應用數理統(tǒng)計—正交試驗設計

1、正交試驗設計 2正交試驗設計 當試驗因素多于當試驗因素多于2個時，也可考慮各個時，也可考慮各因素效應是否顯著，這些因素的交互效因素效應是否顯著，這些因素的交互效應是否顯著。應是否顯著。 由于因素多于由于因素多于2個，試驗數據不便于個，試驗數據不便于列成前面那樣的平面表格，但我們可以列成前面那樣的平面表格，但我們可以用下標的變化來加以表示。例如用下標的變化來加以表示。例如4因素的因素的試驗指標可表示為試驗指標可表示為 yj1j2j3j4, j1=1,2,m1, j2=1,2,m2, j3=1,2,m3, j4=1,2,m4。3正交試驗設計 我們同樣可以建立平方和與自由度我們同樣可以建立平方和與自

2、由度的分解，建立服從的分解，建立服從F分布的統(tǒng)計量。要分布的統(tǒng)計量。要考慮交互作用，只需對因素組合作重復考慮交互作用，只需對因素組合作重復試驗，而將這一試驗結果理解為一個新試驗，而將這一試驗結果理解為一個新的因素。方差分析都要求的因素。方差分析都要求 ijN(0, 2)，且且相互獨立，即要求試驗數據獨立性、正相互獨立，即要求試驗數據獨立性、正態(tài)性、等方差性。態(tài)性、等方差性。4正交試驗設計 多因素試驗由于因素間的組合比較多因素試驗由于因素間的組合比較多，往往需要耗費大量的時間與經費，多，往往需要耗費大量的時間與經費，可以采用正交試驗。正交試驗不對各因可以采用正交試驗。正交試驗不對各因素各水平的全

3、部組合進行試驗。至于挑素各水平的全部組合進行試驗。至于挑選哪些組合進行試驗，是由正交表設計選哪些組合進行試驗，是由正交表設計規(guī)定的。規(guī)定的。5正交表及其用法 正交表是一種特制的表格，以為正交表是一種特制的表格，以為L9(34)例來說明。字母例來說明。字母L表示正交表，數字表示正交表，數字9表表示這張表共有示這張表共有9行，說明用這張表安排行，說明用這張表安排試驗要做試驗要做9次試驗；數字次試驗；數字4表示這張表共表示這張表共有有4列，說明用這張表最多可安排列，說明用這張表最多可安排4個因個因素；數字素；數字3表示在表中主體部分只出現表示在表中主體部分只出現1、2、3三個數字，它們分別代表因素的

4、三三個數字，它們分別代表因素的三個水平，說明各因素都是個水平，說明各因素都是3個水平。個水平。 正交表的構造遵循搭配均勻、散布正交表的構造遵循搭配均勻、散布均衡的規(guī)律。均衡的規(guī)律。6 列號列號試驗號試驗號12341111121222313334212352231623127313283213933217正交表及其用法例例 某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過試驗選擇最好的生產方案。經初步分過試驗選擇最好的生產方案。經初步分析，主要有析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風壓和底焦高度，每個因素們是焦比、風壓和底焦高度，每個因素都考慮都考

5、慮3個水平，具體情況如表。問對個水平，具體情況如表。問對這這3個因素的個因素的3個水平如何安排，才能獲個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度？得最高的鐵水溫度？8正交表及其用法 因素因素水平水平焦比焦比A風壓風壓B133Pa底焦底焦高度高度Cm11:161701.221:182301.531:142001.39正交表及其用法 對對3個因素的個因素的3個水平的問題，如果個水平的問題，如果每個因素的每個水平都互相搭配進行全每個因素的每個水平都互相搭配進行全面試驗，必須做面試驗，必須做33=27次試驗。按正交次試驗。按正交表表L9(34)的的前前3列安排試驗只須做列安排試驗只須做9次試次試驗。驗。9

6、次試驗的結果如下：次試驗的結果如下：試驗編號試驗編號123456789鐵水溫度鐵水溫度136513951385 1390 1395138013901390141010 列號列號試驗號試驗號1A2B3C鐵水溫度鐵水溫度鐵水溫度鐵水溫度- -1350111113601521221395453133138535421213904052231395456231138030731313904083211390409332141060K1959585K2115130145K3140125120k131.731.728.3k238.343.348.3k346.741.740.0極極 差差15.011.620

7、.0優(yōu)優(yōu)方案方案A3B2C211正交表及其用法 Ki這一行的這一行的3個數分別是因素個數分別是因素A、B、C的第的第i個水平所對應的鐵水溫度之個水平所對應的鐵水溫度之和。和。ki為為i水平的平均值。極差是同水平的平均值。極差是同一列中一列中k1、k2、k3這這3個數中最大個數中最大者減去最小者，反映了因素水平對者減去最小者，反映了因素水平對試驗指標的影響程度。試驗指標的影響程度。12正交表及其用法 本例中各因素對試驗指標鐵水本例中各因素對試驗指標鐵水溫度的影響按大小順序來說溫度的影響按大小順序來說C底焦底焦高度、高度、A焦比焦比、B風壓，最好方案是風壓，最好方案是C2A3B2即：即： C2底焦

8、高度，第底焦高度，第2水平水平：1.5 A3焦比，第焦比，第3水平水平： 1:14 B2風壓，第風壓，第2水平水平： 23013多指標的分析方法 在實際問題中，需要考慮的指標往在實際問題中，需要考慮的指標往往不止一個，有時是兩個、三個，往不止一個，有時是兩個、三個，甚至更多，這都是多指標的問題。甚至更多，這都是多指標的問題。解決多指標試驗問題可采用兩種方解決多指標試驗問題可采用兩種方法：綜合平衡法和綜合評分法。法：綜合平衡法和綜合評分法。14多指標的分析方法1.1.綜合平衡法綜合平衡法 綜合平衡法是：先分別考察每綜合平衡法是：先分別考察每個因素對各指標的影響，然后進行個因素對各指標的影響，然后

9、進行分析比較，確定出最好的水平，從分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗方案。而得出最好的試驗方案。15綜合平衡法綜合平衡法例例 為了提高某產品質量，要對生產該為了提高某產品質量，要對生產該產品的原料進行配方試驗。要檢驗產品的原料進行配方試驗。要檢驗3 3項指標：抗壓強度、落下強度和裂紋項指標：抗壓強度、落下強度和裂紋度，前兩個指標越大越好，第三個指度，前兩個指標越大越好，第三個指標越小越好。根據以往的經驗，配方標越小越好。根據以往的經驗，配方中有中有3 3個重要因素：水份、粒度和堿個重要因素：水份、粒度和堿度。它們各有度。它們各有3 3個水平，具體數據如個水平，具體數據如表所示。試進

10、行試驗分析，找出最好表所示。試進行試驗分析，找出最好的配方方案。的配方方案。16綜合平衡法綜合平衡法 因素因素水平水平A水份水份%B粒度粒度%C堿度堿度1841.12961.33781.517 列號列號試驗號試驗號1A2B3C抗壓強度抗壓強度Kg/個個落下強度落下強度0.5m/次次裂紋度裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21抗抗壓壓強強度度K127.027.538.0K233.520.524.9K330.442.928

11、.0k19.09.212.7k211.26.88.3k310.114.39.3極極 差差2.27.54.4優(yōu)優(yōu)方案方案A2B3C118 列號列號試驗號試驗號1A2B3C抗壓強度抗壓強度Kg/個個落下強度落下強度0.5m/次次裂紋度裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21落落下下強強度度K19.33.320.8K217.89.824.9K325.939.97.3k13.11.16.9k25.93.38.3k38.613.3

12、2.4極極 差差5.512.25.9優(yōu)優(yōu)方案方案A3B3C219 列號列號試驗號試驗號1A2B3C抗壓強度抗壓強度Kg/個個落下強度落下強度0.5m/次次裂紋度裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21裂裂紋紋度度K11195K2588K3659k13.73.01.7k21.72.72.7k32.01.73.0極極 差差2.01.31.3優(yōu)優(yōu)方案方案A2B3C120綜合平衡法綜合平衡法 對對3個指標分別進行計算分析，得出個

13、指標分別進行計算分析，得出3個好的方案：個好的方案： 對抗壓強度是對抗壓強度是A2B3C1 對落下強度是對落下強度是A3B3C2 對裂紋度是對裂紋度是A2B3C1 這這3個方案不完全相同，對一個指個方案不完全相同，對一個指標是好方案，而對另一指標卻不一定是標是好方案，而對另一指標卻不一定是好方案，如何找出對各個指標都較好的好方案，如何找出對各個指標都較好的一個共同方案？一個共同方案？21綜合平衡法綜合平衡法抗壓強度抗壓強度極極 差差2.27.54.4優(yōu)優(yōu)方案方案A2B3C1落下強度落下強度極極 差差5.512.25.9優(yōu)優(yōu)方案方案A3B3C2裂紋度裂紋度極極 差差2.01.31.3優(yōu)優(yōu)方案方案

14、A2B3C122綜合平衡法綜合平衡法 粒度粒度B對各指標的影響：從表看出，對對各指標的影響：從表看出，對抗壓強度和落下強度來講，粒度的極抗壓強度和落下強度來講，粒度的極差都是最大，也就是說粒度是影響最差都是最大，也就是說粒度是影響最大的因素，且以取大的因素，且以取B3水平為最好；對水平為最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，裂紋度來講，粒度的極差不是最大，即是影響最大的因素，但也是以取即是影響最大的因素，但也是以取B3水平為最好?？偟膩碚f，對水平為最好?？偟膩碚f，對3個指標來個指標來講，粒度都是以取講，粒度都是以取B3水平為最好。水平為最好。23綜合平衡法綜合平衡法 堿度堿度C對各指標的影響

15、：從表看出，對對各指標的影響：從表看出，對3個指標來說，堿度的極差都不是最大，個指標來說，堿度的極差都不是最大，也就是說堿度不是影響最大的因素，也就是說堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素，對抗壓強度和裂紋是較次要的因素，對抗壓強度和裂紋度來講，堿度取度來講，堿度取C1水平為最好；對落水平為最好；對落下強度來講，堿度取下強度來講，堿度取C2水平為最好，水平為最好，但取但取C1水平也不是太差。對水平也不是太差。對3個指標綜個指標綜合考慮，堿度取合考慮，堿度取C1水平為好。水平為好。24綜合平衡法綜合平衡法 水份水份A對各指標的影響：從表看出，對對各指標的影響：從表看出，對裂紋度來講，水份的極差

16、最大，即水份裂紋度來講，水份的極差最大，即水份是影響最大的因素，水份取是影響最大的因素，水份取A2水平最水平最好，但對抗壓強度和落下強度來講，水好，但對抗壓強度和落下強度來講，水份的極差都是最小的，即是影響最小的份的極差都是最小的，即是影響最小的因素。對抗壓強度來講，水份取因素。對抗壓強度來講，水份取A2最最好，取好，取A3次之；對落下強度來講，水次之；對落下強度來講，水份取份取A3最好，取最好，取A2次之。對次之。對3個指標綜個指標綜合考慮，水份取合考慮，水份取A2水平為好。水平為好。25綜合平衡法綜合平衡法 通過各因素對各指標影響的綜合分析，通過各因素對各指標影響的綜合分析，得出較好的試驗

17、方案是：得出較好的試驗方案是： B3 粒度粒度 第第3水平：水平：8 C1 堿度堿度 第第1水平：水平：1.1 A2 水份水份 第第2水平：水平：926綜合評分法綜合評分法2.2.綜合評分法綜合評分法 綜合評分法是：先按重要性程綜合評分法是：先按重要性程度不同給各個指標賦以權數，再對度不同給各個指標賦以權數，再對各試驗計算加權指標，化為單一指各試驗計算加權指標，化為單一指標問題。標問題。27綜合評分法綜合評分法例例 某廠生產一種化工產品，需要檢某廠生產一種化工產品，需要檢驗兩個指標：核酸純度和回收率，驗兩個指標：核酸純度和回收率，這兩個指標都是越高越好。有影響這兩個指標都是越高越好。有影響的因

18、素有的因素有4 4個，各有個，各有3 3個水平，具體個水平，具體情況如表。試通過試驗找出較好的情況如表。試通過試驗找出較好的方案，使產品的核酸純度和回收率方案，使產品的核酸純度和回收率都有提高。都有提高。28綜合評分法綜合評分法 因素因素水平水平A時間時間/hB加料中加料中核酸含量核酸含量CpH值值D加水量加水量1257.55.01:6259.06.01:4316.09.01:229綜合評分法綜合評分法 這是這是4因素因素3水平的試驗，采用正交表水平的試驗，采用正交表L9(34)安排試驗，結果列于表中。根據安排試驗，結果列于表中。根據實際經驗，純度的重要性比回收率的實際經驗，純度的重要性比回收

19、率的重要性大，純度的權數取重要性大，純度的權數取4，回收率的，回收率的權數取權數取1，計算加權指標得出綜合評分。，計算加權指標得出綜合評分。 總分總分=4 純度純度+1 回收率回收率30 列號列號試驗號試驗號1A2B3C4D純度純度回收率回收率綜合綜合評分評分1111117.530.0100.02122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.551.069.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933214.573.591.5K1273.2221.2222.9260.5K

20、2199.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.0188.7k191.173.774.386.8k266.568.979.076.2k368.383.372.762.9極極 差差24.614.46.323.9優(yōu)優(yōu)方案方案A1B3C2D131綜合評分法綜合評分法 從表看出，從表看出，A、D兩個因素的極差都很兩個因素的極差都很大，是對試驗影響很大的兩個因素，大，是對試驗影響很大的兩個因素，還可以看出，還可以看出，A、D都是取第都是取第1水平為水平為好；好；B因素的極差比因素的極差比A、D的極差小，的極差小，對試驗的影響比對試驗的影響比A、D都小，都小，B因素取因素取第第3

21、水平為好；水平為好；C因素的極差最小，是因素的極差最小，是影響最小的因素，影響最小的因素，C取第取第2水平為好。水平為好。綜合考慮，最好的試驗方案是綜合考慮，最好的試驗方案是 A1B3C2D132綜合評分法綜合評分法 按影響的大小次序列出：按影響的大小次序列出： A1 時間時間 第第1水平水平 25h D1 加水量加水量 第第1水平水平 1:6 B3 料中核酸含量料中核酸含量 第第3水平水平 6.0 C2 pH值值 第第2水平水平 6.0 33混合水平的正交試驗設計 在在實際問題中，由于具體情況不同，有實際問題中，由于具體情況不同，有時各因素的水平數是不相同的，這就是時各因素的水平數是不相同的

22、，這就是混合水平的多因素試驗問題。解決這類混合水平的多因素試驗問題。解決這類問題一般可采用兩種方法：（問題一般可采用兩種方法：（1）直接）直接利用混合水平的正交表；（利用混合水平的正交表；（2）擬水平）擬水平法，即把水平不同的問題化成水平數相法，即把水平不同的問題化成水平數相同的問題來處理。同的問題來處理。34混合水平的正交試驗設計1.1.混合水平正交表及其用法混合水平正交表及其用法 混合水平正交表就是各因素水混合水平正交表就是各因素水平數不完全相等的正交表，如平數不完全相等的正交表，如L8(41 24)，這張表有這張表有8 8行，行，5 5列，表列，表示要做示要做8 8次試驗，最多可安排次試

23、驗，最多可安排5 5個因個因素，其中素，其中1 1個是個是4 4水平的，水平的，4 4個是個是2 2水水平的。平的。35 列號列號試驗號試驗號1234511111121222232112242221153121263212174122184211236混合水平正交表及其用法混合水平正交表及其用法例例 某農科站進行品種試驗。共有某農科站進行品種試驗。共有4個因個因素：素：A(品種品種)、B(氮肥量氮肥量)、C(氮、磷、氮、磷、鉀肥比例鉀肥比例)、D(規(guī)格規(guī)格)。因素。因素A是是4水平的，水平的，另外另外3個因素都是個因素都是2水平的，具體數據如水平的，具體數據如表所示。試驗指標是產量，數值越大越

24、表所示。試驗指標是產量，數值越大越好。試用混合水平正交表安排試驗，找好。試用混合水平正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。出最好的試驗方案。37 因素因素水平水平A品種品種B氮肥量氮肥量kgC氮、磷、氮、磷、鉀肥比例鉀肥比例D規(guī)格規(guī)格1甲甲253:3:16 62乙乙302:1:27 73丙丙4丁丁38 因素因素 試驗號試驗號ABCD試驗指標試驗指標產量產量/kg減去減去20011111195- -5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185- -1584211190- -10K10102020K245352525K325K4

25、- -25k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4- -12.5極極 差差35.06.31.31.3優(yōu)優(yōu)方案方案A2B2C2D239混合水平正交表及其用法混合水平正交表及其用法 從表中看出，因素從表中看出，因素A的極差最大，因此的極差最大，因此因素因素A對試驗的影響最大，并且以取對試驗的影響最大，并且以取2水水平為好；因素平為好；因素B的極差僅次于因素的極差僅次于因素A，對試驗的影響比因素對試驗的影響比因素A小，也是以取小，也是以取2水水平為好；因素平為好；因素C、D的極差都很小，對的極差都很小，對試驗的影響也就很小，都是以取試驗的影響也就很小，都是以取2水平水平

26、為好。總的說來，試驗方案應以為好?？偟恼f來，試驗方案應以A2B2C2D2為好。為好。40擬水平法擬水平法2.2.擬水平法擬水平法 在沒有合適的混合水平正交表在沒有合適的混合水平正交表可用時，可以對因素虛擬水平，將可用時，可以對因素虛擬水平，將水平少的因素歸入水平多的因素正水平少的因素歸入水平多的因素正交表中處理。交表中處理。41擬水平法擬水平法例例 今有某一試驗，試驗指標只有一個，今有某一試驗，試驗指標只有一個，它的數值越小越好，這個試驗有它的數值越小越好，這個試驗有4個因個因素素A、B、C、D，其中因素其中因素A是是2水平的，水平的，其余因素都是其余因素都是3水平的，具體數據如表水平的，具體

27、數據如表所示。試對試驗結果進行分析，找出最所示。試對試驗結果進行分析，找出最好的試驗方案。好的試驗方案。 (采用采用L9(34)42擬水平法擬水平法 因素因素水平水平ABCD13501560652250880753300108543 因素因素水平水平ABCD13501560652250880753300108085擬水平法擬水平法44 因素因素試驗號試驗號ABCD試驗指標測試結果試驗指標測試結果11111145212222363133231242122315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432

28、k131.023.321.744.0k223.327.026.720.3k320.724.710.7極極 差差10.33.75.033.3優(yōu)優(yōu)方案方案A3B1C1D345擬水平法擬水平法 從表中的極差看出，因素從表中的極差看出，因素D對試驗的影對試驗的影響最大，取第響最大，取第3水平最好；其次是因素水平最好；其次是因素A取第取第3水平為好；再者是因素水平為好；再者是因素C，取第，取第1水平為好；因素水平為好；因素B的影響最小，取第的影響最小，取第1水平為好?？偟膩碚f，這實驗的最優(yōu)方水平為好?？偟膩碚f，這實驗的最優(yōu)方案是案是A3B1B1D3。4612.4 有交互作用的正交試驗設計 在多在多因素試

29、驗中，各因素不僅各自獨立因素試驗中，各因素不僅各自獨立地起作用，而且各因素還聯(lián)合起來起作地起作用，而且各因素還聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個因素的水平改用。也就是說，不僅各個因素的水平改變時對試驗的指標有影響，而且各因素變時對試驗的指標有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗指標也有影響。這后的聯(lián)合搭配對試驗指標也有影響。這后一種影響就是因素的交互作用。因素一種影響就是因素的交互作用。因素A和因素和因素B的交互作用記為的交互作用記為A B。47交互作用表交互作用表1.1.交互作用表交互作用表 用正交表安排有交互作用的試驗時，用正交表安排有交互作用的試驗時，把兩個因素的交互作用當成一個新的把兩個因素的交互作用當成一個新的因素來看待，讓它占有一列，叫交互因素來看待，讓它占有一列，叫交互作用列。交