孤立子--奇異點(diǎn)分析

1、 奇異點(diǎn)的位置隨著積分常數(shù)的變動(dòng)而變動(dòng)，稱這種奇異點(diǎn)為流動(dòng)奇異點(diǎn)。 例如，對于非線性O(shè)DE：其通解是 此時(shí)，z0既是積分常數(shù)，也是其奇異點(diǎn)的位置，由于奇異點(diǎn)的位置隨著積分常數(shù)的變動(dòng)而變動(dòng)，故稱這種奇異點(diǎn)為流動(dòng)奇異點(diǎn)（movable singularity）。奇奇異異點(diǎn)點(diǎn)極點(diǎn)支點(diǎn)本性奇點(diǎn)代數(shù)支點(diǎn)對數(shù)支點(diǎn)臨臨界界點(diǎn)點(diǎn) 本世紀(jì)初painleve及其合作者，研究了如下形式 的非線性O(shè)DE： 其中R,S,T是w的有理函數(shù)，且是在復(fù)平面上某區(qū)域關(guān)于z的解析函數(shù)。 在上述方程中，不具有流動(dòng)臨界點(diǎn)者只有50個(gè)，這種不具有流動(dòng)臨界點(diǎn)的性質(zhì)稱為Painleve性質(zhì)。 一般，我們稱具有Painleve性質(zhì)的方程為P

2、型方程，在上述50個(gè)方程中，只有6個(gè)需要定義新的函數(shù)，其它的都可以化為已經(jīng)解決過的方程：在這里給出其中的三個(gè)： 給定一個(gè)ODE后，我們該如何判定它是否為P型方程呢？ 如果ODE正好是二階的，并且剛好滿足上述方程形式，那么我們可以通過查painleve等提供的50個(gè)方程的表，如果該ODE在 這個(gè)表上，或者經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q后在這個(gè)表上，那么它就是P型的。 如果ODE是三階的或是高階的，那么就得借助奇異點(diǎn)分析的方法進(jìn)行判斷。例1.考慮ODE族：(1) 如果m=0，(1)式的解就是橢圓函數(shù)；如果m=1，那么(1)式你就是P方程。下面討論m不為0，1時(shí)的情形，表明此時(shí)它具有流動(dòng)臨界點(diǎn)。 下面用到奇異點(diǎn)分析

3、的方法，主要分為下述三個(gè)步驟：例1.考慮ODE族：(1)第一步，設(shè)： 此時(shí)，(1)式主要項(xiàng)為左邊的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和右邊的高次項(xiàng)，可得若取a=1，那么當(dāng) 由于方程為二階方程，有兩個(gè)積分常數(shù)，此時(shí)只得到一個(gè)z0，故還需對方程進(jìn)行展開，直到得到另一個(gè)積分常數(shù)。例1.考慮ODE族：(1) 第二步：求展式中 的冪次， 設(shè)：則(2) 將(2)代入(1)式中的主要項(xiàng)，將以開頭的項(xiàng)給出，得： 可求得兩根，r=-1，此時(shí)z0是任意的；r=4，故可將展式展開成如下形式：(3)當(dāng)a3被確定時(shí)，第二個(gè)積分常數(shù)即可被確定。例1.考慮ODE族：(1)第三步：將(3)式代入(1)式，使得 的各次冪次相等，可得出結(jié)果：故有以下兩種可能性：對于 的項(xiàng)，我們發(fā)現(xiàn)：(4)例1.考慮ODE族：(1)1).m=0或1時(shí)，對任意a3都滿足，故a3就是第二個(gè)積分常數(shù)，而此時(shí)(3)式確實(shí)是在流動(dòng)極點(diǎn)z0的領(lǐng)域內(nèi)(1)式解的Laurent級數(shù)的開始的幾項(xiàng)，由于沒有其他的代數(shù)奇異點(diǎn)，故沒有流動(dòng)代數(shù)分支點(diǎn)。例1.考慮ODE族：(1)2）m 不為0和1時(shí)，對于任意的a3,(4)式無法成立，故對(3)式中必須添加對數(shù)項(xiàng)，故化為形式:此時(shí)仍可得到而在 的項(xiàng)，當(dāng)a3為任意時(shí)，b3可被確定，此時(shí)上述展式，表明流動(dòng)點(diǎn)z0為對數(shù)分支點(diǎn)。例1