曲線積分與曲面積分備課教案

1、第十章 曲線積分與曲面積分一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求：1、理解二類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2、會計算兩類曲線積分3、掌握（Green）公式，會使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。4、了解兩類曲面積分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并會計算兩類曲面積分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其計算方法。6、會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（如曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、功、流量等）。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配：第一節(jié) 對弧長的曲線積分 2學(xué)時第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分 2學(xué)時第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 4學(xué)時第四節(jié) 對面積的曲面積分

2、 2學(xué)時第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分 2學(xué)時第六節(jié) 高斯公式 通量與散度 2學(xué)時第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 2學(xué)時三、教學(xué)內(nèi)容的重點及難點：1、二類曲線積分的概念及其計算方法2、二類曲面積分的概念及其計算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲線積分及曲面積分的物理應(yīng)用和幾何應(yīng)用也是本章重點。5、兩類曲線積分的關(guān)系和區(qū)別6、兩類曲面積分的關(guān)系和區(qū)別7、曲線積分和曲面積分的物理應(yīng)用及幾何應(yīng)用五、思考題與習(xí)題第一節(jié) 習(xí)題101 131頁：3（單數(shù)）、4、5第二節(jié) 習(xí)題10-2 141頁：3（單數(shù)）、4、5、7（單數(shù)）第三節(jié) 習(xí)題10-3 153頁：1、2、3、4（單數(shù)）、5（單數(shù)）6（單

3、數(shù)）、7第四節(jié) 習(xí)題10-4 158頁：4、5、6（單數(shù)）、7、8第五節(jié) 習(xí)題10-5 167頁：3（單數(shù)）、4第六節(jié) 習(xí)題10-6 174頁：1（單數(shù)）、2（單數(shù)）、3（單數(shù)）第七節(jié) 習(xí)題10-7 183頁：1（單數(shù)）、2、3、4第一節(jié) 對弧長的曲線積分一、內(nèi)容要點由例子引入對弧長的曲線積分的定義給出性質(zhì)，然后介紹將對弧長的曲線積分化為定積分的計算方法。1、引例：求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量最后舉例鞏固計算方法的掌握。2、為第一類曲線積分，其中為曲線，被積函數(shù)中的點位于曲線上，即必須滿足對應(yīng)的方程，是弧微分、弧長元素。若是封閉曲線，則第一類曲線積分記為3、第一類曲線積分的應(yīng)用：1）、曲線的長s=2）、

4、若空間曲線形物體的線密度為，則其質(zhì)量M;質(zhì)心坐標(biāo)為，其中;對x軸的轉(zhuǎn)動慣量4、第一類曲線積分的計算方法：若空間曲線參數(shù)方程為：， ，則，=。例1計算，其中：，解因為=，,所以例2 ，其中為球面與平面的交線；解 的參數(shù)方程為，根據(jù)對稱性得到=例3 計算，其中解:,或解：被積函數(shù)中的點位于曲線上，即必須滿足對應(yīng)的方程 ，所以，=二、教學(xué)要求和注意點1、理解對弧長的曲線積分的概念，了解對弧長的曲線積分的性質(zhì) 2、掌握計算對弧長的曲線積分的方法3、對弧長的曲線積分與曲線方向無關(guān)，化弧長的曲線積分為定積分時，定積分的上限不能比下限小。第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分一、內(nèi)容要點引例：變力沿曲線所作的功由例子引入

5、對坐標(biāo)的曲線積分的定義，給出性質(zhì)然后介紹將對坐標(biāo)的曲線積分化為定積分的計算方法，并強調(diào)指出兩類曲線積分化為定積分的計算方法，最后舉例鞏固計算方法的掌握。一、為第二類曲線積分，其中是一條定向曲線，為向量值函數(shù)，為定向弧長元素（有向曲線元）若曲線的參數(shù)方程為：，則切向量，單位切向量弧長元素=定向弧長元素= =上面的等式表明第二類曲線積分可以化為為第一類曲線積分。例1 把第二類曲線積分化成第一類曲線積分，其中為從點到點的直線段。解 方向向量，其方向余弦，原式=例2.把第二類曲線積分化成第一類曲線積分，其中為從點沿上半圓周到點解的參數(shù)方程為，切向量其方向余弦，=。二、第二類曲線積分的應(yīng)用：若一質(zhì)點從點

6、A沿光滑曲線（或分?jǐn)喙饣€）移動到點B，在移動過程中，這質(zhì)點受到力，則該力所作的功W=三、第二類曲線積分的計算方法：1、若空間定向曲線的參數(shù)方程，則=2、若平面定向曲線的參數(shù)方程：，則=例1 計算，其中為曲線上從到的一段弧。解 =。例2計算曲線積分，其中是曲線從軸正向看去，取順時針方向分析先寫出曲線的參數(shù)方程，可令，則，為參數(shù)，由題設(shè)，的起點、終點對應(yīng)的參數(shù)值分別為和0；在代入計算公式。解曲線的參數(shù)方程為，于是原式二、教學(xué)要求和注意點1、二類曲線積分的定義及計算方法，并講清楚它們的聯(lián)系和區(qū)別。2、曲線積分與二重積分由格林公式聯(lián)系起來，并由此得出結(jié)果可用曲線積分計算平面圖形的面積。在本章的講述

7、中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：1、對坐標(biāo)的曲線積分與曲線方向有關(guān)。2、求曲線型構(gòu)件的質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量，長度及重心坐標(biāo)用對弧長的曲線積分；求變力沿曲線所作的功用對坐標(biāo)的曲線積分。第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用一、內(nèi)容要點先介紹單連通域，畫圖說明然后回憶牛頓菜布尼茲公式，由此推出格林公式（書上定理1）并證明。提出格林公式將二重積分與曲線積分聯(lián)系起來了。舉2個例子說明格林公式的用法再介紹平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件。給出149頁定理3，并證明，更重點講151頁公式，然后舉2個例子說明該公式的用法。該堂課講153頁習(xí)題3，再由此說明格林公式的條件。二、教學(xué)要求和注意點第四節(jié) 對面積的曲面積分一、內(nèi)容要點引例：求空間曲面

8、的質(zhì)量由例子引進對面積的曲面積分的定義，并給出性質(zhì)介紹將對面積的曲面積分化為二重積分的計算方法，該方法可概括為“一代二換三投影”。舉3個例子提出該積分與二重積分的區(qū)別二、教學(xué)要求和注意點了解對面積的面積分的定義，掌握其計算方法在本章的講述中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：求空間曲面的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量，曲面面積及重心坐標(biāo)用對面積的曲面積分；第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分一、內(nèi)容要點先介紹有向曲面引例：穩(wěn)定流體在單位時間流過曲面 的流量由例子引入對坐標(biāo)的曲面積分的定義，給出性質(zhì)重點說清楚對坐標(biāo)的曲面積分與曲面的側(cè)有關(guān)，同時提醒學(xué)生注意區(qū)別兩類曲面積分。再介紹對坐標(biāo)的曲面積分化為二重積分的方法，舉2個例子說明該方法。最后給出兩類曲面積分之間的聯(lián)系。二、教學(xué)要求和注意點1、二類曲面積分的定義及計算方法，并講清楚它們的聯(lián)系和區(qū)別。2、曲線積分與曲面積分計算空間立體的體積。3、求穩(wěn)定的流體在單位時間內(nèi)通過曲面的流量用對坐標(biāo)的曲面積分。第六節(jié) 高斯公式 通量與散度一、內(nèi)容要點提出高斯公式，并證明指出高斯公式將三重積分與曲面積分聯(lián)系起來了，再舉2個例子說明高斯公式。簡單介紹通量與散度，講幾個習(xí)題二、教學(xué)要求和注