決戰(zhàn)2020年高考數學理數列專題：數列的求和分組求和、倒序相加法解析版

1、數列數列的求和(分組求和、倒序相加法)具體目標:一、二、知識概述：具本目標：1.掌握等差、等比數列的求和方法；2.掌握等非差、等比數列求和的幾種常見方法.考綱解讀：會用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉化法求解不同類型數列的和，非等差、等比數列的求和是高考的熱點，特別是錯位相減法和裂項相消法求和二、知識概述：求數列前n項和的基本方法(1)直接用等差、等比數列的求和公式求和；等差：Sn逸3na2na1等比：Snai(1qn)iq(理)無窮遞縮等比數列時，S(2)掌握一些常見的數列的前n(n1).Md；(qi)公比是字母時需要討論(qi)aiiqn項和公式：22462nnn；135

2、nn2；122232n2nn12n1；13233：(3)倒序相加法求和：如果一個數列an,與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法.(4)錯位相減法求和：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求.q倍錯位相減法：若數列cn的通項公式0nanbn,其中an、bn中一個是等差數列，另一個是等比數列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和.這種方法叫q倍錯位相減法.溫馨提示：1.兩個特殊數列等差與等比的

3、乘積或商的組合.2.關注相減的項數及沒有參與相減的項的保留(5)分組求和：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，先分別求和，再合并.通項公式為an=bn,n為奇數cn,n為偶數fn,n2k1,kNgn,n2k,kN其中數列bn,0n是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和.形如：anbn其中an是等差數列，anbn是等比數列1nfn類型，可采用兩項合(6)并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如3并求解.合并求和：如求10029929829722212的和.(7)裂項相消法求和：把數

4、列的通項拆成兩項之差，正負相消剩下首尾若干項常見拆項：11,n(n1)nn11(2n1)(2n1)11122n12n111111n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)'，n-11.12019優(yōu)選題】設數列1,12,1222,八2八3,23,L,1222和為Sn,則Sn的值為（）A.2n1B.2nnC.2nD.2n1【解析】由題意可知數列的通項為an222n12n2n12Sn212212312n1=22223L2nn212n122n1n2.2.12019優(yōu)選題】數列2,一0132 ,3,4,一48A.n(22B.*,n一21)n項之和為（12n2nn4C.22nn4D.2【解析】

5、本題考點是分組求和在求數列和的具體運用原式11201211221_2n112n13.12019優(yōu)選題】數列an的通項公式是an1,則該數列的前100項之和為（A.200B100100【解析】本題考點是分組求和在求數列求和的具體運用根據題意有S1001357921197199250100,故選D.【答案】D4.12019優(yōu)選題】11103100510n2n1的值為（）10nA.(101)n910n1B.§(101)0.1(10°91)10n2d.(10n1)(n1)29【解析】原式101102310310n2n21010n102n="(10n91)5.12019優(yōu)選

6、題】設f(x)4x一，則f21112113111011【解析】本題考點是倒序相加求和的具體運用2+4x.f(x)=4,.、(1x)=1-444x+2，/4+24x-f(x)+f(1-x)=4xT+1.設S=f-112f113f111011S=f311911811111兩式相加可得2S=1011111f11121111110112s=10,.S=5.4x4一一6.設f(x)=4*+2，右S=f(20142015)+f(2015)+f(2015)則S=【解析】本題考點是倒序相加求和的具體運用4x.、41x2-f(x)=4+2，.小二/42=天，4x2.f(x)+f(1x)=4+2T=1.1 .一2

7、.一2014.小S=f(2015)+f(2015)+f(2015)，°2 01420131-S=f(2015)+f(2015)+f(2015)，20142201320141°十°倚,=%015)+f(2015)+f(2015)+f(2015)+%015)+f(2015)=2014,S=201421007.【答案】10077.【2018年高考天津卷文數】設an是等差數列，其前n項和為Sn（nCN*）;bn是等比數列，公比大于0,其前n項和為Tn(nCN*).已知b=1,b3=b2+2,b4=a3+as,bs=a4+2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn+(T1+T

8、2+Tn)=an+4bn,求正整數n的值.【解析】（1）設等比數列bn的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2q20.12n.因為q0,可得q2,故bn2.所以，Tn2n1.12a42a6,可得3al13d16,從設等差數列an的公差為d.由b4a3a5,可得a13d4.由b5n(n1)而a11,d1,故ann,所以，Sn2(2)由(1),有T1T2LTn(2123L2n)2(12n)n=12n0n1c。n2n2.由Sn(T1T2LTn)an4bn可得n(n"2n1n2n2n12整理得n23n40,解得n1（舍），或n4.所以n的值為4.【答案】（1）Sn"&quo

9、t;",Tn2n1;（2）4.25*_、_2-8.12019優(yōu)選題】已知數列an滿足a1,若對于任意nN,n2,二次方程anxanx10都6有根，且滿足331。1（1）求證：an一是等比數列；（2）求數列an的通項公式；（3）求數列an的前n項和Sn。2【分析】本題考查等差數列等比數列的通項公式、前n項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力.第一問，利用根與系數關系，得到兩根之和、兩根之積，代入到331中，得到an和an1的關系式，再用配湊法，湊出一個新的等比數列；第二問，利用第一問的結論，先求出新數列1an一的通項公式，再求an;第三問，用分組求和的方法，分別是等比

10、數列和等差數列，直接用前n項2和公式求和即可【解析】由題意可知an1x2anx10都有根1.所以有anan11，整理得3an1可得3an1an1,得到an(2)(3)an1an1an.而21，所以數列3(1)可得anan13n口1，_，是以為首項,31,-為公比的等比數列3an9.在遞增的等比數列an中，a2=6,且(1)求an的通項公式;4(a3a2)(2)若bn=an+2n-1,求數列bn的前n項和Sn.123n【分析】(1)利用已知條件求出公比與首項，然后求解通項公式.(2)利用遞推關系式，結合拆項法求解數列的和即可.【解析】(1)設公比為q,由4(a3-a2)=a4-6,彳導4(6q-

11、6)=6q2-6,化簡得q24q+3=0,解得q=3或q=1,因為等比數列an是遞增的，所以a1=2,所以an(2)由(1)得bn3n12n1,所以Sn1823n11則Sn2n12n-,所以Sn3nn211.已知Sn24681012L1n2n則Sl5S20S50.【解析】本題考點是分組求和在求數列求和的具體運用S1524681012262830(24)(68)(1012)(2628)30(2)3016S20246810123840(24)(68)(1012)(3840)(2)1020同理S50(2)25501620502.計算：sin21osin22osin23osin288osin2890【

12、解析】本題考點是倒序相加求和，同角三角函數平方和為1.因為：sin2sin2(90o)sin22cos2o2c02<o設Ssin1sin2sin3sin288osin289oSsin289osin288o2c。sin3-2oosin2.2osin1從而，2s(sin21osin289o)(sin22osin288o)(sin288osin22o)(sin289osin21o)89所以Ssin21osin22osin23o,2osin88,2o89sin89289【答案】893.設f(x)21x1L，利用課本中推導等差數列的前2Xh2n項和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5

13、)f(6)的值為:本題考點是倒序相加求和的具體運用因為f2X2x2、22X122x2x12X.21,22X2xg、.22x)2X2設Sf5f4Lf6,則Sf6f5Lf5所以：2s(f6f5)L(f5f6)=6.、2即：Sf5f4Lf6=32.【答案】3、,24.求Sn111111111的和.n個1【解析】因為ak111=110102k個110k1=910k所以sn1101102110n1912101010n911010n110n19n10n99815.求和：(1002992)(982972)(4232)(2212)【解析】原式=1002992982972L4232-2J21100999897L

14、211001100505026.求和：123L50.【解析】解法一：令S123L50S1505012752所以可得123L50的和為1275.解法二：令S123L50則有S504948L1將兩式相加得：2sS15050,八501501275所以可得123L50的和為1275.7.(a1)(a22).(ann)【解析】原式=(aa2.an)(12.n)/2(aanx.a)n(n1)a(1an)a2n/7(an(n1)2(a1)8.已知函數Fx3x2x1),、_1(IMF20092200920082009(II)已知數列an滿足a1Fan，求數列an的通項公式；(ni)求證：a1a2a3.an、.

15、2n【解析】()因為Fx3x2x121所以設S=F-200922009F20082009(1)(1)+(2)2S2008S=F-20092007F-20091F-2009.(2)得:12009200820092200920072009F2008200912009320086024,所以S=3012an兩邊同減去1,得an13422an1an12an1所以an1124'an12a11an1an11所以an111an12,an1是以2為公差以1，1為首項的等差數列，a11所以1an122n1an112n12n2n1因為22n2n2n2n1所以2n2n12n2n2n2n12n2n所以aa2a

16、3.anaa2a3.4242n32n12n2n12n2n12n12n.2n19.已知an是一個公差大于0的等差數列,且滿足a3a6=55,a2+a7=16.(I)求數列an的通項公式:(n)若數歹Uan和數列bn滿足等式:an=bb2b3T2T322.員(n為正整數)，求數列bn的前n項和2nSn【解析】(1)設等差數列an的公差為d,則依題設d>0由a2+a7=16.得2al7d16由a3a655,得(a2d)(a15d)55由得2al167d將其代入得(163d)(163d)220。即2569d2220d2an4,又d0,d2,代入得a111(n1)22n1b一，(2)令Cn歹,則有anGc2KCn,an1C2KCn1an1兩式相減得CnanCn1,由(1“導a11,an12,Cnbn2,(n2n1(n2(n2),即當n1)2)an2時,2bn2n1又當n=1時，b12al2于是Snb1b2b3Kbn22324K2n1c,9/9n1=2222324K2n1-4=-()42n26,即Sn262 1310.已知S是數列an的前n項和，qa22,且&