復(fù)變函數(shù)和積分變換22解析函數(shù)ppt課件

1、2.2 解析函數(shù)定義定義1 1稱為解析點(diǎn)，0z否則稱為奇點(diǎn) 。f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析: f(z)在D內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都解析. f(z)在z0解析: f(z)在z0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo). 函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：解析可導(dǎo).例如 f (z) = z2 在整個(gè)復(fù)平面上解析；2)(zzfw僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。例4 討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析；z = 0 是它的一個(gè)奇點(diǎn)。. 0,12zzdzdf解析函數(shù)的性質(zhì)：解析函數(shù)的性質(zhì)：(1) 兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、

2、積、商仍為解析函數(shù)；(2) 兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3) 一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析；定理定理3 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義區(qū)域在其定義區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析的充要條件是的充要條件是 u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內(nèi)可微內(nèi)可微, 并滿足并滿足Cauchy-Riemann方程方程:問題：對(duì)函數(shù)問題：對(duì)函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析可導(dǎo)性？,u v解析 可導(dǎo)可微且滿足C-R方程.,xyyxvuvuC-R方程等價(jià)于證明: .0zf).,(),()(),(21),(21yxvyxuzf

3、zziyzzx. 0)(2)(21)21()(21)(yuxviyvxuiyviyuxvixuzyyfzxxfzf推論 ：,( , )u vx yCR若在處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導(dǎo).例題2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:1);2)Re( )wzwzz解：1),wzxiy由 得 u=x, v=-y, 所以在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí),xyyxuvuv 因此函數(shù)僅在z = 0處可導(dǎo),

4、在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.,. 1, 1, 0, 1xyyxyxyxvuvuvvuu( )f zuivD是區(qū)域 內(nèi)的解析函數(shù)，( )0fz且1212( , ), ( , ),u x yC v x yCC C為任意常數(shù)是區(qū)域內(nèi)的正交 曲線族。 (正交：兩曲線在交點(diǎn)處的切線垂直 )例題3 證：1( , )( , )xuyuu x yCx yku 在處切線的斜率，yxvvvkyxCyxv處切線的斜率在),(),(21,yyxxuvyyyyvuuvk kCRuvuv 得證。不能同時(shí)為零。和故因yxyyxxvuiuvivuxfzf,)(0例如 2222,200 .fzzxyi xy fzzz兩族分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010 解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個(gè)充分