剛體的定軸轉(zhuǎn)動及轉(zhuǎn)動定律

1、第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體. 一、剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動一、剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動 . 剛體平動剛體平動 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動1、平動：、平動：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡 都保持完全相同，或都保持完全相同，或 者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的 初始位置間的連線初始位置間的連線 . 4-1、剛體的定軸轉(zhuǎn)動、剛體的定軸轉(zhuǎn)動第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的

2、定軸轉(zhuǎn)動剛體平動的特點(diǎn)：剛體平動的特點(diǎn)：（1）、剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的位移、速度和加）、剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的位移、速度和加 速度。速度。2、轉(zhuǎn)動：、轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動. 轉(zhuǎn)動又分轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和和非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動 .（2）、剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律即代表剛體的平動）、剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律即代表剛體的平動 規(guī)律。規(guī)律。第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)：剛體轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)：（1）、剛體內(nèi)所有的點(diǎn)（質(zhì)元）具有相同的角位移、）、剛體內(nèi)所有的點(diǎn)（質(zhì)元）具有相同的角位移、 角速度和角

3、加速度。角速度和角加速度。（2）、剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動的規(guī)律即代表了剛）、剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動的規(guī)律即代表了剛 體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律。體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律。3、剛體的運(yùn)動：一般情況下，剛體都可看成是平動剛體的運(yùn)動：一般情況下，剛體都可看成是平動 和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體的一般運(yùn)動：剛體的一般運(yùn)動： 質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動x一、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度一、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度z參考平面參考平面)()(ttt2、角

4、位移：、角位移：)(t 1、角坐標(biāo)、角坐標(biāo):0r 沿逆時針方向轉(zhuǎn)動沿逆時針方向轉(zhuǎn)動 :若若 則則 與角速度反向。與角速度反向。21大?。捍笮。悍较颍悍较颍旱谌碌谌?剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動二、勻變速轉(zhuǎn)動公式二、勻變速轉(zhuǎn)動公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動at0vv2102xtatv2202a xvv0t2202 2102tt勻變速轉(zhuǎn)動：勻變速轉(zhuǎn)動：剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動公式對比剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動公式對比轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量角加速度為恒量的運(yùn)動。的運(yùn)動。第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)

5、動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動三、角量與線量的關(guān)系三、角量與線量的關(guān)系tervrv2tnarereatetana1、速度與角速度、速度與角速度2、加速度與角加速度、加速度與角加速度第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動而均因受制動而均勻減速，經(jīng)勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動停止轉(zhuǎn)動 . 試求：試求：（1）角加速度和在此時間）角加速度和在此時間內(nèi)飛

6、輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動開始后）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度；時飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加時飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度速度 .解：解：（1）,srad510. 0 t = 30 s 時，時，設(shè)設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動飛輪做勻減速運(yùn)動00時，時， t = 0 s 第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動（2）s6t時，飛輪的角速度時，飛輪的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t時，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小時，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小22sm5

7、. 2sm42 . 0rv該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)r5 .372752N2222nsm6 .31sm)4(2 . 0ra第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例2 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動面通過中心的軸轉(zhuǎn)動 . 開始時，它的角速度開始時，它的角速度 ，經(jīng)，經(jīng)300s 后，后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1 . 已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比已知轉(zhuǎn)子的角

8、加速度與時間成正比 . 問問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？00解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng)t=300s 時時11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)子的角速度轉(zhuǎn)子的角速度232srad15021tct由角速度的定義由角速度的定義23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)43103

9、)300(45022N32srad)75(2tc第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Pz*OMFrdFrM剛體上剛體上P點(diǎn)的力點(diǎn)的力 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩為：的力矩為： F 一一 力矩力矩 M方向：右手定則方向：右手定則FdFrMsin大?。捍笮。?,0iiMFFF例例0,0iiMFFF力臂力臂第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量zOkFr討論討論FFFMrFrFzFF 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和: :321MMMM 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)

10、F則：則：()rFFsinrFk第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量3） 剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力和反作用力作用力和反作用力的力矩互相的力矩互相抵消。抵消。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFtrFM2Mmr 1、 單個質(zhì)點(diǎn)單個質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接（與轉(zhuǎn)軸剛性連接（ 在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）mF:即即2mrtnFFF()tnMrFFma rMF rtartrFk受力：受力：力矩：力矩：第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)

11、動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2、剛體轉(zhuǎn)動定律、剛體轉(zhuǎn)動定律OzjmjrjFejFiijejjFFF質(zhì)元質(zhì)元 受力為：受力為：jm2jejijjjMMMm r 其合力矩為：其合力矩為：jejijMMM則該質(zhì)元的合力矩為：則該質(zhì)元的合力矩為：第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量0ijjM 2e(jjjjMMm r)由此可得，質(zhì)點(diǎn)系（剛體）的合力矩為：由此可得，質(zhì)點(diǎn)系（剛體）的合力矩為：2ei()jjjjjjMMm r 內(nèi)力矩之和為零內(nèi)力矩之和為零即：質(zhì)點(diǎn)系的合力矩為所受外力力矩之和即：質(zhì)點(diǎn)系的合力矩為所受外力力矩

12、之和第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 .2(jjMm r) 轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：MJ 2jjjrmJ轉(zhuǎn)動慣量（轉(zhuǎn)動慣量（J）：）：第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量mrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 1）質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：）質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：2222112rmrmrmJjjj2、轉(zhuǎn)動慣量的計算方法：、轉(zhuǎn)動慣量的計算

13、方法： 2）質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：）質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md描述剛體轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量描述剛體轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量.（ 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置形狀及轉(zhuǎn)軸的位置 .）1、物理意義：、物理意義：第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2 對質(zhì)量線分布的剛體：對質(zhì)量線分布的剛體：lmdd：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度2 對質(zhì)量面分布的剛體：對質(zhì)量面分布的剛體：Smdd：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度2 對質(zhì)量體分布的剛體：對質(zhì)量體分布的剛體

14、：Vmdd：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmJjjjd22第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量lO O解：解： 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處處 的質(zhì)量元的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlr例例1 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 、長為長為 的的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與 棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)且垂直于棒

15、：如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)且垂直于棒：22dddJrmrr 第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量OROR4032d2RrrJRrdr一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .例例2、 解解 設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2dmdVr h dr hrmVm2 dvrJm2 drrrhR 022 212mR解：解：其中：其中：所以：所以：例例3 3 ：質(zhì)量為質(zhì)量為m m、高為、高為h h、半徑為、半徑為r r的均勻圓柱體，求其對的均勻圓柱體，求其對圓柱中心的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量？圓柱中心的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量？第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2mdJJCO