常微分方程解的結(jié)構(gòu)

1、)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：設(shè)為定義在內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，：設(shè)為定義在內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱線性相關(guān)，否稱線性相關(guān)，否稱定定則線性無關(guān)則線性無關(guān)義義12( )( )0,y xyqyyypx 設(shè)是方程的兩個(gè)設(shè)是方程

2、的兩個(gè)線性無關(guān)線性無關(guān)定理9.1定理9.1的解，則的解，則1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中為任意常數(shù)是方程的通解，其中為任意常數(shù)二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根1r2r,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根為特征根為(2) (2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根2(40)pq 所

3、以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解為一特解為特征根為特征根為另一特解另一特解;2xrxey (3) (3) 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程的通解為方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfq

4、yypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*( )( )( ),y xY xyx 二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個(gè)特解，如果是方程的一個(gè)特解，是方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解為為12( )( )y xyx定理定理如果與分別為方程如果與分別為方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx 和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，則的通解，則*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12(

5、)( ).ypyqyfxfx 是是方方程程的的通通解解常見類型常見類型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.1.( )nypyqyP x 設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為*( )yQ x為多項(xiàng)式，為多項(xiàng)式，代入方程代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x1011( )0nnnnQ xa xa xaqxa 時(shí)時(shí)，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x01,.naaa其中為待定系數(shù)其中為待定系數(shù)0 ,0qp時(shí)時(shí)， 可設(shè)， 可設(shè)12011( )nnnnQ xa xa

6、 xaxa x 0 ,0qp時(shí)時(shí)， 方程通解可由， 方程通解可由( )nyP x .直接積分得到直接積分得到設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可設(shè)可設(shè)*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若

7、 )3(, 02 qp , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論*( ) ,kxnyx e Qx 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 特別地特別地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的單根是特征方程的重根是特征方程的重根.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)

8、設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1ximkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(

9、cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是單根是單根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的

10、通解的通解求方程求方程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實(shí)部）（取實(shí)部）注意

11、注意xAexAexx sin,cos.)(的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別是分別是xiAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 4三、小結(jié)三、小結(jié)可可以以是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實(shí)部或虛部特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程x