有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分8-3ppt課件

1、8.3 有理函數(shù)和可化為有理有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分函數(shù)的不定積分 一、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分 二、三角函數(shù)有理式的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分 三、某些無(wú)理根式的不定積分三、某些無(wú)理根式的不定積分 四、小結(jié)四、小結(jié)有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義： 有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商表示的有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商表示的函數(shù)函數(shù). .一般形式為一般形式為mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分假定分子與分母之間沒(méi)有公因式假定分子與分母之間沒(méi)有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分

2、式；這有理函數(shù)是真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式； 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例例1123 xxx.112 xx由于多項(xiàng)式的不定積分容易求出由于多項(xiàng)式的不定積分容易求出;只需研究真分式的不定積分只需研究真分式的不定積分.根據(jù)代數(shù)知識(shí)根據(jù)代數(shù)知識(shí),有有:1命題( )Q x每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以唯一地2()(),xaxpxq分解為與類型的實(shí)因式其中2().xpxq不能再分解為實(shí)因式即0( )()()Q xb xaxb22()() (1)xpxqxrxs, ; ,; N其中, , ,

3、,a bp qr sR22040,40 (0)pqrsb(1).式中相同的因子乘在一起2命題( )(1),Q x如果多項(xiàng)式能分解為式 則( )( )P xQ x有理真分式能唯一地分解為下列部分分式之和122( )( )()()P xAAAQ xxaxaxa122()()BBBxbxbxb11222222P xQP xQP xQxpxqxpxqxpxq11222222R xSR xSR xSxrxsxrxsxrxs1212,;,;A AAB BB其中1122,;P Q P QP Q1122,.R S R SR S皆為實(shí)常數(shù), ; ,; N2()m, , , ,;a bp qr sR2240,40

4、pqrs0(0)b （1分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA （2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 真分式化

5、為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來(lái)確定系數(shù)代入特殊值來(lái)確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2稱為賦值法稱為賦值法例例3 3.1515221542xxx )1)(21

6、(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121lnln1.1xxCx解解例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(122221211ln 1255511xxdxdxxx2211ln 12ln(1)arctan.555xxxC例例6

7、 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136236ln3ln1ln(1)3arctan2ttttCdttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 36ln3ln12ttdttttd 2221131)1(說(shuō)明說(shuō)明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分

8、討論積分1) lnAdxAxaCxa12) 1nnAAdxxaCnxa2,3,n 23) MxNdxxpxq)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab ,422pqa ,2MpNb 那那么么,222atqpxx , bMtNMx 記記,42222pqpxqpxx 令令tpx 22MxNdxxpxq22Mtdtta22bdtta2()nMxNdxxpxq dtatMtn)(22 dtatbn)(22同理令同理令tpx 2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn2,3,n 221nnIdtta2222221ntatdtata22122222111nntdtdtaatata所

9、以所以,這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). .1221221112(1)nnIt dan ata112212221112(1)2(1)nnntIIan an ata1212221232(1)2(1)1arctannnnntIInanatatICaa三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角函數(shù)有理式一般記構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角函數(shù)有理式一般記為為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx

10、 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分2222cossin22coscossin22xxxxx,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬(wàn)能替換公式）（萬(wàn)能替換公式）例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬(wàn)能置換公式由萬(wàn)能置換公式,

11、dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222 tan,2xu 令duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求積求積分分.sin14 dxx解一）解一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解二）解二）xutan 令令,1

12、sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解三）解三）可以不用萬(wàn)能置換公式可以不用萬(wàn)能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc (cot )dx .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬(wàn)能置換不一定便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬(wàn)能置換不得已才用萬(wàn)能置換.例例9 9 求積求積分分.sin3sinsin1 dxx

13、xx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 類型類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .例例10 10 求積求積分

14、分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、某些無(wú)理根式的不定積分三、某些無(wú)理根式的不定積分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例11 11 求積求積分分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說(shuō)明說(shuō)明 無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí)無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí), 取根指數(shù)的最小公倍數(shù)取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例例12 12 求

15、積求積分分.1213 dxxxx解解先對(duì)分母進(jìn)行有理化先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 類型類型2,R xaxbxc dx,R u v其中是有理函數(shù), ,.a b c是實(shí)常數(shù)我們先討論類型2的二個(gè)特殊情況, 再介紹類型2的一般情況的積分:2(1) pxqdxaxbxc(0)a 2pxqdxaxbxc22244pxqdxa xbaacba2t x ba 令22244ptqbpadtatacba,4:則原不定積分 可化為下列 種積分來(lái)計(jì)算2

16、21),tdttA222),tdtAt2213) ,dttA2214).dtAt2 245xdxxx例:解21213 2xdxx原式1t x 令21123 2tdtt2123 2tdtt21123 2dtt213 22t21ln3 22ttC2211245ln124522xxxxxC 2 5xdxxx例:解221 41 2xdxx原式1 2t x 令21 221 4tdtt221 4tdtt21 221 4dtt221 4t 1arcsin221 4tC21215arcsin221xxxC 2(2) pxqaxbxcdx(0)a 2t x ba 令22424bpacbptqatdtaa分母中去

17、掉二次三項(xiàng)式中的一次項(xiàng),原不定積分,可化為下列四種積分來(lái)計(jì)算:221) t tA dt222) tAt dt223) tA dt224)At dt2 123xxxdx例:解2123xxxdx 2112xxdx1t x 令 2112xxdx222ttdt22t tdt222tdt3 22123t2222ln22ttttC3 2221231233xxxxx22ln123xxxC 2 2xx dx例2:2xx dx解29 41 21 2xd x21 2911 921arcsin2422 432xxxC2219212arcsin483xxxxC類型類型2, ,R xaxbxc dx中(1) 0,a 若

18、2 axbxcaxt 令(Euler稱此替換為第一替換):兩邊平方后可得2bxcaxtt ()x關(guān)于 的一次方程2: ,2tcxbat從而有222atbtacaxbxcbat2,R xaxbxc dx則被化為有理函數(shù)的不定積分.(2) 0,c 若2 axbxcxtc令(Euler稱此替換為第二替換):兩邊平方整理得22axbxtct()x關(guān)于 的一次方程22: ,bctxta從而有2,R xaxbxc dx則被化為有理函數(shù)的不定積分. a xxxt令(Euler稱此替換為第三替換):兩邊平方整理得2 a xxt()x關(guān)于 的一次方程22: ,taxta從而有2,R xaxbxc dx則被化為有

19、理函數(shù)的不定積分.2 0,axbxc(3)若方程有兩個(gè)相異的實(shí)根 與2, axbxca xx于是:最后指出,初等函數(shù)的不定積分一定存在,但是初等函數(shù)的不定積分不一定是初等函數(shù),如:222sin1,sin,cos,lnxxexxxx等函數(shù)的不定積分,.都不是初等函數(shù).初等函數(shù)關(guān)于積分運(yùn)算不封閉,換句話說(shuō):不定積分222sin1, sin, cos,lnxxedxx dxx dxdxdxxx!求不出來(lái)簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？思考題解答思考題解答分解后