20XX考研數(shù)學(xué)三真習(xí)題及答案

1、2019考研數(shù)學(xué)三試題和答案一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是_.（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過(guò)a表示為_(kāi).（3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則=_.（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣，其中A的逆矩陣為B，則a=_.（5）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為_(kāi).（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于_.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括

2、號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.（2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A)在處的導(dǎo)數(shù)等于零.（B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C)在處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)在處的導(dǎo)數(shù)不存在.（3）設(shè)，則下列命題正確的是(A)若條件收斂，則與都收斂.(B)若絕對(duì)收斂，則與都收斂.(C)若條件收斂，則與斂散性都不定.(D)若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定.（4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab

3、且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.（5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān).(B)若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D)線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).（6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件(A)相互獨(dú)立.(B)相互獨(dú)立.(C)兩兩獨(dú)立.(D)兩兩獨(dú)立.三、（本題滿分8分）設(shè)：試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).四、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,

4、求五、（本題滿分8分）計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D=六、（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件：，且f(0)=0,求F(x)所滿足的一階微分方程；求出F(x)的表達(dá)式.八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.試證必存在，使九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組其中試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、（本題滿分13分）設(shè)二次型中二次型的矩

5、陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.求a,b的值；利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).十二、（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).答案一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是.點(diǎn)撥當(dāng)0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).過(guò)程：當(dāng)時(shí)，有顯然當(dāng)時(shí)，有，即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).（2

6、）已知曲線與x軸相切，則可以通過(guò)a表示為.點(diǎn)撥曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到與a的關(guān)系.過(guò)程：由題設(shè)，在切點(diǎn)處有，有又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0，于是有,故點(diǎn)睛：有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.（3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則=.點(diǎn)撥本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.過(guò)程：=點(diǎn)睛：若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣，其中A的逆矩陣為

7、B，則a= -1 .點(diǎn)撥這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過(guò)進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.過(guò)程：由題設(shè)，有=,于是有，即，解得由于A<0,故a=-1.（5）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0.9 .點(diǎn)撥利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.過(guò)程：因?yàn)?E(XY)E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有cov(Y,Z)=點(diǎn)睛：注意以下運(yùn)算公式：，（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于.點(diǎn)撥本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：過(guò)

8、程：這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有依概率收斂于二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.D點(diǎn)撥由題設(shè)，可推出f(0)=0,再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.過(guò)程：顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.于是有存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).【評(píng)注1】本題也可用反例排除，例如f(x)=x

9、,則此時(shí)g(x)=可排除(A),(B),(C)三項(xiàng)，故應(yīng)選(D).【評(píng)注2】若f(x)在處連續(xù)，則.（2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A)在處的導(dǎo)數(shù)等于零.（B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C)在處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)在處的導(dǎo)數(shù)不存在.A點(diǎn)撥可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.過(guò)程：可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導(dǎo)數(shù)等于零,故應(yīng)選(A).【評(píng)注1】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，在處的導(dǎo)數(shù)即；而在處的導(dǎo)數(shù)即【評(píng)注2】本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D),故正確選項(xiàng)為(

10、A).（3）設(shè)，則下列命題正確的是(A)若條件收斂，則與都收斂.(B)若絕對(duì)收斂，則與都收斂.(C)若條件收斂，則與斂散性都不定.(D)若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定.B點(diǎn)撥根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.過(guò)程：若絕對(duì)收斂，即收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)，及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，與都收斂，故應(yīng)選(B).（4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.C點(diǎn)撥A的伴隨矩陣的秩為1,說(shuō)明A的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.過(guò)程：根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)

11、系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但當(dāng)a=b時(shí)，顯然秩(A),故必有ab且a+2b=0.應(yīng)選(C).點(diǎn)睛：n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系：（5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān).(B)若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D)線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).B點(diǎn)撥本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式.應(yīng)注意是尋找不正確的命題.過(guò)程：(A):若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有，則必線性無(wú)關(guān)，因?yàn)槿艟€性相關(guān)，則存在一

12、組不全為零的數(shù),使得，矛盾.可見(jiàn)（A）成立.(B):若線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，都有(B)不成立.(C)線性無(wú)關(guān),則此向量組的秩為s；反過(guò)來(lái)，若向量組的秩為s，則線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立.(D)線性無(wú)關(guān),則其任一部分組線性無(wú)關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn)(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).點(diǎn)睛：原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān).其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性.（6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，

13、=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件(A)相互獨(dú)立.(B)相互獨(dú)立.(C)兩兩獨(dú)立.(D)兩兩獨(dú)立.C點(diǎn)撥按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.過(guò)程：因?yàn)?，且，可?jiàn)有，.故兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C).點(diǎn)睛：本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立.三、（本題滿分8分）設(shè)試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).點(diǎn)撥只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可.過(guò)程：因?yàn)?由于f(x)在上連續(xù)，因此定義，使f(x)在上連續(xù).點(diǎn)睛：本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問(wèn)題，但以這種形式表現(xiàn)出來(lái)，

14、還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過(guò)程中，也可先作變量代換y=1-x，轉(zhuǎn)化為求的極限，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.四、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,求點(diǎn)撥本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題：，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用過(guò)程：，故，所以=點(diǎn)睛：本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).五、（本題滿分8分）計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D=點(diǎn)撥從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.過(guò)程：作極坐標(biāo)變換：，有=令，則.記，則=因此，點(diǎn)睛：本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過(guò)換元與分步積分（均為最基礎(chǔ)的要求），即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積

15、分、換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).六、（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.點(diǎn)撥先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1.求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.過(guò)程：上式兩邊從0到x積分，得由f(0)=1,得令，求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于，可見(jiàn)f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為f(0)=1.點(diǎn)睛：求和函數(shù)一般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù).七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件：，且f(0)=0,求F(x)所滿足的一階微

16、分方程；求出F(x)的表達(dá)式.點(diǎn)撥F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.過(guò)程：(1)由=(2-2F(x),可見(jiàn)F(x)所滿足的一階微分方程為(2)=將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是點(diǎn)睛：本題沒(méi)有直接告知微分方程，要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來(lái)說(shuō)比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍.八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.試證必存在

17、，使點(diǎn)撥根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價(jià)于，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.過(guò)程：因?yàn)閒(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是，.故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使因?yàn)閒(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使點(diǎn)睛：介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是常考知識(shí)點(diǎn)，且一般是兩兩結(jié)合起來(lái)考.本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組其

18、中試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.點(diǎn)撥方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值.過(guò)程：方程組的系數(shù)行列式=當(dāng)時(shí)且時(shí)，秩(A)=n，方程組僅有零解.當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為由可知，不全為零.不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為（將第1行的-1倍加到其余各行，再?gòu)牡?行到第n行同乘以倍）（將第n行倍

19、到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）由此得原方程組的同解方程組為，.原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系.十、（本題滿分13分）設(shè)二次型，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.求a,b的值；利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.點(diǎn)撥特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值；進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.過(guò)程：（1）二次型f的矩陣為設(shè)A的特征值為由題設(shè)，有，解得a=1,b=-2.(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式，得A的特征值對(duì)于解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系，對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有，且