取5 5張，到最大同花張，到最大同花順的順的5 5張即獲大獎(jiǎng)，求某人一次抽取即獲大獎(jiǎng)的概率。張即獲大獎(jiǎng)，求某人一次抽取即獲大獎(jiǎng)的概率。55241( )649740P AC小概率事件小概率事件幾乎不可能事件幾乎不可能事件高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第三節(jié)第三節(jié) 概率的基本公式概率的基本公式l概率的加法公式概率的加法公式l條件概率與乘

14、法公式條件概率與乘法公式 l全概率公式全概率公式l事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性l 次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn)n高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)()( )( )P ABP AP BAB ()( )( )()P ABP AP BP AB時(shí)，有 一、概率的加法公式一、概率的加法公式特例特例幾何解釋幾何解釋高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABCl事件事件 兩兩互不相容：兩兩互不相容： ABC、()( )( )( )P ABCP AP BP C 是互不相容的事件組：是互不相容的事件組： 12,nAAA,11()()nniiiiPAP A推廣推廣高等數(shù)學(xué)

15、高等數(shù)學(xué) 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，求它能被2或5整除的概率。 A2110050)(APB5110020)(BPAB10110010)(ABPAB ()( )( )()P ABP AP BP AB111325105解：設(shè)取出的數(shù)能被2整除，則 設(shè) 取出的數(shù)能被5整除，則 并且，取出的數(shù)既能被2又能被5整除取出的數(shù)能被2或5整除 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、條件概率與乘法公式二、條件概率與乘法公式 一般地一般地 )|(BAP()()PABPA條件概率“事件事件B B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件的條件下，事件A A的概率：的概率：例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)條件概率計(jì)算條件概率計(jì)算()(|)

16、( )P ABP A BP B)()()|(APABPABP高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué))|()|()()(123121321AAAPAAPAPAAAP)|()()|()()(BAPBPABPAPABP概率的乘法公式概率的乘法公式l兩個(gè)事件：l三個(gè)事件：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 容器中有10只電子元件，其中4只次品，6只正品，從中連取2次，每次取一只，取后不放回，問兩只都取到正品的概率？解：設(shè) 第次取到正品 iA1 2i （， ）則 兩次都取到正品21AA106)(1AP95)|(12AAP因?yàn)?由乘法公式得：3195106)|()()(12121AAPAPAAP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 一批產(chǎn)品共100件，次品率為

17、10%，每次從中任取一件，取后不放回，連取三次，求下列事件的概率：（1）三次都取得合格品；（2）第三次才取得合格品。iAi解： 設(shè)第次取到合格品（1） 表示3次都取得合格品 321AAA由公式得：123121321908988()() (|) (|)0.72651009998P A A AP A P AA P AA A（2） 表示第三次才取到合格品 123A A A由公式得：12312131210990()() (|) (|)0.00831009998P A A AP A P AA P AA A例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、全概率公式三、全概率公式 市場(chǎng)上的某種商品，甲廠的產(chǎn)品占40%，乙廠的產(chǎn)品占

18、35%，丙廠的產(chǎn)品占25%。已知甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品合格率分別為95%、90%、85%。求買到的商品是合格品的概率。解：用 、 、 分別表示買到的產(chǎn)品分別是甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品。1H2H3H表示買到的產(chǎn)品是合格品。 A由于 是互不相容事件組，并且 ，于是 321,HHH123HHH 123123()AAA HHHAHAHAH 并且 也是互不相容事件組，如右圖：321,AHAHAH . 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一般地一般地 若事件組 兩兩互斥且nHHHH321、iniH1則對(duì)任一事件 ，有 A)|()()(1iniiHAPHPAP全概率公式由概率的加法公式與乘法公式，可得： 123123( )()(

19、)()()P AP AHAHAHP AHP AHP AH)|()()|()()|()(332211HAPHPHAPHPHAPHP9075. 085. 025. 09 . 035. 095. 04 . 0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 有三個(gè)形狀相同的盒子，第一個(gè)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)紅球；第二個(gè)盒子中有3個(gè)白球和1個(gè)紅球；第三個(gè)盒子中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球，今任取一盒子，從中任取1球，試求取得白球的概率。 解：設(shè) 取得白球， 此球取白第個(gè)盒子AiH321 、i則 滿足全概率公式的要求，所以 321,HHH)()()()(321AHPAHPAHPAP)|()()|()()|()(332211HAPHPHAPHP

20、HAPHP3623423143313231 .例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)四、事件的獨(dú)立性四、事件的獨(dú)立性()( )P A BP A85)(AP83)(BP83)|(ABP83)|(ABP)()|()|(BPABPABP顯然 解：依題意有 事件 對(duì)于事件 具有“獨(dú)立性” AB有時(shí)有時(shí)？例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定義定義：如果事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，即)()|(BPABP,則稱事件B對(duì)于事件A是獨(dú)立的，否則稱為不獨(dú)立。 事件獨(dú)立性的重要性質(zhì)事件獨(dú)立性的重要性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 若事件 對(duì) 獨(dú)立，則事件 對(duì) 也獨(dú)立。AABB 與 相互獨(dú)立 AB高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 性質(zhì)性質(zhì)2 事件 與 相互獨(dú)立AB()(

21、) ( )P ABP A P B推推 廣廣12,nnA AA個(gè)事件 ,相互獨(dú)立:其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率均不受其他 個(gè)事件的影響1n)().()().(2121nnAPAPAPAAAP性質(zhì)性質(zhì)3 如果事件 與 相互獨(dú)立，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨(dú)立。ABBAABAB高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 甲乙兩人獨(dú)立向一目標(biāo)射擊，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.8和0.7，求目標(biāo)被擊中的概率。解： 設(shè) 甲擊中目標(biāo)， 乙擊中目標(biāo)，AB則 甲乙同時(shí)擊中目標(biāo)， 目標(biāo)被擊中ABAB 根據(jù)公式，得()( )( )()P ABP AP BP AB94. 07 . 08 . 07 . 08 . 0例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 如圖，

22、 三個(gè)元件 安裝在線路中，各個(gè)元件發(fā)生故障的概率分別為0.3、0.2、0.1，且相互獨(dú)立，求線路因元件發(fā)生故障而中斷的概率。, ,a b c)()()()(ABCPBCPAPDP)()()()()()(CPBPAPCPBPAP314. 01 . 02 . 03 . 01 . 02 . 03 . 0根據(jù)公式得 abc解： 設(shè) 元件 發(fā)生故障 元件 發(fā)生故障 元件 發(fā)生故障 線路中斷 ABCD()DABC則：線路暢通的概率為: 686. 0314. 01)(1DP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)nAk( )nP k.在 重貝努利試驗(yàn)中，事件 發(fā)生了 次的概率記為 五、五、 次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn)nnn次（重）獨(dú)

23、立試驗(yàn)或 貝努利試驗(yàn)每次試驗(yàn)的條件是一樣的且可以重復(fù) 每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 每次試驗(yàn)的基本事件只有兩個(gè) 這樣的概率問題又稱貝努利概型貝努利概型。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)解：運(yùn)動(dòng)員每次投籃是獨(dú)立的，所以三次投籃是3次獨(dú)立試驗(yàn)。iAi1,2,3i 設(shè) 第 次投中 三次投籃恰好投中2次 B三次投籃投中2次共有種 情況：123AA A123AA A123AA A23C并且這三種情況是互不相容的。由事件的獨(dú)立性，這三種情況的概率都是 qp2123123123BAA AAA AAA A且根據(jù)概率的加法公式得：23123123123( )()()()P BPP A A AP A A AP A A AqpCqp22

24、323即投籃3次投中的概率為 232233)2(qpCP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)概率計(jì)算每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：,1ApAqp 若 的概率記為則 的概率為AA或( )nAknP k事件 恰好發(fā)次獨(dú)立試驗(yàn)中，“”的概率生 次為：knkknnqpCkP)(0,1,2,3,kn 某車隊(duì)有汽車20輛，每輛車發(fā)生故障的概率都是0.1，“同時(shí)有5輛車發(fā)生故障”的概率為032. 0)9 . 0() 1 . 0()5(15552020 CP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 5門炮同時(shí)向一個(gè)目標(biāo)各射一發(fā)炮彈，有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)即被摧毀。在一次射擊中，每門炮擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求能摧毀目標(biāo)的概率。 解：這是一個(gè)5次

25、獨(dú)立試驗(yàn)問題。設(shè) 5門炮中恰有 門炮命中，則它的概率為kAkkkqpCkPAP5555)()(kkC555)4 . 0()6 . 0(0,1,2,3,4,5k B2345AAAA摧毀目標(biāo)01BAA010155( )1( )1()1()()1(0)(1)P BP BP AAP AP APP 913. 00768. 001024. 01)4 . 0()6 . 0()4 . 0()6 . 0(141155005CC則 所以 即摧毀目標(biāo)的概率為0.913.k例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 l 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念l 隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類 l離

26、散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列l(wèi)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 一批產(chǎn)品共有一批產(chǎn)品共有10件，其中有件，其中有3件次品，從中任取件次品，從中任取2件，用件，用 表表示示2件中的次品數(shù)。則件中的次品數(shù)。則 的取值為的取值為0，1，2. 一籃球運(yùn)動(dòng)投籃一次，可用一籃球運(yùn)動(dòng)投籃一次，可用“ ”表示投不中，用表示投不中，用 “ ”表示投中。表示投中。 01定義定義用來(lái)表示隨機(jī)事件的變量稱為用來(lái)表示隨機(jī)事件的變量稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量記號(hào)：記號(hào)：XY希臘字母“ ”、“ ”或大寫英文字母“ ”、“ ”等例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二

27、、隨機(jī)變量的分類二、隨機(jī)變量的分類 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量所能取的值可以一一列舉（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）。隨機(jī)變量所能取的值可以一一列舉（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）。前面兩例中的隨機(jī)變量就是離散型隨機(jī)變量。前面兩例中的隨機(jī)變量就是離散型隨機(jī)變量。2. 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間（有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間）不能隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間（有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間）不能一一列舉。一一列舉。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、離散型隨機(jī)變量的分布列三、離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)性質(zhì) 01kp11kkp（1）非負(fù)性： （2）歸一性： 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例3 求例1中隨機(jī)變量的分布列。解： 的可能取值為

28、0、1、2。由古典概型可得：157)0(2100327cccP157) 1(2101317cccP151)2(2102307cccP 因此， 的分布列為高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（1）兩點(diǎn)分布）兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量的 可能取值只有0和1，它的分布列為則稱 為兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布。 l 一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果的概率問題都可用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果的概率問題都可用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。 例4 在例2中，若投中的概率為0.7，則這個(gè)兩點(diǎn)分布為2. 兩種常用離散型隨機(jī)變量的分布列兩種常用離散型隨機(jī)變量的分布列高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（2）二項(xiàng)分布）二項(xiàng)分布在 重貝努里實(shí)驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率為P,n的分布列為n

29、( )()(1)kkn knnP kPkC pp0,1,2,kn( , )B n p 這個(gè)分布列稱為參數(shù)為 和P的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布，記為nA： 次試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例5 5 某工廠生產(chǎn)的螺絲釘次品率為某工廠生產(chǎn)的螺絲釘次品率為0.050.05，每個(gè)螺絲釘是否為次品是相互，每個(gè)螺絲釘是否為次品是相互獨(dú)立的。這工廠將獨(dú)立的。這工廠將1010個(gè)螺絲釘包為一包出售，并承諾若一包內(nèi)多于一個(gè)次個(gè)螺絲釘包為一包出售，并承諾若一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨，求每包螺絲釘次品數(shù)品即可退貨，求每包螺絲釘次品數(shù) 的分布列和產(chǎn)品的退貨率。的分布列和產(chǎn)品的退貨率。)05.0 ,10( BkkkCkP101

30、095. 005. 0)(01210k ， ， ， ，A 一包螺絲釘被退回0862. 095. 005. 01) 1(1) 1()(101010KkkkCPPAP解：由題意，顯然有，所以分布列為 設(shè) 即退貨率為8.62%。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)四、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)四、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義定義性性質(zhì)質(zhì)1)(dxxf（2）歸一性歸一性：)(0)(xxf（1）非負(fù)性非負(fù)性：注注0)()(aadxxfaP高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)602(42)(02)( )0Axxxf x其它)31 (P)0(P 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為（1）求A （2）求 （3）求202138)24()(AdxxxAdxxf解：（1

31、）根據(jù)歸一性得：83A所以 21)24(83)()31 (23121dxxxdxxfP(2) 0000)()0(dxdxxfP（3）例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)lccabldxablccP1)(（2）baabdxdxxf1)()(ab 1其它01)(bxaabxf解： （1）根據(jù)密度函數(shù)的歸一性得所以 即 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l,ba其它01)(bxaabxf隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 則稱 服從區(qū)間 上的均勻分布均勻分布 ,ba可粗略地理解為可粗略地理解為 取取 中任一點(diǎn)值的可能性相等中任一點(diǎn)值的可能性相等。均勻分布均勻分布高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 某路公共汽車每隔15分鐘一班，來(lái)客到站時(shí)間是隨機(jī)的，求某乘客到

32、達(dá)汽車站后，等車時(shí)間不超過5分鐘的概率？15, 0其它0150151)(xxf31151)50(50dxP解：設(shè)乘客的等車時(shí)間為乘客到達(dá)車站的任一時(shí)刻是等可能的。 即 服從于 上的均勻分布。因此 所以 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第五節(jié)第五節(jié) 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布l 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義l正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算l 正態(tài)分布應(yīng)用舉例正態(tài)分布應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 )(21)(222)(xexfx 其中其中0, 為常數(shù)。則稱為常數(shù)。則稱服從參數(shù)為服從參數(shù)為2,的的正態(tài)分布正態(tài)分布， 記為記為),(2N。 一、正態(tài)分布的定義

33、一、正態(tài)分布的定義定義定義高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)正態(tài)曲線正態(tài)曲線：正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù))(xf的圖像的圖像。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1.1.位位置：置：x軸上方，軸上方，對(duì)稱軸對(duì)稱軸：直線直線x，漸近線：漸近線：x軸軸； 2.2. 最高點(diǎn)最高點(diǎn)：( ,( )f，拐點(diǎn)拐點(diǎn)：121(,2e），曲線呈現(xiàn)中間高，曲線呈現(xiàn)中間高、兩兩邊對(duì)稱降低的“邊對(duì)稱降低的“鐘形鐘形” 。” 。 3.3. ：位置參數(shù)位置參數(shù)，：形狀形狀參數(shù)，參數(shù)，越大，曲線越“矮胖越大，曲線越“矮胖”; ; 越越小，曲線越“高瘦小，曲線越“高瘦” 。 正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)概率意義概率意義若若2( ,)N ， 則， 則以

34、很大的概率取值于以很大的概率取值于的附近； 在的附近； 在兩側(cè)取兩側(cè)取值的概率相同，值的概率相同，越小， 在越小， 在兩側(cè)近旁取值的概率越大， 取值越集中。兩側(cè)近旁取值的概率越大， 取值越集中。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)當(dāng)當(dāng)1, 0時(shí)，密度函數(shù)時(shí)，密度函數(shù))(xf變?yōu)樽優(yōu)?)(21)(22xexfx 稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，記為(0,1)N。它的對(duì)稱軸為。它的對(duì)稱軸為y軸，即軸，即)(xf為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特例特例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)69二、正態(tài)分布的概率計(jì)算二、正態(tài)分布的概率計(jì)算1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算若(0,1)N，令 dxexPx

35、xx2221)()( )(x的的重要重要性質(zhì)性質(zhì)。 )(1)(xx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)表中表中列出列出了了0 x時(shí)時(shí))(x的值的值。 計(jì)算方法計(jì)算方法l利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表l 計(jì)算公式計(jì)算公式()( )( )P abba 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 已知(0,1)N，求（1）)5 . 1(P （2）)5 . 15 . 0(P （3）) 1(P （4）)2(P. 解：（1）9332. 0)5 . 1 ()5 . 1(P（2）2417. 06915. 09332. 0) 5 . 0() 5 . 1 () 5 . 15 . 0(P（3）1587. 08413. 01) 1 (1) 1(1) 1(

36、PP（4）9772. 0)2()2(1)2(1)2(PP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2.一般正態(tài)分布的概率計(jì)算一般正態(tài)分布的概率計(jì)算222()2211()()22tuxxuxxPxedtedu令),(2N若，則)()()()()(abaPbPbaP所以一般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式一般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式 )()()(abbaP即 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 已知)2 , 1 (2N，求（1）)2(P （2）)5 . 11(P （3）)5 . 0(P. 解：（1）6915. 0)5 . 0()212()2(P （2）) 1()25. 0 ()211()215 . 1() 5 . 11(P 4400. 08413.

37、 015987. 0)1 (1 ()25. 0( （3 3） 5987. 0)25. 0()25. 0(1)215 . 0(1)5 . 0(1)5 . 0(PP例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)若),(2N，求（1）)(P （2）)2(P （3）)3(P. 同理可得： 解：（1）)()(PP6826. 01) 1 (2) 1() 1 ( (2) 9544. 01)2(2)2(P (3) 9974. 01) 3(2)3(P例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)若),(2N，則以 99.74%的概率落在區(qū)間3,3中。而落在)3,3(之外的概率不到 0.3%。 若),(2N，則) 1 , 0( N, 變換稱為一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化一

38、般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化。 說明說明高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)76 三、正態(tài)分布應(yīng)用舉例三、正態(tài)分布應(yīng)用舉例解： (1) )5001900018000(1)18000(1)18000(PP9772. 0)2()2(1即任取1臺(tái)是合格品的概率為0.9772.應(yīng)用應(yīng)用1.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（2）設(shè)A=“任取2臺(tái)至少有1臺(tái)合格”則A=“2臺(tái)都不合格”9995. 0)9772. 01 (1)(1)(2APAP即任取2臺(tái)至少有一臺(tái)合格的概率為0.9995.（3）每天收看5小時(shí)，10年共時(shí))50019000182500(1)18250(1)18250(PP9332.0)5 .1 ()5 .1(1即

39、使用期不小于10年的概率為0.9332.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)解: 因?yàn)?5 ,100(2N所以 )5100115(1)115(1)115(PP0013. 0) 3(1即該工程隊(duì)被罰款5000元的概率為0.0013.2.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第六節(jié)第六節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值均值描述隨機(jī)變量取值的平均狀況描述隨機(jī)變量取值的平均狀況方差方差描述隨機(jī)變量取值的偏離程度描述隨機(jī)變量取值的偏離程度高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、均值一、均值1.離散型隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值要求n個(gè)人的平均身高，這n個(gè)人中，有1n個(gè)人身高為1x， 有2n個(gè) 人 身 高 為2x 有kn個(gè) 人 身 高 為kx（)21

40、nnnnk，則這n個(gè)人的平均身高為： 121 122121()kkkknnnxx nx nx nxxxnnnn例例一 般 地一 般 地 ， 如 果 隨 機(jī) 變 量的 可 能 取 值 為kxxx21,， 并 且()(1,2,3, )kkPxp ik，則隨機(jī)變量的取值應(yīng)穩(wěn)定在： kiiikkpxpxpxpx12211高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定義定義 則稱函數(shù)kiiikkpxpxpxpx12211)(E為隨機(jī)變量的均值均值（或稱數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望），記為即kiiipxE1)(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1 甲、乙兩臺(tái)設(shè)備各生產(chǎn)同一種零件 1000 件，它們的產(chǎn)品次品數(shù)分別為和。經(jīng)過一段時(shí)間的觀察，和的分布列為： 0

41、1 2 3 kP 0.7 0.1 0.1 0.1 0 1 2 3 kP 0.5 0.3 0.2 0 哪一臺(tái)設(shè)備的產(chǎn)品質(zhì)量好？哪一臺(tái)設(shè)備的產(chǎn)品質(zhì)量好？例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)解： 僅從分布列來(lái)看，很難作出判斷，我們來(lái)求二者的均值。6 . 01 . 031 . 021 . 017 . 00)(E7 . 032 . 023 . 015 . 00)(E所以)()(EE?？梢娂自O(shè)備在1000件產(chǎn)品中所出現(xiàn)的次品數(shù)的品均值較小，從這個(gè)意義上講，甲設(shè)備所加工的零件質(zhì)量好于乙設(shè)備。例例2 求兩點(diǎn)分布的均值解 分布列為 0 1 kP p q 1 qpqqpE10)(其中，由均值定義得高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例3 求二項(xiàng)分

42、布的均值( ,)B n P解 設(shè),則的分布列為)210()(nkqpCkPknkkn、根據(jù)均值定義和二項(xiàng)式定理得：knknknkknkknqpknknkqpkCE10)!( !)(nkknkknknknkqpCnpqpknknnp1) 1() 1(11111)!()!1()!1(npqpnpn1)( , )B n pnpE)(即二項(xiàng)分布的均值高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例4 某人每次投籃的命中率為0.65，他投籃10次，求平均命中次數(shù)。 (10,0.65)B解 設(shè)為命中次數(shù)，則于是次5 . 665. 010)( npE即投籃10次，平均命中6.5次。注意注意: 這只是一個(gè)理想的數(shù)值，它具有概率意義，實(shí)際

43、中與這個(gè)結(jié)果是有差別的。例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2.連續(xù)型隨機(jī)變量的均值連續(xù)型隨機(jī)變量的均值定義定義 如果連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為)(xf，且dxxfx)(存在， 則稱dxxxf)(為連續(xù)隨機(jī)變量的均值均值， 記為)(E，即 dxxxfE)()( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)其它01)(bxaabxf解 的密度函數(shù)為,ba)(E例例4 4 設(shè)為區(qū)間上的均勻分布，求。 則 babadxabxdxxxfE2)()(2)(baE,ba即均勻分布的均值，是區(qū)間的中點(diǎn)。例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)),(2N)(E例例5 5 設(shè)，求解 dxexEx222)(21)(dtetxtt22)(21令dttedtett222222因?yàn)?/p>

44、12122dtet022dttet，)(E所以上式右邊最后的值為，即) 1 , 0( N0)(E特別地特別地，若，則高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3.均值的性質(zhì)均值的性質(zhì)cccE)(性質(zhì)性質(zhì)1 1 設(shè)為常數(shù)，則.ba ,baEbaE)()(性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)為常數(shù)，則性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè) 與為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則)()()(EEE性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)與為兩個(gè)隨機(jī)變量，則)()()(EEE高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、方二、方 差差1.離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差例例6 甲、乙兩個(gè)學(xué)生的5次考試成績(jī)?nèi)缦卤矸治龇治觯?兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)都是80分，但成績(jī)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性有差異，甲比較穩(wěn)定，乙的學(xué)習(xí)成績(jī)波動(dòng)較大

45、。例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)如果離散型隨機(jī)變量的分布列為 )21()(nkpxPkk、， 則稱 knkkpEx21)( 為的方差方差，記為)(D, 即 nkkkpExD12)()( 同時(shí)稱)(D為的均方差均方差（或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差） 。 )(D)(E)(D越小， 取值越集中在附近，越大， 的取值越分散。定義定義說明說明高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)試比較那位工人的技術(shù)較穩(wěn)定。 0 1 2 3 kP 0.1 0.5 0.4 0 3 .1)(E3.1)(E解 ； ，所以均值相同。3 . 0)3 . 11 (3 . 0)3 . 10()(22D21.12 .0)3 .13(2 .0)3 .12(225 . 0)3 . 11

46、 (1 . 0)3 . 10()(22D41.00)3 .13(4 .0)3 .12(22)()(DD所以工人乙的技術(shù)比甲穩(wěn)定。和的分布列為：例例7 甲、乙兩名工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，日產(chǎn)量相等，且他們生產(chǎn)的次品數(shù)例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué))(D例例8 8 若服從兩點(diǎn)分布，求。解 因?yàn)閝E)(所以 pqqqpqD22)1 ()0()(類似地可求出，當(dāng)( , )B n p時(shí)npqD)(例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)如果連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為)( xf，且)(E存在，則稱 dxxfxEx)()(2 為的方差方差，記為)(D。即 dxxfxExD)()()(2 2.連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差定義定義高

47、等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)所以 dxxfbaxD)(2)(222)(12112abdxabbaxba即 21( )()12Dba在均勻分布中，,ba區(qū)間越長(zhǎng)，取值越分散；反之，取值越集中。,ba)(D例例9 9 若服從于區(qū)間上的均勻分布，求。解 前面已經(jīng)求出了2)(baE注：注：例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)dxexDx222)(221)(222222txtt edt令),(2N2)(D所以：若，則)1 ,0( N1)(D特別地特別地，若，則 ),(2N)(D例例10 10 若，求。解： 因?yàn)?(E，由方差定義得例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3.方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)C0)(CD性質(zhì)性質(zhì)1 1 為常數(shù)，則ba ,性質(zhì)性質(zhì)2 2

48、 設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)。則)()(2DabaD性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)與為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則)()()(DDD高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)分布名稱 分布列或密度函數(shù) 均值 方差 兩點(diǎn)分布 )1(pq 0 1 kp p q q q pq 二項(xiàng)分布 ),(pnB knkknqpCkP)( qpnk1;210、 np npq 均勻分布 其它0,1)(baxabxf 2ba 12)(2ab 正態(tài)分布 222)(21)(xexf （0） 2 常用分布的均值與方差：常用分布的均值與方差：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第七節(jié)第七節(jié) 總體總體 樣本樣本 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量l 總體和樣本總體和樣本l 樣本的數(shù)字特征樣本的數(shù)字特征l 統(tǒng)計(jì)量及

49、其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、總體和樣本一、總體和樣本l 總體總體：所研究對(duì)象的全體所研究對(duì)象的全體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)。是隨機(jī)變量隨機(jī)變量l 個(gè)體：個(gè)體：組成總體的每一個(gè)元素組成總體的每一個(gè)元素l 樣本：樣本：從總體中所抽取的從總體中所抽取的 個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體nl 樣本容量：樣本容量：樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目nu容量為 的樣本就是 個(gè)隨機(jī)變量12,nXXXnnu樣本值樣本值：一次抽樣后，1212,nnXXXx xx的一組取值注：注：樣本值不是隨機(jī)變量樣本值不是隨機(jī)變量高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)今后把樣本1X，2X，nX及其觀察值1x，2x，nx一律記為1X，

50、2X，nX，通過上下文不難看出它們是樣本還是樣本值。 例如，總體為一批燈泡的使用壽命，用X表示，一次抽樣得到一個(gè)容量為5的樣本，用1X，2X，3X，4X，5X表示，經(jīng)過觀測(cè)，它們的使用壽命為（單位：h） 1348，1726，1825，1130，1450 這就是樣本值。 說明說明高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l 隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣：抽到每一個(gè)個(gè)體的可能性相等：抽到每一個(gè)個(gè)體的可能性相等l 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽樣得到的樣本：隨機(jī)抽樣得到的樣本l 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：隨機(jī)抽樣得到的樣本中每一隨機(jī)抽樣得到的樣本中每一 個(gè)個(gè)體是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)個(gè)體是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 有返回有返回的隨機(jī)抽樣是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

51、的隨機(jī)抽樣是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽取的抽取的樣本容量相對(duì)于總體很小樣本容量相對(duì)于總體很小時(shí)，時(shí)，無(wú)返回?zé)o返回的隨的隨 機(jī)抽樣可機(jī)抽樣可近似看作近似看作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 注注：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、樣本的數(shù)字特征二、樣本的數(shù)字特征設(shè)設(shè)1X，2X，nX為來(lái)自總體為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本 l 樣本均值：樣本均值：l 樣本方差：樣本方差：l 樣本標(biāo)準(zhǔn)差（或樣本均方差）：樣本標(biāo)準(zhǔn)差（或樣本均方差）：11niiXXn2211()1niiSXXn211()1niiSXXn高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例 1 燈泡廠從某天生產(chǎn)的燈泡中

52、抽取10只進(jìn)行壽命測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)） 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 試求這個(gè)樣本的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 例例解：由樣本值得 1147)120011001050(101101 iiXX101 21012)(1101iiXXS )11471200()11471100()11471050(91222 9 .7578 1 .879 .75782SS 即樣本均值為1147，樣本均方差為1 .87。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、統(tǒng)計(jì)量及其分布三、統(tǒng)計(jì)量及其分布1、統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)量11,niiXXn樣本均值：22121()1niiS

53、XXnSS樣本方差：樣本均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）：幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量 ： 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)設(shè)總體212( ,),nXNXXX 為來(lái)自總體X的樣本， 則2( ,), (1,2, )iXNin （1） ()XUUn變量 (0,1),UN其概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出 2、常用統(tǒng)計(jì)量的分布、常用統(tǒng)計(jì)量的分布高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)t分布的密度函數(shù)的圖像：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)tT變量的概率可由 分布臨界值表查出( )( )P t ntn)(nt高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)注注:)()(1ntnt)(1nt)(nt高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例 3 設(shè)(8)Tt，且05. 0)(TP，查表求臨界值。 解： 查自由度為 8 的t分布臨界值表

54、得 05. 0)306. 2(TP 故臨界值2.306 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（3）統(tǒng)計(jì)量）統(tǒng)計(jì)量2222(1)()nS變量 222) 1(Sn是隨機(jī)變量，服從自由度為1n的2分布分布，記為22(1)n 2分布的密度函數(shù)與樣本容量n有關(guān)，n越大，2分布 就越接近于正態(tài)分布。2分布的概率可由2分布臨界值表查出。 22( )( ),Pnn)(2n高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 4 若25920 . 0)(）（P，查表求臨界值。 解：由2分布臨界值表查得 2919.20.025P（ ） 故19.2 例例 5 若25920 . 0)(）（P，查表求。 解： 由于25920 . 0)(）（P 所以

55、975. 0025. 01)(）（ 92P 查表得 2.70 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 6 若.95. 0)9(221P 求1與2。 解：如圖 所示，滿足題設(shè)的1與2有無(wú)數(shù)多對(duì)，為了方便起見，通常是指使陰影部分兩邊的面積相等的1與2，也就是指 025. 0)9()9(2212PP 即 975. 0)9(12P， 025. 0)9(22P 查表可得 12.70，219.2 即 2(2.70(9)19.2)0.95.P 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)l 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第八節(jié)第八節(jié) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)對(duì)總體分布中的參數(shù)作出對(duì)總體分布中的參數(shù)作出估計(jì)估計(jì)和和判斷判斷高等數(shù)學(xué)高

56、等數(shù)學(xué)在很多實(shí)際問題中，總體的分布形式往往已知，但分布中的參數(shù)卻是未知的，只要對(duì)參數(shù)做出推斷，即可確定總體的分布。 一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1、問題的提出：、問題的提出：參數(shù)估計(jì)問題參數(shù)估計(jì)問題2、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量：估計(jì)量：用樣本構(gòu)造適當(dāng)?shù)挠脴颖緲?gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體的某個(gè)未知參數(shù)來(lái)估計(jì)總體的某個(gè)未知參數(shù)估計(jì)值：估計(jì)值：由樣本值得到的估計(jì)量的值由樣本值得到的估計(jì)量的值點(diǎn)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)：用估計(jì)值來(lái)估計(jì)總體未知參數(shù)的用估計(jì)值來(lái)估計(jì)總體未知參數(shù)的方法方法未知參數(shù) 的估計(jì)量用 表示約定約定高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3、均值與方差的點(diǎn)估計(jì)、均值與方差的點(diǎn)估計(jì)()E XX2()D X

57、S例例 1 從一批儀器中隨機(jī)的抽取9臺(tái)，測(cè)得某技術(shù)數(shù)據(jù)如下： 479. 0 506. 0 518. 0 524. 0 488. 0 510. 0 510. 0 512. 0 515. 0 試估計(jì)該技術(shù)數(shù)據(jù)的均值與方差。 解：根據(jù)均值與方差的點(diǎn)估計(jì)式得 1()(0.4790.5060.515)0.50899E XX 2221()(0.4790.5089)(0.5150.5089) 0.000189 1D XS 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)4、估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)、估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)l 無(wú)偏性：無(wú)偏性：估計(jì)量的均值和未知參數(shù)真值之間估計(jì)量的均值和未知參數(shù)真值之間沒有偏移沒有偏移定義定義高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 2

58、證明X和2S分別是總體均值)(XE和總體方差)(XD的無(wú)偏估計(jì)量。 證 因?yàn)?11111()()()()()nniiiiE XEXE XnE XE Xnnn 同理可證 )()(2XDSE 所以X和2S分別是)(XE和)(XD的無(wú)偏估計(jì)量。 還可以證明 )(1)(112XDnnXXnEnii 注：注：211()niiXXn是)(XD的有偏估計(jì)量（偏小） 。這就是用2S而不用niiXXn12)(1作為總體方差估計(jì)量的原因。但當(dāng)n很大時(shí)，二者相差很小，都可以作為總體方差的估計(jì)量。 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l 有效性：有效性：估計(jì)量的估計(jì)量的方差方差應(yīng)盡可能的小應(yīng)盡可能的小定義定義即：估計(jì)值在被估參數(shù)的真值附近擺動(dòng)，且即：估計(jì)值在被估參數(shù)的真值附近擺動(dòng)，且擺動(dòng)擺動(dòng)幅度幅度應(yīng)盡可能的小應(yīng)盡可能的小高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 3 證明當(dāng)2n時(shí)，用X作為)(XE的估計(jì)量比)(2121XX 有效。 證明 例 2 中已經(jīng)證明了X和)(2121XX 的無(wú)偏性 )(1)(1)(1)1()(2121XDnXnDnXDnXnDXDniinii )(21)()(41)()(41)(212121XDXDXDXDXDXXD 當(dāng)2n時(shí)，)(21)(1XDXDn 即X比)(2121XX 作為)(XE的估計(jì)量有效。 例例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)找到一個(gè)找到一個(gè)區(qū)間區(qū)間及這