241教案：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（孟勝奇）

1、課題：2.4平面向量的數(shù)量積（第1課時） 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義東莞市第一中學(xué) 孟勝奇一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：（1）掌握平面向量數(shù)量積的定義，了解平面向量數(shù)量積的意義；（2）掌握平面向量數(shù)量積的幾個重要性質(zhì)；（3）會推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的運算律； 2.過程與方法：（1）通過平面向量數(shù)量積的生成過程，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生的方法； （2）嘗試由定義導(dǎo)出平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；（3）由實數(shù)乘法的運算律類比得出平面向量數(shù)量積的運算律，體會類比思想. 3情感態(tài)度價值觀：通過生成概念、探究平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律等系列學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生體驗概括抽象和類比聯(lián)想的研究方法，增強學(xué)習(xí)興趣。二、教

2、材分析1.教材分析：數(shù)量積是平面向量的核心內(nèi)容，平面幾何中研究圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系中主要研究平行和垂直，數(shù)量關(guān)系中主要研究線段長度和角度，這些都與數(shù)量積的性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，因此，數(shù)量積的性質(zhì)從本質(zhì)上體現(xiàn)了人為定義數(shù)量積運算的必要性和價值；本節(jié)課知識點多、理論性強，涉及兩個向量的夾角、數(shù)量積、投影、數(shù)量積的性質(zhì)、數(shù)量積的運算律等問題，教學(xué)難度大，因此，教學(xué)中宜提綱挈領(lǐng)的策略，抓住要害與本質(zhì)，化繁為簡，化深為淺，采用逐一解決并及時鞏固的方式展開2.教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的定義. 3.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律. 三、教學(xué)方法研究式教學(xué)法：本節(jié)課呈現(xiàn)出由提出概念探究性質(zhì)

3、探究運算律應(yīng)用的線性思維方式，中間穿插有概括、類比等思維方式，因此，宜采用研究式教學(xué)法進行，就是教學(xué)思維展現(xiàn)出探究性特征.四、教學(xué)過程（一）設(shè)置情景，提出問題問題1 同學(xué)們在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)了向量的哪幾種運算？其運算結(jié)果是一個實數(shù)還是向量呢？那么，向量與向量之間的運算除了加法和減法外，是否能進行“乘法”運算呢？假設(shè)有，我們又將怎樣規(guī)定這種“乘法”運算？【設(shè)計意圖】從數(shù)學(xué)內(nèi)部講，有引入數(shù)量積的必要性，在實踐中，又能找到其背景，為數(shù)學(xué)發(fā)展找到合理依據(jù).為此，我們先看看下面的例子：引例：物體在力的作用下產(chǎn)生的位移，按下列條件求力所做的功.（1）力F與位移S的方向一致。FFFF（2）力F與位移S的夾角

4、為.解答：根據(jù)物理知識，易得（1）（2）.反思：在物理學(xué)中，力所做的功是.(其中是F與S的夾角)，結(jié)合上例，得到如下結(jié)論：(1)功是兩個向量F和S的一種運算“乘”的結(jié)果，而且這個結(jié)果是一個標(biāo)量(數(shù)量)；(2)功不僅與力和位移的大小有關(guān)，而且還與它們的方向有關(guān)，也就是說，與力F和位移s的夾角有關(guān)（二）探究解決，形成概念問題2 力和位移在物理學(xué)中是矢量，均可抽象為數(shù)學(xué)中的向量. 在數(shù)學(xué)中，如果要規(guī)定兩個向量的“乘法”運算，你的可能結(jié)果是什么？完成下表：物理學(xué)數(shù)學(xué)力F，位移S，F(xiàn)與S的夾角向量，夾角為功的“乘法”運算結(jié)果為：【設(shè)計意圖】采用歸納、概括、類比抽象出數(shù)學(xué)知識，是科學(xué)研究中常用的手段.這里

5、，借助物理學(xué)中功的計算，類比抽象出平面向量的數(shù)量積.定義：已知兩個非零向量，我們把叫做的數(shù)量積，也叫做的內(nèi)積，記作，即，其中為的夾角. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.練習(xí)1 已知，的夾角為.當(dāng)=時，求.練習(xí)2 在練習(xí)1中，若設(shè),，試求.對數(shù)量積定義的認(rèn)識與進一步理解：（1）力F所做的功可以表示為：；回到引例中的（2），.（2）中的“· ”不能省略，也不能寫成“”；（3）數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)；（4）兩個向量，的夾角. 確定夾角的方法：通過平移，把始點放在同一點；兩個平面向量夾角的范圍為：.（5）我們以力F所做的功為背景，概括出平面向量的數(shù)量積這一概念，這一定義蘊育了豐富的內(nèi)涵。一

6、方面，從定義的過程可以看出它的物理意義，就是力所做的功；另一方面，由于定義涉及的模及夾角，這就為數(shù)量積賦予了豐富的幾何內(nèi)涵.（6）把叫做方向上的投影；把叫做方向上的投影.（6）的數(shù)量積等于的長度與方向上的投影的乘積.這就是的幾何意義.練習(xí)3 在練習(xí)1中.（1）當(dāng)=時，試求方向上的投影；（2）當(dāng)=時，試求方向上的投影.（三）深入探究，發(fā)展能力1.探索平面向量數(shù)量積的性質(zhì)問題3 前面說過，平面向量的數(shù)量積定義有豐富的幾何內(nèi)涵，而在幾何中，平行與垂直是最重要的兩種形態(tài)，那么，在數(shù)量積中，若兩個向量平行或者垂直，會有什么結(jié)論呢？【設(shè)計意圖】從對向量的數(shù)量積的幾何內(nèi)涵的探討中，在深化認(rèn)識的同時，形成一些

7、有價值的結(jié)論.探索：（1）若垂直.則，反之亦然.故有；（2）若平行.當(dāng)方向相同時，有；當(dāng)方向相反時，有；特別是當(dāng)時，有，若將記作，則.（3）；（4）.練習(xí)4 在練習(xí)1的前提下，(1) ，求； (2) ，試求2.探索平面向量數(shù)量積的運算律問題4 我們知道，指數(shù)、對數(shù)都是一種新的運算，都有自己的運算律.兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可見平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的運算關(guān)系密切作為一種新的“運算”， 平面向量的數(shù)量積運算又有哪些運算律?實數(shù)運算數(shù)量積運算實數(shù)向量【設(shè)計意圖】平面向量的數(shù)量積是一種新的運算，必然有其運算規(guī)律要遵循，由于數(shù)量積是一個實數(shù)，所以將之與實數(shù)的運算律比較，得到數(shù)量積的運算律.通過

8、對此的類比研究，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究的常用方法.證明：略練習(xí)5 判斷正誤：若，則.（四）變式練習(xí)，反思矯正例1 試證明：（1）；（2）.例2 已知，的夾角為120°.（1）求；（2）為何值時，向量與互相垂直？ABCab（3）求的值.若將作為三角形的兩邊，即設(shè),，如圖，試解釋的幾何意義.練習(xí)6 已知，的夾角為.求：（1）； （2）； (3) ，并解釋其幾何意義.（五）歸納小結(jié)，納入系統(tǒng)平面向量的數(shù)量積定義平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的運算律1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：數(shù)量積、投影、幾何意義、數(shù)量積的性質(zhì)、數(shù)量積的運算律.其發(fā)展路徑和基本結(jié)構(gòu)是：2.平面向量數(shù)量積的意義在于幾何與物理方面的應(yīng)用.例如，求夾角、證明垂直、