六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)十七容斥原理二

1、十七、容斥原理(二)1.某校有500名學(xué)生報(bào)名參加學(xué)科競(jìng)賽，數(shù)學(xué)競(jìng)賽參加者共312名，作文競(jìng)賽參加者共353名,其中這兩科都參加的有292名,那么這兩科都沒(méi)有參加的人數(shù)為2.某門診部統(tǒng)計(jì)某一天掛號(hào)的病人，內(nèi)科150人，外科92人，其中內(nèi)、外兩科都求診的18人，這一天共來(lái)了3 .兩個(gè)正方形的紙片蓋在桌面上，位置與尺寸如圖所示，則它們蓋住3(平方厘米).4 .不超過(guò)30的正整數(shù)中，是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的數(shù)有個(gè).5 .在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有12人，參加田賽又參加徑賽的有7人,沒(méi)有參加比賽的有21人.那么甲班共有人.6 .在桌面上放置著三個(gè)兩兩重疊的圓紙片(如圖)，它們的

2、面積都是100(cm2)并知A、B兩圓重疊的面積是20(cm2),A、C兩圓重疊的面積為45(cm2),B、C兩圓重疊面積為31(cn2),平方厘米.三個(gè)圓共同重疊的面積為15(cn2),求蓋住桌子的總面積是7.在一次考試中，某班數(shù)學(xué)得100分的有17人，語(yǔ)文得100分的有13人，兩科都得100分的有7人，那么兩科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中兩科都不得100分的有人.8 .在1,2,3,1000這1000個(gè)自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)共有個(gè).9 .小于1000的自然數(shù)中，是完全平方數(shù)而不是完全立方數(shù)的數(shù)有個(gè).10 .某校有學(xué)生960人，其中有510人訂閱“作文報(bào)

3、”，有330人訂閱“數(shù)學(xué)報(bào)”,有120人訂閱“科學(xué)愛(ài)好者”，全校學(xué)生中有270人訂閱兩種報(bào)刊，有58人三種報(bào)刊都訂，那么這學(xué)校中沒(méi)有訂閱任何報(bào)刊的有人.11 .70名學(xué)生參加體育比賽，短跑得獎(jiǎng)的31人,投擲得獎(jiǎng)的36人，彈跳得獎(jiǎng)的29人，短跑與投擲二項(xiàng)均得獎(jiǎng)的12人，跑、跳、投三項(xiàng)均得獎(jiǎng)的有5人，只得彈跳獎(jiǎng)的有7人,只得投擲獎(jiǎng)白有15人.求（1）只得短跑獎(jiǎng)的人數(shù)；（2）得二項(xiàng)獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)；（3）一項(xiàng)獎(jiǎng)均未得的人數(shù).1 2.64人訂AB、C三種雜志.訂A種雜志的28人，訂B種雜志的有41人，訂C種雜志的有20人，訂AB兩種雜志的有10人，訂RC兩種雜志的有12人，訂A、C兩種雜志的有12人，問(wèn)三種

4、雜志都訂的有多少人？13 .求從1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù).14 .夏日的一天，有10個(gè)同學(xué)去吃冷飲.向服務(wù)員交出需要冷飲的統(tǒng)計(jì)，數(shù)字如下，有6個(gè)人要可可；有5個(gè)人要咖啡；有5個(gè)人要果汁；有3個(gè)人既要可可又要果汁；有2個(gè)人要可可又要咖啡；有3個(gè)人要咖啡又要果汁；有1個(gè)人既要可可、咖啡又要了果汁.求證其中一定有一個(gè)人什么冷飲也沒(méi)有要十七、容斥原理（二）（答案）第1道題答案：127從圖中可以看出：參加數(shù)學(xué)、作文競(jìng)賽的總?cè)藬?shù)為312+353-292=373（人）從而可知這兩科都沒(méi)有參加的人數(shù)為500-373=127（人）.第2道題答案：224從圖可以看出，來(lái)診病人總

5、數(shù)為150+92-18=224（人）.內(nèi)科1181外科150人1人，92人第3道題答案：10.75把兩個(gè)正方形面積加起來(lái)得22+32=13,但其中多算了一塊陰影部分的面積，這部分面積為1.52=2.25（平方厘米）,故兩個(gè)正方形蓋住的總面積是22+32-1.52=13-2.25=10.75（cn2）第4道題答案：15不超過(guò)30的3的倍數(shù)有3°=10（個(gè)，不超過(guò)30的4的倍數(shù)有3°=7（個(gè)）；不超過(guò)30的3M4=12的倍數(shù)有|_32-1=2（個(gè)），因此不超過(guò)30的正整數(shù)中是3的倍數(shù)，或是4的_34倍數(shù)的數(shù)共有10+7-2=15（個(gè)）.第5道題答案：41如圖所示，易知總?cè)藬?shù)為（

6、15+12-7）+21=41（人）.第6道題答案：219由容斥原理知，蓋住桌面的總面積為100+100+100-（20+45+31）+15=219（平方厘米）.第7道題答案：23;22第8道題答案:333至少一科得100分的有17+13-7=23（人），兩科都不得100分的有45-23=22（人）.71lT在11000的自然數(shù)中，2的倍數(shù)有|1000"i=500（個(gè)）,3的倍數(shù)有一2I10001=333（個(gè)）,2乂3=6的倍數(shù)共有1I0001=166（個(gè)），故是2或是3的倍數(shù)共有IL3.123500+333-166=667（個(gè)），從而既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)共有1000-6

7、67=333（個(gè)）.第9道題答案：28小于1000的自然數(shù)中，是完全平方數(shù)的有12、22、，312共31個(gè).其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方數(shù)，故符合條件的數(shù)有31-3=28（個(gè)）第10道題答案：121由容斥原理知，或訂“作文報(bào)”或訂“數(shù)學(xué)報(bào)”或訂“科學(xué)愛(ài)好者”的總?cè)藬?shù)為510+330+120-270+58=748（人）故三種報(bào)刊都沒(méi)有訂的人數(shù)為960-748=212（人）.第11道題答案：（1）如圖，用矩形表示參賽的70個(gè)學(xué)生，而用三個(gè)圓表示分別在跑、跳、投中得獎(jiǎng)的人.設(shè)x為只得短跑獎(jiǎng)的人數(shù)，y為只在短跑和彈跳兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù)，z為只在彈跑與投擲兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù),u為只在投

8、擲和短跑兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù).則有U=12-5=7（人），z=36-15-12=9（人），y=29-5-7=8（人），x=31-12-8=11（人）.即只得短跑獎(jiǎng)的有11人.（2）得二次獎(jiǎng)的人數(shù)為y+z+u=8+9+7=24（人）.（3）因至少得一次獎(jiǎng)的人數(shù)為x+y+z+u+5+7+15=62（人），故一項(xiàng)獎(jiǎng)均未得的人數(shù)為70-62=8（人）.第12道題答案：設(shè)三種雜志均iT的人數(shù)為x,則有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三種雜志都訂的有9人.第13道題答案:在11994中，能被5整除的個(gè)數(shù)為1994=398;能被6整除的個(gè)數(shù)為1994二332;_5_6能被7整除的個(gè)數(shù)為1994=284;能被5M6=30整除的個(gè)數(shù)為|啰41=66;能被5x7=35一7_30整除的數(shù)為|!9絲=56;能被6父7=42整除的個(gè)數(shù)為生絲=47;能被5x6x7=210整除的-35,42個(gè)數(shù)為1994=9.IL210根據(jù)容斥原理，11994中或能被5,或能被6,或能被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為:(