決戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)理數(shù)列專題：數(shù)列的求和分組求和、倒序相加法解析版

1、數(shù)列數(shù)列的求和(分組求和、倒序相加法)具體目標(biāo):一、二、知識概述：具本目標(biāo)：1.掌握等差、等比數(shù)列的求和方法；2.掌握等非差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.考綱解讀：會用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)化法求解不同類型數(shù)列的和，非等差、等比數(shù)列的求和是高考的熱點(diǎn)，特別是錯位相減法和裂項(xiàng)相消法求和二、知識概述：求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和；等差：Sn逸3na2na1等比：Snai(1qn)iq(理)無窮遞縮等比數(shù)列時，S(2)掌握一些常見的數(shù)列的前n(n1).Md；(qi)公比是字母時需要討論(qi)aiiqn項(xiàng)和公式：22462nnn；135

2、nn2；122232n2nn12n1；13233：(3)倒序相加法求和：如果一個數(shù)列an,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法.(4)錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求.q倍錯位相減法：若數(shù)列cn的通項(xiàng)公式0nanbn,其中an、bn中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和.這種方法叫q倍錯位相減法.溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的

3、乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒有參與相減的項(xiàng)的保留(5)分組求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，先分別求和，再合并.通項(xiàng)公式為an=bn,n為奇數(shù)cn,n為偶數(shù)fn,n2k1,kNgn,n2k,kN其中數(shù)列bn,0n是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.形如：anbn其中an是等差數(shù)列，anbn是等比數(shù)列1nfn類型，可采用兩項(xiàng)合(6)并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如3并求解.合并求和：如求10029929829722212的和.(7)裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)

4、列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)常見拆項(xiàng)：11,n(n1)nn11(2n1)(2n1)11122n12n111111n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)'，n-11.12019優(yōu)選題】設(shè)數(shù)列1,12,1222,八2八3,23,L,1222和為Sn,則Sn的值為（）A.2n1B.2nnC.2nD.2n1【解析】由題意可知數(shù)列的通項(xiàng)為an222n12n2n12Sn212212312n1=22223L2nn212n122n1n2.2.12019優(yōu)選題】數(shù)列2,一0132 ,3,4,一48A.n(22B.*,n一21)n項(xiàng)之和為（12n2nn4C.22nn4D.2【解析】

5、本題考點(diǎn)是分組求和在求數(shù)列和的具體運(yùn)用原式11201211221_2n112n13.12019優(yōu)選題】數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an1,則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（A.200B100100【解析】本題考點(diǎn)是分組求和在求數(shù)列求和的具體運(yùn)用根據(jù)題意有S1001357921197199250100,故選D.【答案】D4.12019優(yōu)選題】11103100510n2n1的值為（）10nA.(101)n910n1B.§(101)0.1(10°91)10n2d.(10n1)(n1)29【解析】原式101102310310n2n21010n102n="(10n91)5.12019優(yōu)選

6、題】設(shè)f(x)4x一，則f21112113111011【解析】本題考點(diǎn)是倒序相加求和的具體運(yùn)用2+4x.f(x)=4,.、(1x)=1-444x+2，/4+24x-f(x)+f(1-x)=4xT+1.設(shè)S=f-112f113f111011S=f311911811111兩式相加可得2S=1011111f11121111110112s=10,.S=5.4x4一一6.設(shè)f(x)=4*+2，右S=f(20142015)+f(2015)+f(2015)則S=【解析】本題考點(diǎn)是倒序相加求和的具體運(yùn)用4x.、41x2-f(x)=4+2，.小二/42=天，4x2.f(x)+f(1x)=4+2T=1.1 .一2

7、.一2014.小S=f(2015)+f(2015)+f(2015)，°2 01420131-S=f(2015)+f(2015)+f(2015)，20142201320141°十°倚,=%015)+f(2015)+f(2015)+f(2015)+%015)+f(2015)=2014,S=201421007.【答案】10077.【2018年高考天津卷文數(shù)】設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（nCN*）;bn是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項(xiàng)和為Tn(nCN*).已知b=1,b3=b2+2,b4=a3+as,bs=a4+2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn+(T1+T

8、2+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2q20.12n.因?yàn)閝0,可得q2,故bn2.所以，Tn2n1.12a42a6,可得3al13d16,從設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5,可得a13d4.由b5n(n1)而a11,d1,故ann,所以，Sn2(2)由(1),有T1T2LTn(2123L2n)2(12n)n=12n0n1c。n2n2.由Sn(T1T2LTn)an4bn可得n(n"2n1n2n2n12整理得n23n40,解得n1（舍），或n4.所以n的值為4.【答案】（1）Sn"&quo

9、t;",Tn2n1;（2）4.25*_、_2-8.12019優(yōu)選題】已知數(shù)列an滿足a1,若對于任意nN,n2,二次方程anxanx10都6有根，且滿足331。1（1）求證：an一是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn。2【分析】本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問，利用根與系數(shù)關(guān)系，得到兩根之和、兩根之積，代入到331中，得到an和an1的關(guān)系式，再用配湊法，湊出一個新的等比數(shù)列；第二問，利用第一問的結(jié)論，先求出新數(shù)列1an一的通項(xiàng)公式，再求an;第三問，用分組求和的方法，分別是等比

10、數(shù)列和等差數(shù)列，直接用前n項(xiàng)2和公式求和即可【解析】由題意可知an1x2anx10都有根1.所以有anan11，整理得3an1可得3an1an1,得到an(2)(3)an1an1an.而21，所以數(shù)列3(1)可得anan13n口1，_，是以為首項(xiàng),31,-為公比的等比數(shù)列3an9.在遞增的等比數(shù)列an中，a2=6,且(1)求an的通項(xiàng)公式;4(a3a2)(2)若bn=an+2n-1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.123n【分析】(1)利用已知條件求出公比與首項(xiàng)，然后求解通項(xiàng)公式.(2)利用遞推關(guān)系式，結(jié)合拆項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可.【解析】(1)設(shè)公比為q,由4(a3-a2)=a4-6,彳導(dǎo)4(6q-

11、6)=6q2-6,化簡得q24q+3=0,解得q=3或q=1,因?yàn)榈缺葦?shù)列an是遞增的，所以a1=2,所以an(2)由(1)得bn3n12n1,所以Sn1823n11則Sn2n12n-,所以Sn3nn211.已知Sn24681012L1n2n則Sl5S20S50.【解析】本題考點(diǎn)是分組求和在求數(shù)列求和的具體運(yùn)用S1524681012262830(24)(68)(1012)(2628)30(2)3016S20246810123840(24)(68)(1012)(3840)(2)1020同理S50(2)25501620502.計算：sin21osin22osin23osin288osin2890【

12、解析】本題考點(diǎn)是倒序相加求和，同角三角函數(shù)平方和為1.因?yàn)椋簊in2sin2(90o)sin22cos2o2c02<o設(shè)Ssin1sin2sin3sin288osin289oSsin289osin288o2c。sin3-2oosin2.2osin1從而，2s(sin21osin289o)(sin22osin288o)(sin288osin22o)(sin289osin21o)89所以Ssin21osin22osin23o,2osin88,2o89sin89289【答案】893.設(shè)f(x)21x1L，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前2Xh2n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5

13、)f(6)的值為:本題考點(diǎn)是倒序相加求和的具體運(yùn)用因?yàn)閒2X2x2、22X122x2x12X.21,22X2xg、.22x)2X2設(shè)Sf5f4Lf6,則Sf6f5Lf5所以：2s(f6f5)L(f5f6)=6.、2即：Sf5f4Lf6=32.【答案】3、,24.求Sn111111111的和.n個1【解析】因?yàn)閍k111=110102k個110k1=910k所以sn1101102110n1912101010n911010n110n19n10n99815.求和：(1002992)(982972)(4232)(2212)【解析】原式=1002992982972L4232-2J21100999897L

14、211001100505026.求和：123L50.【解析】解法一：令S123L50S1505012752所以可得123L50的和為1275.解法二：令S123L50則有S504948L1將兩式相加得：2sS15050,八501501275所以可得123L50的和為1275.7.(a1)(a22).(ann)【解析】原式=(aa2.an)(12.n)/2(aanx.a)n(n1)a(1an)a2n/7(an(n1)2(a1)8.已知函數(shù)Fx3x2x1),、_1(IMF20092200920082009(II)已知數(shù)列an滿足a1Fan，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(ni)求證：a1a2a3.an、.

15、2n【解析】()因?yàn)镕x3x2x121所以設(shè)S=F-200922009F20082009(1)(1)+(2)2S2008S=F-20092007F-20091F-2009.(2)得:12009200820092200920072009F2008200912009320086024,所以S=3012an兩邊同減去1,得an13422an1an12an1所以an1124'an12a11an1an11所以an111an12,an1是以2為公差以1，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，a11所以1an122n1an112n12n2n1因?yàn)?2n2n2n2n1所以2n2n12n2n2n2n12n2n所以aa2a

16、3.anaa2a3.4242n32n12n2n12n2n12n12n.2n19.已知an是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a6=55,a2+a7=16.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式:(n)若數(shù)歹Uan和數(shù)列bn滿足等式:an=bb2b3T2T322.員(n為正整數(shù))，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和2nSn【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則依題設(shè)d>0由a2+a7=16.得2al7d16由a3a655,得(a2d)(a15d)55由得2al167d將其代入得(163d)(163d)220。即2569d2220d2an4,又d0,d2,代入得a111(n1)22n1b一，(2)令Cn歹,則有anGc2KCn,an1C2KCn1an1兩式相減得CnanCn1,由(1“導(dǎo)a11,an12,Cnbn2,(n2n1(n2(n2),即當(dāng)n1)2)an2時,2bn2n1又當(dāng)n=1時，b12al2于是Snb1b2b3Kbn22324K2n1c,9/9n1=2222324K2n1-4=-()42n26,即Sn262 1310.已知S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，qa22,且&