五年級(jí)奧數(shù)容斥問(wèn)題學(xué)科競(jìng)賽

1、容斥問(wèn)題容斥問(wèn)題 1、什么是容斥問(wèn)題、什么是容斥問(wèn)題 2、容斥原理、容斥原理容斥原理的進(jìn)階練習(xí)容斥原理的進(jìn)階練習(xí)基礎(chǔ)基礎(chǔ) 詳解：什么是容斥問(wèn)題詳解：什么是容斥問(wèn)題 探索之旅 容斥問(wèn)題容斥問(wèn)題容容包括包括斥斥排除排除661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。排隊(duì)問(wèn)題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第排隊(duì)問(wèn)題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第6，這一排共有幾個(gè)人？，這一排共有幾個(gè)人？ 洗好的洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個(gè)夾子？塊手帕夾在繩子上晾干，同一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個(gè)夾子？ 827=9（個(gè)）（個(gè)）答：一共要答

2、：一共要9個(gè)夾子。個(gè)夾子。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)或性質(zhì)2的事物個(gè)數(shù)等于性質(zhì)的事物個(gè)數(shù)等于性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2減減去它們的共同性質(zhì)。去它們的共同性質(zhì)。例：學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有例：學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有人，會(huì)彈電子琴的有17人，人，其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的有其中兩種樂(lè)器都會(huì)演

3、奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？人。這個(gè)文藝組一共有多少人？ 拉手風(fēng)拉手風(fēng)琴的人琴的人數(shù)：數(shù)：2424人人彈電子琴的彈電子琴的人數(shù)：人數(shù)：1717人人兩種兩種都會(huì)都會(huì)彈的彈的人數(shù)：人數(shù)：8 8人人？人？人24178=33（人）（人）答：一共有答：一共有33人。人。容斥原理：容斥原理：1 1、找分的類：、找分的類：2 2類類 找找1 1、2 2類共有的類共有的2 2、2 2類的總個(gè)數(shù)等于類的總個(gè)數(shù)等于2 2類的和減去它們類的和減去它們的共有的。的共有的。五年級(jí)學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有五年級(jí)學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成

4、績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有學(xué)優(yōu)秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有30人，問(wèn)五年級(jí)一共有多少人？人，問(wèn)五年級(jí)一共有多少人？ 語(yǔ)文優(yōu)秀的語(yǔ)文優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：6565人人數(shù)學(xué)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：8787人人兩科都優(yōu)秀兩科都優(yōu)秀的人數(shù)：的人數(shù)：3030？人？人658730=122（人）（人）答：五年級(jí)一共有答：五年級(jí)一共有122人。人。四（一）班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組和科技小組，每個(gè)學(xué)生至少參加一個(gè)小組，有四（一）班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組和科技小組，每個(gè)學(xué)生至少參加一個(gè)小組，有25人參加數(shù)學(xué)小人參加數(shù)學(xué)小組，組，23人參加科技小組，有人參加科技小組，有19

5、人兩個(gè)小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？人兩個(gè)小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？252319=29（人）（人）答：一共有答：一共有29人。人。例：一班有例：一班有48人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完了語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手誰(shuí)做完了語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手”有有37人舉手，又問(wèn)：人舉手，又問(wèn)：“誰(shuí)做完誰(shuí)做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手”有有42人舉人，最后問(wèn)：人舉人，最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)做完？請(qǐng)舉手誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)做完？請(qǐng)舉手”結(jié)果沒(méi)有人舉結(jié)果沒(méi)有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個(gè)？手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個(gè)？ 做完

6、語(yǔ)文的做完語(yǔ)文的人數(shù)：人數(shù)：3737人人做完數(shù)學(xué)的做完數(shù)學(xué)的人數(shù)：人數(shù)：4242人人兩科做完的兩科做完的人數(shù)：？人數(shù)：？48人人374248=31（人）（人）答：這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是答：這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是31人。人。五年級(jí)有五年級(jí)有122名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 語(yǔ)文優(yōu)秀的語(yǔ)文優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：6565人人數(shù)學(xué)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)：

7、人數(shù)：8787人人兩科做完的兩科做完的人數(shù)：？人數(shù)：？122人人6587122=30（人）（人）答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有30人。人。在在1到到100的全部自然數(shù)中，既不是的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)有多少個(gè)？的倍數(shù)有多少個(gè)？ 5 5的倍數(shù)的的倍數(shù)的個(gè)數(shù)數(shù)：個(gè)數(shù)數(shù)：6 6的倍數(shù)的的倍數(shù)的個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：3030的倍數(shù)的的倍數(shù)的個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：？個(gè)？個(gè)1005=20（個(gè)）（個(gè)）答：有答：有67個(gè)。個(gè)。不是不是5的倍數(shù)；不是的倍數(shù)；不是6的倍數(shù)；的倍數(shù)；不是不是30的倍數(shù)的倍數(shù)5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；30的倍數(shù)的個(gè)的

8、倍數(shù)的個(gè)數(shù)數(shù)1006=16 （個(gè)）（個(gè)） 410030=3 （個(gè)）（個(gè)） 1020163=33 （個(gè)）（個(gè)）10033=67 （個(gè)）（個(gè)）例：例：全班學(xué)生全班學(xué)生40人，愛(ài)好音樂(lè)的有人，愛(ài)好音樂(lè)的有18人，愛(ài)好舞蹈的有人，愛(ài)好舞蹈的有21，愛(ài)好美術(shù)的有，愛(ài)好美術(shù)的有9人，既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好舞蹈的有人，既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好舞蹈的有3人，既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好美術(shù)的有人，既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好美術(shù)的有1人，但沒(méi)有人這三種都愛(ài)好，也沒(méi)有人都不愛(ài)好的。問(wèn)有多少既愛(ài)人，但沒(méi)有人這三種都愛(ài)好，也沒(méi)有人都不愛(ài)好的。問(wèn)有多少既愛(ài)好舞蹈又愛(ài)好美術(shù)？好舞蹈又愛(ài)好美術(shù)？ 182193140=4440=4（人）（人） 答：有答：有4人

9、既愛(ài)好舞蹈又愛(ài)好美術(shù)。人既愛(ài)好舞蹈又愛(ài)好美術(shù)。某班有學(xué)生某班有學(xué)生50人，其中人，其中35人會(huì)游泳，人會(huì)游泳，38人會(huì)騎自行車，人會(huì)騎自行車，40人會(huì)溜冰，人會(huì)溜冰，46人會(huì)打乒乓。問(wèn)四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)人會(huì)打乒乓。問(wèn)四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)的至少有多少人？的至少有多少人？ 一項(xiàng)不會(huì)的就不符合一項(xiàng)不會(huì)的就不符合 一項(xiàng)不會(huì)的盡可能的多，即考一項(xiàng)不會(huì)的盡可能的多，即考慮重復(fù)的慮重復(fù)的 不會(huì)游泳的：不會(huì)游泳的： 5035=15（人）（人） 不會(huì)騎自行車的：不會(huì)騎自行車的： 5038=12（人）（人） 不會(huì)溜冰的：不會(huì)溜冰的： 5040=10（人）（人） 不會(huì)打乒乓的：不會(huì)打乒乓的： 5046=4（人）（人）四項(xiàng)都會(huì)的至

10、少有：四項(xiàng)都會(huì)的至少有： 50（1512104）=9（人）（人）課后過(guò)關(guān)：課后過(guò)關(guān)：一個(gè)旅行社有一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語(yǔ)的有人，其中會(huì)英語(yǔ)的有24人，會(huì)法語(yǔ)的人，會(huì)法語(yǔ)的18人，兩樣都不會(huì)的有人，兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？人。兩樣都會(huì)的有多少人？ 練習(xí)時(shí)間：容斥原理練習(xí)時(shí)間：容斥原理 探索之旅五年級(jí)五年級(jí)96名學(xué)生都訂了刊物，有名學(xué)生都訂了刊物，有64人訂了少年報(bào)，有人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生報(bào)，問(wèn)兩種刊物都訂的有多少人？人訂了小學(xué)生報(bào)，問(wèn)兩種刊物都訂的有多少人？64人48人？人（兩種都訂的）？人（兩種都訂的）96人64+48-96=112-96=16（人）1、一個(gè)班

11、的、一個(gè)班的52人都在做語(yǔ)文和數(shù)學(xué)作業(yè)，有人都在做語(yǔ)文和數(shù)學(xué)作業(yè)，有32人做完了語(yǔ)文作業(yè)，有人做完了語(yǔ)文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，這個(gè)班語(yǔ)文、人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級(jí)有、五年級(jí)有112人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語(yǔ)文得優(yōu)的有人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語(yǔ)文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有有87人，問(wèn)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)得優(yōu)的有多少人？人，問(wèn)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)得優(yōu)的有多少人？3、某班有、某班有50名學(xué)生，在一次測(cè)試中有名學(xué)生，在一次測(cè)試中有26人滿分，在第二次測(cè)試中有人滿分，在第二次測(cè)

12、試中有21人滿分。如果兩次測(cè)試都沒(méi)有得過(guò)滿分人滿分。如果兩次測(cè)試都沒(méi)有得過(guò)滿分的學(xué)生有的學(xué)生有17人，那么，兩次測(cè)試都獲滿分的有多少人？人，那么，兩次測(cè)試都獲滿分的有多少人？某地區(qū)的外語(yǔ)教師中，每人至少懂得英語(yǔ)和日語(yǔ)中一種語(yǔ)言。已知有某地區(qū)的外語(yǔ)教師中，每人至少懂得英語(yǔ)和日語(yǔ)中一種語(yǔ)言。已知有35人懂英語(yǔ)，有人懂英語(yǔ)，有34人懂日語(yǔ)，兩種語(yǔ)人懂日語(yǔ)，兩種語(yǔ)言都懂的有言都懂的有21人，這個(gè)地區(qū)有多少個(gè)外語(yǔ)教師？人，這個(gè)地區(qū)有多少個(gè)外語(yǔ)教師？1、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛(ài)好體育和文娛中的一種活動(dòng)，已知有、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛(ài)好體育和文娛中的一種活動(dòng)，已知有900人愛(ài)好體育活動(dòng)，有人愛(ài)好體育活動(dòng)，有850

13、人愛(ài)好文娛活人愛(ài)好文娛活動(dòng)，其中動(dòng)，其中260人兩種活動(dòng)都愛(ài)好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生多少人？人兩種活動(dòng)都愛(ài)好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生多少人？2、某班在一次測(cè)試中有、某班在一次測(cè)試中有26人語(yǔ)文獲優(yōu)，有人語(yǔ)文獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有人，另外還有8人語(yǔ)人語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都未獲優(yōu)，這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？文、數(shù)學(xué)都未獲優(yōu)，這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？3、第一小組的同學(xué)們都在兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有、第一小組的同學(xué)們都在兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有15人，做對(duì)第二題的有人，做對(duì)第二題的有10人，兩題都做對(duì)的人，兩題都做對(duì)的有有7人，兩題都做錯(cuò)的有

14、人，兩題都做錯(cuò)的有2人，第一小組一共有多少人？人，第一小組一共有多少人？612= 0.87-0.49= 1740= 1.68= 2.80.4= 14-7.4= 5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450= 4= 0.1250.25= 2.56-0.37= 1.054= 1.5+0.254= 30.20.5= 0.841.60.840.6= 12.518.50.8= 在在100個(gè)外語(yǔ)教師中，懂得英語(yǔ)的個(gè)外語(yǔ)教師中，懂得英語(yǔ)的75人，懂日語(yǔ)的人，懂日語(yǔ)的45人，其中必然有既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的老師，問(wèn)：只懂人，其中必然有既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的老師，問(wèn)：只懂英語(yǔ)的教師有多少人？英語(yǔ)的教師有多

15、少人？75+45=120（人）120-100=20（人）75-20=55（人）答：只懂英語(yǔ)的教師有答：只懂英語(yǔ)的教師有55人。人。1、40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題，已知做對(duì)第一題的有人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題，已知做對(duì)第一題的有30人，做對(duì)第二題的有人，做對(duì)第二題的有21人，問(wèn)：只做對(duì)第一題的有多少人？人，問(wèn)：只做對(duì)第一題的有多少人？2、五年級(jí)、五年級(jí)122名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)，已知語(yǔ)文名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)，已知語(yǔ)文65 人得優(yōu)，數(shù)學(xué)人得優(yōu)，數(shù)學(xué)78人得優(yōu)，人得優(yōu)，求只有語(yǔ)文一門得優(yōu)的人數(shù)。求只有語(yǔ)文一門

16、得優(yōu)的人數(shù)。3、全班、全班46名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有28人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有10人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有羽毛球的有6人，僅會(huì)打羽毛球的有多少人？人，僅會(huì)打羽毛球的有多少人？例：學(xué)校開(kāi)展課外活動(dòng)，共有例：學(xué)校開(kāi)展課外活動(dòng)，共有250250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的8383人，參加乒乓球組的有人，參加乒乓球組的有8686人，這兩個(gè)小組都參加的有人，這兩個(gè)小組都參加的有2525人。問(wèn)：這人。問(wèn)：這2502

17、50名同學(xué)中，乒乓球組都不會(huì)參加的有名同學(xué)中，乒乓球組都不會(huì)參加的有多少人？多少人？83+86-25=169-25=144（人）250-144=106（人）答：乒乓球組都不會(huì)參加的有答：乒乓球組都不會(huì)參加的有106人。人。1、100位旅客中，有位旅客中，有70人懂英語(yǔ)，有人懂英語(yǔ)，有65人懂日語(yǔ)，既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的有人懂日語(yǔ)，既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的有45 人，那么，既不懂英語(yǔ)又不人，那么，既不懂英語(yǔ)又不懂日語(yǔ)的有多少人？懂日語(yǔ)的有多少人？2、五（、五（1）班有學(xué)生）班有學(xué)生50人，在一次測(cè)試中，語(yǔ)文人，在一次測(cè)試中，語(yǔ)文90分以上的有分以上的有30人，數(shù)學(xué)人，數(shù)學(xué)90分以上的分以上的35人，語(yǔ)文和

18、數(shù)學(xué)都人，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都在在90分以上的有分以上的有20人，人，90分以下的有多少人？分以下的有多少人？3、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)。數(shù)學(xué)得、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)。數(shù)學(xué)得90分以上的有分以上的有25人，語(yǔ)文得人，語(yǔ)文得90分以上的有分以上的有21人，兩科中有一科有人，兩科中有一科有90分以分以上的有上的有38人，問(wèn)：兩樣都得人，問(wèn)：兩樣都得90分以上的有多少人？分以上的有多少人？例：實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有例：實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有2020人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏腥双@獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?616人不是四人不是四年級(jí)的，有年級(jí)的，有1212人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共32名，五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有幾名？名，