910研究性課題多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)二完美版

1、課題：9. 10研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)(二)教學目的：會用歐拉公式解決實際問題.教學重點：歐拉定理的應用.教學難點：在具體問題中會利用頂點 V、面數(shù)F、棱數(shù)E的關系互化+授課類型：新授課.課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入：1 簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做 成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋€球面 如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體.說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體2 五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：正多面體頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四面

2、體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220303.歐拉定理(歐拉公式)：簡單多面體的頂點數(shù) V、面數(shù)F及棱數(shù)E有關系式:V F -E =2.4.歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令 f ( p)二V F - E , f (p)叫歐拉示性數(shù)說明：(1)簡單多面體的歐拉示性數(shù)f(p) =2 .(2)帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)f (p) =0 例如：長方體挖去一個洞連結底面相應頂點得到的多面體f(P)=16 *16-32=0 +、講解范例:例1 .由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二 面體、正二十面體這五種.證明：設正多面體的每個面的邊數(shù)為n

3、，每個頂點連有 m條棱，令這個多面體的面數(shù)為 F，每個面有n條邊，故共有nF條邊, 是兩個面的公共邊，故多面體棱數(shù)E =叵2令這個多面體有V個頂點，每一個頂點處有每條棱有兩個頂點，故多面體棱數(shù)E二卩丫2由于每條邊都(1)m條棱，故共有mV條棱一由于(2)由(1)( 2)得：F空,V二生代入歐拉公式：nm2E 2E+m n.111 m n 2/又 m _3 ,1_ En _3,(3),(若 m 3 ,但m , n不能同時大于3 ,1 1 11則有0,即0這是不可能的)m n 2 m , n中至少有一個等于3 令n = 3,E1 1則1 丄-m 311, m 5 , 3 m 5 .m 6同樣若m

4、=3可得3空n乞5 .例2.歐拉定理在研究化學分子結構中的應用:1996年諾貝爾化學獎授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻的三位科學家 X60是由60個C原子構成的分子，它是形如足球的多面體+這個多面體有 60個頂點，以每一個頂點為一端點都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，計算C60分子中五邊形和六邊形的數(shù)目+解：設C60分子中有五邊形x個，六邊形y個+1C60分子這個多面體的頂點數(shù) V = 60，面數(shù)F二x y，棱數(shù)E =泊(3 60),21 由歐拉定理得：60 (x y) (3 60) =2(1),211另一方面棱數(shù)可由多邊形的邊數(shù)和來表示，得一(5x，6y)(3 60)(2),22由(1) (

5、2)得：x =12 , y =20-C60分子中五邊形有12個，六邊形有20個例3. 個正多面體各個面的內(nèi)角和為20二，求它的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)解：由題意設每一個面的邊數(shù)為m,則F（m2） =20二，F(xiàn)(m -2) =20, .mF2n,將其代入歐拉公式 VF-E=2,得V=12,設過每一個頂點的棱數(shù)為nc12n12n52則 e = V =6n , F = 得 12 -6n =2,即 爲=1 （1）,2mm3n m m 亠3 , n 二5,又 n 亠3 , n的可能取值為3, 4,5,當n =3或n =4時（1）中m無整數(shù)解；當 n =5,由（1 ）得 m =3 , E = 30 , - F

6、= 20 ,綜上可知：E =30 , V =12, F =20.三、 小結：歐拉定理的應用；會用歐拉公式V F - E = 2解決簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)的計算問題+四、課后作業(yè)： 1. 一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點數(shù)V和面數(shù)F有下面的關系：F= 2V- 43F證明：I E = 一 , V+ F-E= 223 V+ F- F = 2 F= 2V- 422. 設一個凸多面體有 V個頂點，求證：它的各面多邊形的內(nèi)角和為（V-2） 360°解：設此多面體的上底面有V上個頂點，下底面有 V下個頂點將其下底面剪掉，抻成平面圖形則V上 360° + （ V下2）

7、180° + （ V下2） 180°=（V上+ V下2） 360°=（V- 2） 360 °3. 有沒有棱數(shù)是7的簡單多面體？說明理由+證明：/ V+ F- E= 2 , V+ F= 7+ 2 = 9多面體的頂點數(shù) V 4，面數(shù)FA 4只有兩種情況 V= 4, F= 5或V= 5, F= 4但是有4個頂點的多面體只有四個面，不可能是5個面，有四個面的多面體是四面體，也只有四個頂點，不可能有5個頂點,沒有棱數(shù)是7的簡單多面體4. 是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個面，且每一個面都有奇數(shù)條邊 證明：設有一個多面體，有 F （奇數(shù)）個面，并且每個面的邊數(shù)ni,匕

8、 nF也都是奇數(shù)，則n1 壓川川nF = 2E，結果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這是不可但是上式左端是奇數(shù)個“奇數(shù)相加” 能的.不存在這樣的多面體五、板書設計（略）+六、課后記：風，沒有衣裳；時間，沒有居所；它們是擁有全世界的兩個窮人生活不只眼前的茍且，還有詩和遠方的田野。你赤手空拳來到人世間，為了心中的那片海不顧一切。運動太多和太少，同樣的損傷體力；飲食過多與過少，同樣的損傷健康；唯有適度可以產(chǎn)生、增進、保持體力和健康。秋水無痕聆聽落葉的情愫紅塵往事呢喃起漣漪無數(shù)心口無語奢望燦爛的孤獨明月黃昏遍遍不再少年路歲月極美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流滿面才得糊口，直到你歸了土；因

9、為你是從土而出的。你本是塵土，仍要歸于塵土。我始終相信，開始在內(nèi)心生活得更嚴肅的人，也會在外表上開始生活得更樸素。在一個奢華浪費的年代，我希望能向世界表明，人類真正需要的的東西是非常之微少的。世界上的事情，最忌諱的就是個十全十美，你看那天上的月亮，一旦圓滿了，馬上就要虧厭；樹上的果子，一旦熟透了，馬上就要墜落。凡事總要稍留欠缺，才能持恒。只有經(jīng)歷過地獄般的磨礪，才能練就創(chuàng)造天堂的力量；只有流過血的手指，才能彈出世間的絕響。時光只顧催人老，不解多情，長恨離亭，滴淚春衫酒易醒。梧桐昨夜西風急，淡月朦朧，好夢頻驚，何處高樓雁一聲？如果你長時間盯著深淵，深淵也會盯著你。所有的結局都已寫好 所有的淚水也

10、都已啟程卻忽然忘了是怎么樣的一個開始在那個古老的不再回來的夏日 無論我如何地去追索 年輕的你只如云影掠過而你微笑的面容極淺極淡逐漸隱沒在日落后的群嵐 遂翻開那發(fā)黃的扉頁 命運將它裝訂得極為拙劣含著淚 我一讀再讀 卻不得不承認青春是一本太倉促的書記憶是無花的薔薇，永遠不會敗落。我也要求你讀書用功，不是因為我要你跟別人比成就，而是因為，我希望你將來會擁有選擇的權利，選擇有意義，有時間的工作，而不是被迫謀生。盡管心很累 很疲倦 我卻沒有理由后退 或滯留在過去與未來之間三千年讀史，不外功名利祿；九萬里悟道，終歸詩酒田園。這是一個最好的時代，這是一個最壞的時代這是一個智慧的年代，這是一個愚蠢的年代；這是

11、一個光明的季節(jié)，這是一個黑暗的季節(jié)；這是希望之春，這是失望之冬；人們面前應有盡有，人們面前一無所有；人們正踏上天堂之路，人們正走向地獄之門。我有所感事，結在深深腸。你一定要“離開”才能開展你自己。所謂父母，就是那不斷對著背影既欣喜又悲傷，想追回擁抱又不敢聲張的人。心之所向 素履以往 生如逆旅 一個人的行走范圍，就是他的世界。因為愛過，所以慈悲；因為懂得，所以寬容。刻意去找的東西，往往是找不到的。天下萬物的來和去，都有他的時間。與善人居，如入芝蘭之室，久而自芳也；與惡人居，如入鮑魚之肆，久而自臭也。曾經(jīng)滄海難為水，除卻巫山不是云?；厥紫騺硎捝?，歸去，也無風雨也無晴。半生闖蕩，帶來家業(yè)豐厚，兒孫

12、滿堂，行走一生的腳步，起點，終點，歸根到底，都是家所在的地方，這是中國人秉持千年的信仰，樸素，但有力量。風吹不倒有根的樹我能承受多少磨難，就可以問老天要多少人生。心，若沒有棲息的地方，到哪里都是流浪如果有來生，要做一只鳥，飛越永恒，沒有迷途的苦惱。東方有火紅的希望，南方有溫暖的巢床，向西逐退殘陽，向北喚醒芬芳。如果有來生，希望每次相遇，都能化為永恒。不亂于心，不困于情。不畏將來，不念過往。如此，安好。笑，全世界便與你同聲笑，哭，你便獨自哭。一輩子，不說后悔，不訴離傷。上帝作證，我是真的想忘記，但上帝也知道，我是真的忘不了如果其中一半是百分百的話那就不是選擇了而是正確答案了，一半一半，選哪一半都

13、很困難，所以這才是選擇。跟著你，在哪里，做什么，都好。眠。我傾盡一生，囚你無期。擇一人深愛，等一人總是在接近幸福時倍感幸福，在幸福進行時卻患得患失。路過的已經(jīng)路人終老。癡一人情深，留一世繁華。斷一根琴弦，歌一曲離別。我背棄一切，共度朝夕。過，留下的且當珍惜 我相信，真正在乎我的人是不會被別人搶走的，無論是友情，還是愛情。我還是相信，星星會說話，石頭會開花，穿過夏天的木柵欄和冬天的 風雪之后，你終會抵達！ 每一個不曾起舞的日子，都是對生命的辜負。 每個清晨都像一記響亮的耳光，提醒我，若不學會遺忘，就背負絕望。 那一年夏天的雨 ,像 天上的星星一樣多 ,給我美麗的晴空 ,我們都有小小的傷口 ,把年

14、輕的愛縫縫又補補 ,我會一直站在你左右 ,陪你到最后的最后。如果一開始就知道是這樣的結局，我不知道自己是不是會那樣的奮不顧身。 黃昏是一天最美麗的時刻，愿每一顆流浪的心，在一盞燈光下，得到永遠的歸宿。 因為有了因為，所以有了所以。既然已成既然， 何必再說何必。想念是人最無奈的時候唯一能做的事情。你受的苦，會照亮你的路。 我希望有個如你一般的人。 如這山間清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上陽光一般的人，溫暖而不炙熱，覆蓋我所有肌膚。由起點到夜晚，由山野到書房，一切問題的答案都很簡單。我 希望有個如你一般的人，貫徹未來，數(shù)遍生命的公路牌。 歲月極美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪說并

15、用程這為再年余生，風雪是你，成多每內(nèi)淡 是你，清貧是你，榮華是你，心底溫柔是你，并用光所內(nèi)為界，也是你。個人的遭遇，命運的多舛都使我被迫成熟，這一切的代價都當是日后活下去的力量。送你的 白色沙漏 ,是一個關于成長的禮物 ,如果能給你愛和感動 ,我是多么的幸福 ,我有過很多的朋友 ,沒有誰像你一樣的溫柔 ,每當你牽起我的手 ,我就忘掉什么是憂愁。很多故事 不就是因為沒有結局才有了繼續(xù)等下去的理由。 有些人，有些事 ,是不是你想忘記 ,就真的能忘記 ? 也許有那么一個時侯，你忽然會覺得很絕望，覺得全世界都背棄了 你，活著就是承擔屈辱和痛苦。這個時候你要對自己說，沒關系，很多人都是這樣長大的。風平浪

16、靜的人生是中年以后的追求。當你尚在年少，你受的苦，吃的虧， 擔的責，扛的罪，忍的痛，到最后都會變成光，照亮你的路。 你要做一個不動聲色的大人了。不準情緒化，不準偷偷想念，不準回頭看。去過自己另外的生活。你 要聽話，不是所有的魚都會生活在同一片海里。有人說，魯迅是雜文，胡適是評論；魯迅是酒，胡適是水。酒讓人看到真性情，也看到癲狂，唯有水，才是日常所需， 是真生活。有時候會很自豪地覺得，我唯一的優(yōu)勢就是，比你卑微。于是自由。再也讀不到傳世的檄文，只剩下廊柱上龍飛鳳舞的楹聯(lián)。再也找不見慷慨的遺恨，只 剩下幾座既可憑吊也可休息的亭臺。再也不去期待歷史的震顫，只有凜然安坐著的萬古湖山。 呼蘭河這小城里邊

17、，以前住著我的祖父，現(xiàn)在埋著我的祖父。 詩意上 來時，文字不要破壞它。 水，看似柔順無骨，卻能變得氣勢滾滾，波涌浪疊，無比強大；看似無色無味，卻能揮灑出茫茫綠野，累累碩果，萬紫千紅；看似自處低下，卻能蒸騰九霄，為云為雨，為虹為霞一切達觀，都是對悲苦的省略我們孩還發(fā)多夫道知道了，就得看不我們后心回的”家“，不是起用看把一個有郵遞區(qū)號、郵差找得到的家，后心天能們后心回的”家“，不是空于而，風每都到小是一段時光。它們能夠躲過所有凝視的目光，卻躲不過那些出其不意投來的目光。中國人對待自然環(huán)境與外國人截然不同，外國人注意到的是人如何改變土地，而中國人關注的是土地怎樣改變了人。、堂皇轉(zhuǎn)眼凋零，喧騰是短命的別名。在流光溢彩的日子里，生命被鑄上妖冶的印記。托爾斯泰說：“憂來無方，窗外下雨，坐沙發(fā)，吃巧克力，讀狄更斯，心情又會好起來，和世界妥協(xié)。” 成熟是一種明亮而不刺眼的光輝，一種圓潤而不膩耳的聲響，一種不再需要對別人察言觀色的從容，一種終于停止向周圍申訴求告的大氣，一種不理會喧鬧的微笑，一種洗刷了偏激的淡 漠，一種無需聲張的厚實，一種能夠看的很遠卻并不