高考專題復(fù)習(xí)第三節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及其應(yīng)用

1、第三節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要求-公眾號：新課標(biāo)試卷:1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的關(guān)系知識拓展1.公式的常用變形:tan ±tan =tan(±)(1tan ·tan );tan tan =1-tan+tantan(+)=tan-tantan(-)-1;sin cos =12sin 2.2.降冪公式:sin2=1-cos22;cos2=

2、1+cos22.3.升冪公式:1+cos =2cos22;1-cos =2sin22;1+sin =sin2+cos22;1-sin =sin2-cos22.4.常用的拆角、配角技巧:2=(+)+(-);=(+)-=(-)+;=+2-2=(+2)-(+);-=(-)+(-);15°=45°-30°4+=24-等.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)存在實數(shù),使等式sin(+)=sin +sin 成立.()(2)在銳角ABC中,sin Asin B和cos Acos B的大小不確定.()(3)公式tan(+)=tan+tan1-tantan可以變形為t

3、an +tan =tan(+)(1-tan tan ),且對任意角,都成立.()(4)存在實數(shù),使tan 2=2tan .()(5)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一冊P218例3改編)若cos =-45,是第三象限角,則sin+4=()A.-210B.210C.7210D.7210答案C3.(2020遼寧撫順一中三模)若sin =-27,則cos 2=()A.-4549B.4549C.4149D.4149答案C4.(2020課標(biāo)理,2,5分)若為第四象限角,則()A.cos 2>0B.cos 2<0C.s

4、in 2>0D.sin 2<0答案D5.(易錯題)若tan =13,tan(+)=12,則tan =. 答案17【易錯點分析】不會合理配角致誤.三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用1.(2019課標(biāo)文,7,5分)tan 255°=() A.-2-3B.2+3C.2-3D.2+3答案Dtan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3.2.(2020江蘇海安高級中

5、學(xué)模擬)計算:sin 21°cos 9°+sin 69°sin 9°的結(jié)果為()A.-32B.32C.12D.12答案Dsin 21°cos 9°+sin 69°sin 9°=sin 21°cos 9°+cos 21°sin 9°=sin 30°=12.3.(2020吉林松原模擬)若sin =35,且2,則tan+4=()A.-34B.34C.7D.17答案D若sin =35,且2,則cos =-1-sin2=1-352=45,所以tan =sincos=35-45

6、=34,故tan+4=tan+tan41-tantan4=-34+11-34×1=17.4.設(shè)sin 2=-sin ,2,則tan 2的值是. 答案3解析由sin 2=-sin ,得sin 2+sin =0,2sin cos +sin =0sin (2cos +1)=0.2,sin 0,2cos +1=0cos =-12,sin =32,tan =-3,tan 2=2tan1-tan2=-231-3=3.名師點評三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,要牢記公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值時,應(yīng)先求出相關(guān)角的三角函數(shù)值,再代入公式求值.三角函數(shù)公式的逆

7、用與變形用典例1(1)(2019江蘇,13,5分)已知tantan+4=23,則sin2+4的值是. (2)計算:tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°=. 答案(1)210(2)3解析(1)tantan+4=23,tan =- 23tan+4=23·1+tan1-tan,整理得3tan2-5tan -2=0,tan =-13或tan =2.sin2+4=22(sin 2+cos 2)=22·2sincos+cos2-sin2cos2+sin2=22·2tan+1-tan21+ta

8、n2.當(dāng)tan =-13時,sin2+4=210;當(dāng)tan =2時,sin2+4=210.(2)原式=tan(25°+35°)(1-tan 25°·tan 35°)+3tan 25°tan 35°=3(1-tan 25°·tan 35°)+ 3tan 25°tan 35°=3.變式若將本例(2)中的式子“tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°”變?yōu)椤皌an+tan(60°-)+3tan ·ta

9、n(60°-)”,其結(jié)論又如何呢?解析易知1-tan tan(60°-)0,原式=tan+(60°-)1-tan ·tan(60°-)+3tan tan(60°-)=3.名師點評三角函數(shù)公式的活用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同,創(chuàng)造條件逆用公式.(2)tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一.應(yīng)注重公式的逆用和變形使用.提醒(1)公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系.(2)注意特殊角的應(yīng)用,當(dāng)式子中出現(xiàn)12,1,32,3等數(shù)值時,一定要考

10、慮引入特殊角,把值變角,構(gòu)造合適公式運算的形式.1.(2020江蘇南通如東模擬)(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=. 答案2解析因為tan 45°=tan25°+tan20°1-tan20°tan25°=1,所以tan 25°+tan 20°=1-tan 20°tan 25°,所以(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=1+tan 25°+tan 20°+tan 20°tan 25&#

11、176;=2.2.(2020吉林梅河口第五中學(xué)模擬)若sin1-cos=13,則2cos+3sin-2sin22=. 答案-2解析sin1-cos=13,3sin =1-cos ,2cos+3sin-2sin22=2(2cos+1-cos-2)1-cos=-2.和差角公式的靈活應(yīng)用角度一變角問題典例2(1)已知sin+4=45,且4<<34,則cos 的值為. (2)(2020山東煙臺模擬)若cos(75°-)=13,則cos(30°+2)=. 答案(1)210(2)79解析(1)sin+4=45,且4<<34,2<

12、;+4<.cos+4=1-sin2+4=35.cos =cos+4-4=cos+4cos4+sin+4sin4=-35×22+45×22=210.(2)cos(75°-)=sin(15°+)=13,cos(30°+2)=1-2sin2(15°+)=1-2×19=79.角度二三角函數(shù)式的變換典例3已知,為銳角,tan =43,cos(+)=-55.(1)求cos 2的值;(2)求tan(-)的值.解析(1)因為tan =43,tan =sincos,所以sin =43cos .因為sin2+cos2=1,所以cos2=9

13、25,所以cos 2=2cos2-1=-725.(2)因為,為銳角,所以+(0,).又因為cos(+)=-55,所以+2,所以sin(+)=1-cos2(+)=255,所以tan(+)=-2.因為tan =43,所以tan 2=2tan1-tan2=247.所以tan(-)=tan2-(+)=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=211.名師點評1.三角公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當(dāng)“已知角”有一個時,應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.2.三角函數(shù)名的

14、變換技巧明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系,常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式,把正弦、余弦化為正切,或者把正切化為正弦、余弦.1.(2020東北三省三校四模)已知為銳角,若cos+4=35,則sin =()A.225B.3210C.25D.210答案D因為為銳角,所以+44,34,又cos+4=35,所以sin+4=1-cos2+4=45,所以sin =sin+4-4=22sin+4-cos+4=22×45-35=210.2.(2020山西運城高中聯(lián)合體模擬)若tan ,tan4-是方程x2+ax-3=0的兩個根,則a=. 答案-4解析因為tan ,tan4-是方程x2+ax-3=0

15、的兩個根,所以tan +tan4-=-a,tan tan4-=-3,所以tan4=tan+4-=tan+tan4-1-tantan4-=a4=1,所以a=-4.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(2020廣東揭陽第三中學(xué)模擬)若sin(-)=13,且2,則sin 2的值為()A.-229B.429C.229D.429答案B2.(2020浙江紹興嵊州模擬)已知tan(-)=3,tan =2,則tan 的值為()A.-1B.1C.-12D.12答案A3.(2020山西太原模擬)已知sin -cos =2,(0,),則tan =()A.-1B.-22C.22D.1答案A4.(2020遼寧沈陽二中模擬)設(shè)角的終邊過點(

16、1,2),則tan-4=()A.13B.32C.23D.13答案A5.(2020課標(biāo)理,9,5分)已知2tan -tan+4=7,則tan =()A.-2B.-1C.1D.2答案D6.(多選題)下列式子正確的是()A.sin 15°+cos 15°=62B.cos 75°=6+24C.23tan 15°+tan215°=1D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1答案ACD7.(多選題)已知函數(shù)f(x)=12cos x·sinx+3,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.f(x)

17、既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=12對稱C.f(x)的最大值為1D.f(x)在區(qū)間0,4上單調(diào)遞減答案ACDf(x)=12cos x·sinx+3=14sin xcos x+34cos2x=18sin 2x+38(1+cos 2x)=14sin2x+3+38,因為f(-x)-f(x),所以f(x)不是奇函數(shù),故A中結(jié)論錯誤;f(x)的最大值為2+38,故C中結(jié)論錯誤;f(x)在區(qū)間0,4上不是單調(diào)函數(shù),故D錯誤;令2x+3=k+2,kZ,得x=k2+12,kZ,當(dāng)k=0時,x=12,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=12對稱,故B中結(jié)論正確.故選ACD.8.(2020

18、遼寧沈陽重點聯(lián)合體期末)若cos(+)=35,sin-4=513,0,2,則cos+4=()A.-3365B.3365C.5665D.1665答案C(+)-4=+4,cos+4=cos(+)-4=cos(+)·cos-4+sin(+)·sin-4,0,2,0<+<,-4<4<4,sin(+)=45,cos-4=1213,cos+4=35×1213+45×513=5665.9.(2020浙江衢州四校期中)若sin +2cos =0(0<<),則tan=,cos2+4=. 答案-2;210解析由題意可知,當(dāng)cos

19、 =0時,sin +2cos =0(0<<)顯然無解,故cos 0,將sin +2cos =0等號兩邊同時除以cos ,得tan +2=0,即tan =-2.sin 2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=45,cos 2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=35,故cos2+4=22(cos 2-sin 2)=22×15=210.B組能力拔高10. (2020安徽合肥八中模擬)已知0<<<2,點P(1,43)為角終邊上的一點,且sin sin2-+cos cos2+=3314,則角=. 答案3解

20、析點P(1,43),|OP|=7,sin =437,cos =17.sin sin2-+cos cos2+=3314,sin cos -cos sin =3314,sin(-)=3314.0<<<2,0<-<2,cos(-)=1314,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=437×131417×3314=32.0<<2,=3.11.(2020廣東汕頭金山中學(xué)模擬)設(shè)R,函數(shù)f(x)=2sin 2xcos +2cos 2xsin 2cos(2x+)+cos ,xR.(1)若4,2,求f(x)在區(qū)間0,4上的最大值;(2)若f(x)=3,求與x的值.解析(1)原式=f(x)=2sin(2x+)-2cos(2x+)+cos =2sin2x+-4+cos .因為x0,4,所以2x0,2,則2x+-4-4,+4.又4,2,所以2x+-40,34.所以f(x)的最大值為2+cos .(2)f(x)=2sin2x+-4+cos =3,則cos =1且sin2x+-4=1,所以=2m,mZ,從而2x-4=2n+2,nZ,即x=n+38,nZ.12.(2020浙江金華十校期末)已知函數(shù)f(x)=sin2x+6-cos 2x+1,xR.(1)若x0,2,求