、ARCH模型和GARCH模型

1、第7章、ARCH模型和GARCH模型研究內(nèi)容：研究隨時間而變化的風險。（回憶：Markowitz均值方差投資組合選擇模型怎樣度量資產(chǎn)的風險）本章模型與以前所學的異方差的不同之處：隨機擾動項的無條件方差雖然是常數(shù)，但是條件方差是按規(guī)律變動的量。波動率的聚類性(volatiHtyclustering)：一段時間內(nèi)，隨機擾動項的波動的幅度較大，而另外一定時間內(nèi)，波動的幅度較小。如圖,R§1、ARCH模型1、條件方差多元線性回歸模型：yt=xj飛條件方差或者波動率(Conationvariance,volatility)定義為二；=vart<(；J=var(、，)其中匕4是信息集。2、

2、ARCH模型的定義Engle(1982)提出ARCH模型(autoregressiveconditionalheteroskedastidty,自回歸條件異方差)。ARCH(q)模型：yt=xtP+8t(1)q的無條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為；ttN(0.2)<=0(2)其中也4是信息集。方程（1）是均值方程（meanequation<:條件方差，含義是基于過去信息的一期預測方差方程（2）是條件方差方程（conditionalvarianceequatiorj）,由二項組成常數(shù)ARCH項咆:滯后的殘差平方習題：方程（2）給出了1的條件方差，請計算第的無條件方差。證明：利用方差分

3、解公式：Var(X)=VaryE(X|Y)+EyVar(X|Y)由于然|上二1_n(0尸t2),所以條件均值為0,條件方差為仃；。那么,2、t=vary(；t)2var(t)=Evan式t)=E；-1=E(s+a18t24+|ll+aq<)=ME；：4，：qE；t2/推出var(；t)=1-?i，說明小(°,47777npt;)3、ARCH模型的平穩(wěn)性條件在ARCH(1)模型中，觀察參數(shù)口的含義：當口t1時，var(q)T8當ST0時，退化為傳統(tǒng)情形，®tLN(0p)ARCH模型的平穩(wěn)性條件：工叫1(這樣才得到有限的方差)4、ARCH效應(yīng)檢驗ARCHLMTest:拉格

4、朗日乘數(shù)檢驗建立輔助回歸方程e2=-0.二者川,，02，4此處e是回歸殘差。原假設(shè)：H0:序列不存在ARCH效應(yīng)即H0:%=口2=I“=0可以證明：若H0為真，則LM=mR2L2(q)此處，m為輔助回歸方程的樣本個數(shù)。R2為輔助回歸方程的確定系數(shù)。Eviews操作：先實施多元線性回歸view/residual/Tests/ARCHLMTest§2、GARCH模型的實證分析從收盤價，得到收益率數(shù)據(jù)序列。seriesr=log(p)-log(p(-1)點擊序歹Up,然后view/linegraph2000150010005000.R1、檢驗是否有ARCH現(xiàn)象。首先回歸。取2000到225

5、4的樣本。輸入lsrc,得至U0.080.040.00-0.04-0.08-0.12200020502100215022002250IRDependentVariable:RMethod:LeastSquaresDate:10/21/04Time:21:26Sample:20002254Includedobservations:255VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.6916R-squared0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar0.S.E.ofreg

6、ression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzcriterion-5.Loglikelihood672.2847Durbin-Watsonstat2.問題：這樣進行回歸的含義是什么?其次，view/residualtests/ARCHLMtest,得至UARCHTest:F-statistic5.Probability0.Obs*R-squared44,68954Probability0.TestEquation:DependentVariable:RESIDA2Method:LeastSquaresDate:10/21/04Ti

7、me:21:27Sample(adjusted):20102254Includedobservations:245afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.5.34E-052.0.0405RESIDA2(-1).0310RESIDA2(-2).4041RESIDA2(-3).0000RESIDA2(-4).7059RESIDA2(-5)-0.0.-0.0.5522RESIDA2(-6)-0.0.-1.0.3160RESIDA2(-7)0.0.

8、0.0.9354RESIDA2(-8).1202RESIDA2(-9).8647RESIDA2(-10).3239R-squared0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-11.86836Sumsquaredresid9.19E-05Schwarzcriterion-11.71116Loglikelihood1464.875F-statistic5.Durbin-Watsonstat2.Prob(F-st

9、atistic)0.得到什么結(jié)論?2、模型定階：如何確定q實施ARCHLMtest時，取較大的q,觀察滯后殘差平方的t統(tǒng)計量的pvalue即可。此處選取q=3。因此，可以對殘差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的參數(shù)估計參數(shù)估計采用最大似然估計。具體方法在GARCH一節(jié)中講解。如何實施ARCH過程：由于存在ARCH效應(yīng)，所以點擊estimate,在method中選取ARCH(KquBtUITITUDWorkfile:3H»!一殉3“d“，aaaRNXhcdM.CMDZQ1021.04Trrw2147一加208的卜”30%«心皿35Corvnc4»chwd嗡”

10、，3a，tiE，OOCOMOCCOO?5O|5cc924E<6166606XCH：1)024413CC62640AflCHZ.008142$CM，而ARCH3)04579B3cio»?eP.父26Q83023e”如，ygyR.卬E001加S)M；xSE001753552%cSetqinrodrd03閔72SchwarrcL»|I<c4l»ld7X367377CvboWiVm»wEwelqu»ttonSp»«»ficat1«得到如下結(jié)果DependentVariable:RMethod:ML-A

11、RCHDate:10/21/04Time:21:48Sample:20002254Includedobservations:255Convergenceachievedafter13iterationsCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.C-0.0.-0.0.3937VarianceEquationC9.24E-051.66E-055.0.0000ARCH(1).0031ARCH(2).2930ARCH.0000R-squared-0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared-0.S.D

12、.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzcriterion-5.Loglikelihood705.7377Durbin-Watsonstat2.為了比較，觀察將q放大對系數(shù)估計的影響DependentVariable:RMethod:ML-ARCHDate:10/21/04Time:21:54Sample:20002254Includedobservations:255Convergenceachievedafter16iterationsCoefficientStd.Erro

13、rz-StatisticProb.C-0.0.-0.0.4238VarianceEquationC9.38E-051.60E-055.0.0000ARCH(1).0037ARCH(2).5521ARCH(3).0000ARCH(4)-0.0.-0.0.6672ARCH.3968R-squared-0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzc

14、riterion-5.Loglikelihood706.1198Durbin-Watsonstat2.觀察：說明q選取為3確實比較恰當4、ARCH模型是對的嗎？如果ARCH模型選取正確，即回歸殘差的條件方差是按規(guī)律變化的，那么標準化殘差就會服從標準正態(tài)分布，即不會有ARCH效應(yīng)了為什么？請思考。對q為3的ARCH模型做LMtest,發(fā)現(xiàn)沒有了ARCH效應(yīng)注意，雖然是同一個檢驗名稱，但是ARCH過程后是對標準化殘差進行檢驗。注意觀察被解釋變量或者依賴變量是什么？ARCHTest:F-statistic0.Probability0.Obs*R-squared2.Probability0.TestE

15、quation:DependentVariable:STD_RESIDA2Method:LeastSquaresDate:10/21/04Time:21:56Sample(adjusted):20102254Includedobservations:245afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.0000STD_RESIDA2(-1)-0.0.-0.0.5559STD_RESIDA2(-2)-0.0.-0.0.9536STD_RESIDA2(-3)-0.0.-0.0.3810STD_R

16、ESIDA2(-4)-0.0.-0.0.8745STD_RESIDA2(-5).9568STD_RESIDA2(-6)-0.0.-0.0.9096STD_RESIDA2(-7).3330STD_RESIDA2(-8)-0.0.-0.0.8523STD_RESIDA2(-9)-0.0.-0.0.8705STDRESIDA2(-10)-0.0.-0.0.7570R-squared0.Meandependentvar1.AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar2.S.E.ofregression2.Akaikeinfocriterion4.

17、Sumsquaredresid1078.160Schwarzcriterion4.Loglikelihood-529.1546F-statistic0.Durbin-Watsonstat2.Prob(F-statistic)0.方程整體是不顯著的。還可以觀察標準化殘差ARCH建模以后，procs/makeresidualserie切以產(chǎn)生殘差斗和標準化殘差氣/巴，以分別下是殘差和標準化殘差。可以看出沒有了集群現(xiàn)象。0.080.040.00-0.04-0.08200020502100215022002250RESID01RESID02還可以觀察波動率（條件方差）的圖形。對比r和殘差的圖形，發(fā)現(xiàn)條

18、件方差的起伏與波動率的大小一致。ARCH建模以后，procs/makegarchvarianceseries得至U仃2結(jié)論：ARCH模型確實很好描述了股票市場收益率的波動性。可以觀察系數(shù)之和小于1,滿足平穩(wěn)性條件。§3、GARCH模型當q較大時，采用Bollerslov(1986)提出的GARCH模型(GeneralizedARCH)1、模型定義二：二,三工i二三工產(chǎn)；條件方差方程均值。：過去的條件方差（也即預測方差，forecastvariance注意：均值方程中若沒有解釋變量（即只有常數(shù)，如RC）,則R2沒有直觀定義了，因此可為負）2、GARCH（p,q）模型的穩(wěn)定性條件計算擾動

19、項的無條件方差：var（；t）=E。：-:、：ivar（；t/）1var（；t-j）var（t）二二_：、；0GARCH是協(xié)方差穩(wěn)定的，因此是經(jīng)典回歸3、GARCH模型的參數(shù)估計采用極大似然估計GARCH模型的參數(shù)。下面以GARCH(1,1)為例。由GARCH(1,1)模型yt=x；t；ttLN(0,；2):2一,:;2I二'二2t1t41t1可以得到y(tǒng)t的分布為X|/N(xJ,T)由正態(tài)分布的定義公式，得到y(tǒng)t的pdf為2J（Yt-E（Yt）2f（ytl"t）二1一e2二t、2第t個觀察樣本的對數(shù)似然函數(shù)值為Inf（ytl't4）；lnrt2）-ln（.2二）（yt

20、9）220t其中二；二.二i:（乂二-x）2注意yi和yj之間不相關(guān)，因而是獨立的。似然函數(shù)為L=nnj（yti）取對數(shù)就得到了所有樣本的對數(shù)似然函數(shù)。其中條件方差項以非線性方式進入似然函數(shù)，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的選擇兩條原則：1)若ARCH(q)中q太大，比如q大于7時，則選擇GARCH(p,q)2)使用AIC和SC準則，選擇最優(yōu)的GARCH模型3)對于金融時間序列，一般選擇GARCH(1,1)就夠了?；仡橝IC和SC定義：1) AIC準則(Akaikeinformationcriterion)AIC=21nL2KnnAIC越小越好，結(jié)合如下兩者：K(自變量個數(shù))減少，模型簡

21、潔LnL增加，模型精確2) SC準則(Schwazcriterion)cc2lnLKln(n)SC二習題1:通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？GreeneP572點擊數(shù)據(jù)文件usinf_greene_p572進行回歸lsinflationcinflation(-l)DependentVariable:INFLATIONMethod:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:37Sample(adjusted):19411985Includedobservations:45afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-

22、StatisticProb.C.0047INFLATION(-1).0005R-squared0.Meandependentvar4.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar4.S.E.ofregression3.Akaikeinfocriterion5.Sumsquaredresid561.1625Schwarzcriterion5.Loglikelihood-120.6276F-statistic14.14110Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.檢驗ARCH效應(yīng)ARCHTest:F-stat

23、istic0.Probability0.Obs*R-squared1.Probability0.TestEquation:DependentVariable:RESIDA2Method:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:46Sample(adjusted):19461985Includedobservations:40afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.2204RESIDA2(-1)-0.0.-0.0.8557RESIDA2(-2)-0.0.-0.

24、0.9680RESIDA2(-3).4974RESIDA2(-4).9141RESIDA2(-5).4534R-squared0.Meandependentvar12.28323AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar34.15088S.E.ofregression36.00858Akaikeinfocriterion10.14287Sumsquaredresid44085.00Schwarzcriterion10.39620Loglikelihood-196.8574F-statistic0Durbin-Watsons

25、tat1.Prob(F-statistic)0習題2:通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？Lin的數(shù)據(jù)集點擊usinf文件seriesdp=100*D(log(p)lsdpcdp(-1)dp(-2)dp(-3)DependentVariable:DPMethod:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:10Sample(adjusted):1951:11983:4Includedobservations:132afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.0854DP(-1).0000DP(-2).0249DP(-3)0.0.3.