幾何最值—軸對(duì)稱求最值含答案

1、學(xué)生做題前請(qǐng)先回答以下問題問題1:幾何最值問題的理論依據(jù)是什么？答：兩點(diǎn)之間，;（已知兩個(gè)定點(diǎn)）最短（已知一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線）；三角形（已知兩邊長固定或其和、差固定）.答：兩點(diǎn)之間，線段最短（已知兩個(gè)定點(diǎn)）：垂線段最短（已知一個(gè)定點(diǎn)X條定直線三角題三邊關(guān)系（已知兩邊長固定或其和.差固定）.問題2:做題前，讀一讀，背一背:學(xué)習(xí)以下軸時(shí)稱最值模型工求出-尸8的最小值,使點(diǎn)在線異側(cè)求白-尸8|的最大值.使點(diǎn)在線同側(cè)MN固定長度線段MV在直線，上滑動(dòng)，求的最小值，需平移EN（或AM）,轉(zhuǎn)化為AU+MB，解決.答：直線L及異側(cè)兩點(diǎn)AB求作直線L上一點(diǎn)P使P與AB兩點(diǎn)距離之差最大作A點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A1

2、,連接A1B,并延長交L的一點(diǎn)就是所求的P點(diǎn).這樣就有：PA=PA1,P點(diǎn)與A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B.下面證明A1B是二者差的最大值.首先在L上隨便取一個(gè)不同于P點(diǎn)的點(diǎn)P1,這樣P1A1B就構(gòu)成一三角形，且P1A1=P1A.根據(jù)三角形的性質(zhì)，二邊之差小于第三邊，所以有：P1A1-P1BA1B,即:p1A-p1B<A1B.這就說明除了P點(diǎn)外，任何一個(gè)點(diǎn)與A,B的距離差都小于A1B.反過來也說明P點(diǎn)與A,B的距離差的最大值是A1B.所以，P點(diǎn)就是所求的一點(diǎn).第1頁共10頁幾何最值一軸對(duì)稱求最值一、單選題（共7道，每道14分）AC上1 .如圖，正方形ABCD的面積為12,AB

3、E是等邊三角形，且點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，在對(duì)角線存在一點(diǎn)巳使得PD+PE的值最小，則這個(gè)最小值為（）B.'A.3C.2D.4r答案：C解題思路：L思路分析特征:定點(diǎn)：P*E動(dòng)點(diǎn)（定直線上P（AQ目標(biāo);和最小操作：對(duì)稱到異側(cè)2.解題過程如圖,正方形的頂點(diǎn)關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱,PBPD,那么求“PAPE”的最小值就轉(zhuǎn)化成求“PB+PE"的最小值.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,可以得出BE的長即為所求,第2頁共10頁B:正方形.必CO的面積為12,；AB入勺3:agBE是等邊三角形，BE=AB=2-73.試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一線段之和最小2.如圖，在4ABC中，/ACB=

4、90°,以AC為一邊在4ABC外側(cè)作等邊三角形ACD,過點(diǎn)D作DELAC,垂足為F,DE與AB相交于點(diǎn)E.AB=10cm,BC=6cm,P是直線DE上的一點(diǎn)，連接PC,PB,則PBC周長的最小值為（）A.16cmBUcmC.24cmD.26cm答案：A解題思路:第3頁共10頁L思路分析C.pscrrdn特征:定點(diǎn)：見C動(dòng)點(diǎn)(定直淺)：P(DE)目標(biāo)：和最小操作：對(duì)稱到異側(cè)2.解題過程由題意得，BC的長度為定值，要使產(chǎn)BC的周長最小，只需PC+PB的值最小即可.在等邊三角形且CO中，'DELACr，點(diǎn)。關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)3PC=PA,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合的時(shí)候，F(xiàn)B+知最小,即產(chǎn)

5、B+穴:最小,此時(shí)APBC的周長最小，如圖所示，融C的最小周長為：FB+PC+BC三小田010-6=16(cm).試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一線段之和最小3.如圖，A,B兩點(diǎn)在直線/的異側(cè)，點(diǎn)A到1的距離AC=4,點(diǎn)B到1的距離BD=2,CD=6.若點(diǎn)P在直線/上運(yùn)動(dòng)，則陷一罔的最大值為()BC.6D.第4頁共10頁答案：B解題思路：L思路分析PAPBma;：特征：定點(diǎn)：AtB動(dòng)點(diǎn)（定直線H目標(biāo)：差最大操作：對(duì)稱到同側(cè)2.解題過程要求尸切的最大值，需使點(diǎn)d,B在直線/同側(cè).如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)連接X5,并延長，與直線的交點(diǎn)即為使得尸力|取最大值時(shí)時(shí)應(yīng)的點(diǎn)R此時(shí)|產(chǎn)“一PB=-M=.

6、451過點(diǎn)方作刃E_L且C于點(diǎn)E,如圖,可得四邊形3NCE為矩形，"B'E=CD=6,ECB'D=BD=2,：AC=4r，A£=2.,一=J厲+BE，=2而.即廬4一%|的最大值為2而.試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一線段之差（絕對(duì)值）最大貝UPK+QK4 .如圖，在菱形ABCD中，AB=4,/ABC=60°,點(diǎn)巳Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),的最小值為（）第5頁共10頁KA.2B.lJ-'C.4D.-J答案：D解題思路:作尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)R由菱形的質(zhì)可知，點(diǎn)E在線段且占上,迂接球，如圖，BPC則EK=PK,：.PK-OK=E

7、K+OK,EK+QKEQr當(dāng)&Kt。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,二EK-QK的最小值為線段眼的長.尸是上的任意一點(diǎn)，總是一好上的任意一點(diǎn)，。是C。上的任意一點(diǎn)，當(dāng)E014&時(shí)，EQ的長最小，此時(shí)用？二2小.的最小值為2G試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一最短路線問題y軸的正半軸上，OA=3,CDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)5 .在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,B分別在x軸、OB=4,D為邊OB的中點(diǎn).若E,F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,則當(dāng)四邊形F的坐標(biāo)為（）第6頁共10頁1 7A（于。），。）A.B.C.-+D.'1111答案：B解題思路：L思路分析網(wǎng)

8、，）特征：定點(diǎn)：C,。仁遜mm動(dòng)點(diǎn)（線段長工EF（EF=1）目標(biāo)：和最小操作：平移，對(duì)稱到異惻2.解題過程通過題意可知，E尸和CD的長固定，要使四邊形CDEF的周長最小，只需OE+CE最小.如圖，CF向左平移兩個(gè)單位到CE得CF=C£此時(shí)就轉(zhuǎn)化為求。E+CE的最小值.O；EFA第7頁共10頁作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)X連接CD與x軸的交點(diǎn)即為DE+CX最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E根據(jù)題意可得，Cf(L4),?？?，-2),.直線C3的解析式為:y=6x-2,/點(diǎn)E的坐標(biāo)為4,0),，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(針0).試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一線段之和最小6.如圖，/AOB=30°,/AOB內(nèi)有一定

9、點(diǎn)P,且OP=10.若Q為OA上一點(diǎn)，R為OB上一點(diǎn)，則4PQR周A.10B.15C.20D.30答案：A解題思路：產(chǎn)是定點(diǎn)，。，我是在定直線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn).如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于射線。乩OB的對(duì)稱點(diǎn)出通連接冊(cè)0，RR,P1貝ljPO+OR+PR=PO+OR+RR,第8頁共10頁要求PQ?周長的最小值，即求%+0?+牝的最小值，丁尸是定點(diǎn)，J;，月也是定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。，五分別是片月與的交點(diǎn)時(shí)，Q+QR+HP,最小，即為線段月的長，如圖所示.連接期，出，由對(duì)稱可知OP1=OP=OP2,/Pi。=/尸。，乙P1OR二£POR、丁/尸1。尸尸2/乂0£=60°，,APiQB是等邊三角形，££=。4=。尸=10,即尸。氏周長的最小值為10.試題難度：三顆星知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱一線段之和最小7.如圖，已知/MON=20,A為OM上一點(diǎn),0A=4也,D為ON上一點(diǎn),OD=ij3若C為AM上任意一點(diǎn)，B為OD上任意一點(diǎn)，則AB+BC+CD勺最小值是（A.10B.11C.12D.13答案：C解題思路：第9頁共10頁/和D是定點(diǎn)，8和C是在定直線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn).如圖，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Dr,連接4區(qū)CDft則+BC+CD=HB+HC-QT.1/J,O為定點(diǎn)，.D為定點(diǎn)，：,HB+3C+CZV