初三數(shù)學(xué)圓的認(rèn)識知識精講華東師大版

1、word初三數(shù)學(xué)圓的認(rèn)識知識精講華東師大版【本講教育信息】1 .教學(xué)內(nèi)容：§ 1.1 圓的認(rèn)識2 .學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解圓及弦、弧、圓心角、圓周角的概念；了解弧、弦、圓心角的關(guān)系，以及圓的對稱性及垂徑定理；探索并了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑與圓周角的特征。3 .重點、難點：1 .重點：圓的對稱性、圓周角的一些性質(zhì)。2 .難點：垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理。4 .知識梳理：1 .圓的基本元素圓的定義在平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，記作“OO”，讀作“圓O”，其中O叫做圓心，OA叫做半徑。說明：以上關(guān)于圓的定義是從圓的形成角度而給出的。這與在

2、七年級學(xué)習(xí)角的定義一樣，角也可以從角的形成上來定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。角還可以定義為：有公共端點的兩條射線組成的圖形。事物之間都是有聯(lián)系的，圓也可以這樣定義：到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。與圓有關(guān)的概念弦與直徑。連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如圖，線段AB是弦，AC是直徑）。由此可知：直徑是弦，而弦不一定是直徑，直徑是圓中最長的弦。弧與半圓。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。直徑所對的弧叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。如圖，庭？叫做劣弧，艮叫做優(yōu)弧。

3、而AB&叫牡圓。想一想，圖中還有哪些??？由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB與直8及£圓組成兩個不同的弓形。同圓與同心圓。同圓是指同一個圓；同心圓是指圓心相同，半徑不等的圓。下面圖中的兩個圓就是以O(shè)為圓心的同心圓。1/12word等圓與等弧。能夠重合的兩個圓叫做等圓?；蛘哒f半徑相等的兩個圓是等圓。上圖中的O。1、OO2就是兩個等圓。等弧是指能夠完全重合的弧。因為兩條弧只有在同圓或等圓中才可能互相重合，所以等弧必須是同圓或等圓中的弧。特別要注意的是，長度相等的弧不一定是等弧，度數(shù)相等的弧也不一定是等弧。圓心角。頂點在圓心的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度

4、數(shù)。2 .圓的對稱性圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；相等的弦所對的圓心角相等，所對的劣?。ɑ騼?yōu)?。┫嗟?。結(jié)合圖形，用字母（幾何符號語言）表示,如圖，在。O中，Z1=Z2rzi-z2AB=CD垂徑定理如圖所示，若在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB,?垂足為P,再將紙片沿著直徑_CD對折，比較AP與PB,AC與EC,利用圓的對稱性，能得出以下結(jié)論：AP=PB,AD=ED。這就是垂徑定理。用文字語言可表述為：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。結(jié)合圖形，用字母（幾

5、何符號語言）表示為2/12word如圖所示，在。o中，說明：圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心，圓又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，即繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意的角度都能與它本身重合，圓的旋轉(zhuǎn)不變性使它具有其他中心對稱圖形所沒有的性質(zhì)，即圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，可概括為：在一個圓（同圓或等圓）中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。此性質(zhì)的運用，須注意“在一個圓（同圓或等圓）中”這一前提條件。圓還是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。于是就有了垂徑定理。還可概括為：如果一條直線：垂直于弦；經(jīng)過圓心；平分弦；平分弦所對的優(yōu)弧；平分弦所對的劣弧。具備其中任意

6、兩個條件，那么就可得到其他三個結(jié)論。簡稱為“知二推三”。但應(yīng)注意：為條件時，即“經(jīng)過圓心平分弦”，必須是非直徑的弦，因為圓的任何兩條直徑都互相平分。由圓的對稱性得到的這兩個性質(zhì)是證明線段相等、角相等以及弧相等的重要依據(jù)，常常與直角三角形、等腰三角形等知識結(jié)合起來使用。這兩條性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)容的重點。3 .圓周角圓周角的概念。頂點在圓上，并且兩邊與圓相交的角是圓周角。判別圓周角時必須滿足兩個條件，頂點在圓上，另一個條件是兩邊與圓相交，兩者缺一不可。如下圖所示，只有圖的角是圓周角。其余都不是圓周角。尊圓周角的性質(zhì)半圓或直徑所對的圓周角相等，都等于90。（直角）；90。的圓周角所對的弦是直徑。一條弧所對

7、的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半。用符號語言可表示為：如圖，在OO中，圓周角/ACB和圓心角/AOB都對著同一條弧AB,所以有：/ACB=1/AOB23/12word一條弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系這一性質(zhì)的推導(dǎo)是本節(jié)的難點，課本運用了分類的思想方法，分三種情況來說明，首先從特殊入手，即讓圓心在圓周角的一邊上給予推導(dǎo)，另外兩種情況都與第一種推導(dǎo)方法有聯(lián)系，我們平時在解答有關(guān)拓展延伸類型的題目時要注意這種方法的運用。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等。說明：圓周角的性質(zhì)是圓中證明兩角相等，兩線段相等，兩條弧相等的重要依據(jù)。在中考中

8、，大多以選擇和填空形式出現(xiàn)，近幾年還出現(xiàn)了以考查圓周角的性質(zhì)為背景的探索題。在圓中出現(xiàn)直徑，常常需要構(gòu)造直徑所對的圓周角一一直角。這在證明時是種基本圖形。【典型例題】例1.下列結(jié)論：弦是直徑；過圓心的線段是直徑；弧是半圓；長度相等的兩條弧是等弧。其中正確的有（）A.0個B.1個C.2個D.3個解析：正確理解圓的有關(guān)概念，是研究圓的基本性質(zhì)和解決有關(guān)問題的基礎(chǔ)。根據(jù)以上對圓的有關(guān)概念的分析可知，弦與直徑的聯(lián)系與區(qū)別是：弦與直徑都是連結(jié)圓上兩點的線段；其區(qū)別是：直徑必須是經(jīng)過圓心的弦.。所以和都是錯誤的。同樣，弧與半圓的聯(lián)系與區(qū)別可以類比弦與直徑的聯(lián)系與區(qū)別，所以也是錯誤的。關(guān)于等弧，我們強調(diào)必須

9、是能夠完全重合的弧才是等弧，長度相等但不能完全重合，就不能叫等弧。由以上分析，故選Ao例2.已知，CD為。O的直徑，/EOD=72°,AE交。于B,且AB=OC,求/A的度數(shù)。,構(gòu)造等腰三角形來解題。分析：作出半徑是圓中常用輔助線，根據(jù)“同圓的半徑相等”解：連結(jié)OB, ，ab=oc=ob=oe, .ABO、BOE均為等腰三角形，.A=/AOB,/OEB=/OBE=ZA+ZAOB=2/A。又./EOD=ZOEB+ZA=3ZA,而/EOD=72./A=24°。4/12word例3.如圖，0O的半徑OB=5cm,AB是。O的弦，點C是AB延長線上一點，且/OCA=30°

10、,OC=8cm,求AB的長。例4.如圖，AB、CD是OO的弦，OC、OD分別交AB于點一猜，怒=戰(zhàn)嗎？請加以說明。分析:即能不能得到/AOE與/BOF是不是相等。由同圓的半徑相等,=OF,聯(lián)想到在八年級等腰三角形中學(xué)到過這樣的例題，只要作出底邊上的高，問題即可A. sin/BPDB. cos/BPDC. tan/BPDD. cot/BPD分析：畫出圓心到弦的垂線段，是圓中常用的輔助線。根據(jù)垂直于弦的直徑一定平分弦,再通過解RtAOBD,求出弦AB的一半DB的長。解：過O作ODLAB,垂足是D,則AD=BD。 .在RtAODC中，/OCA=30°,OC=8cm,1 OD-OC4cm.2

11、在RtAOBD中，BDOB2OD23cm. .AB=2BD=6cm。E、F,且OE=OF,你來猜根據(jù)圓心角弧和弦的關(guān)系，可得OA=OB,又因為OE解決。解：AC=30。理由：過O作OHXAB于點H。在4AOB中，因為OA=OB,HOXAB,所以/AOH=/BOH,在EOF中，因為OE=OF,OHLAB,所以/EOH=ZFOH,所以/AOE=/BOF,根據(jù)在同一個圓中，如果圓心角相等，那么所對的弧相等,可得月C=SD。CD例5.如圖所不，AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點P,那么等于（）AB5/12wordCDCD轉(zhuǎn)化到一個直角三角AB解析：四個選項都是/BPD的銳角三角函數(shù)，由此可考慮將

12、形中，在轉(zhuǎn)化比例式時常要用到相似的性質(zhì)，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，不難發(fā)現(xiàn)CDDPCDDPCDPsABP,則有上二。此時CD就被轉(zhuǎn)化成了DP,再根據(jù)直徑所對的圓周角ABBPABBP等于90°,連結(jié)AC或BD,在RtACAP或RtADBP中用銳角三角函數(shù)的知識即可得到在RtDBP中，cos/BPD=DP，故此題選BoBP在圓中，如果要得到直角，常根據(jù)圓周角的性質(zhì)，利用直徑構(gòu)造直角三角形，這是常用的方法，一定要熟練掌握。例6.如圖所示，已知AD為。O的直徑，AB、AC為弦，且AD平分/BAC,試說明：AB=AC。分析：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，給我們提供了研究線段相等、角相等及弧相

13、等的方法和依據(jù)。本題是要說明弦相等，至少有兩種途徑：說明弦所對的圓心角相等；說明弦所對的弧相等。解：如圖，連結(jié)BO、CO,則有/1=ZB,/2=/C,又因為/1=72,所以/AOB=/AOC。根據(jù)同一圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所以AB=AC。例7.在圓中，如果AB=2CD,則AB和CD的關(guān)系是（）A.AB>2CDB.AB=2CDC.ABV2CDD.AB=CD分析：初見此題時，大部分同學(xué)都會認(rèn)為，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，弧相等則所對的弦相等，所以由a很自然就可以得到AB=2CDo下面我們一起來根據(jù)題意畫出圖形研究研究。如圖所示，點D是的中點，C點與A點重合，則食也所對的弦是線段

14、6/12wordAB,而2CD所對的弦是AD+BD,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知AD+BD>AB,所以本題答案是C,而不是Bo例8.如圖所示，O是圓心，半徑OCL弦AB,垂足為D點，AB=8,CD=2,則OD等D.23A.2B.3C.22分析：對直徑(半徑)與圓中的弦有關(guān)的計算問題，通常是連結(jié)圓心與弦的一個端點,在“垂直于弦的直徑”的背景下運用勾股定理，從而使問題得到解決。本題可連結(jié)OA,構(gòu)造RtAOAD,建立關(guān)于半徑OA的方程。解：連結(jié)OA,因為半徑OCL弦AB,根據(jù)垂徑定理可得AD=1AB=4;2又OD=OCCD=OC2,所以在RtOAD中，根據(jù)勾股定理可得：OA2=AD2+OD2,即O

15、A2=42+(OA2)2,解得OA=5,所以O(shè)D=52=3。方法技巧幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距，本題的弦心距就是指線段OD的長。在圓中解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時，常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距，把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來解題。如圖，。O的半徑為r,弦心距為d,弦長a之間的關(guān)系為2r2d2a。根據(jù)此公式，在a、r、d三個量中，知道任何兩個量就可以求出第三個2量。平時在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運用這個基本圖形。例9.如圖，0O的直徑AB和弦CD相交于點E,AE=1cm,EB=5cm,ZCEB=60°,求CD的長。分析：要求CD的長，可先求它的一半，所以需過點O作OFLCD于F

16、;連結(jié)OC,在RtOEF中求得OF,然后在RtAODF中，求出DF。7/12word解：過點O作OF，CD于F,連結(jié)OC因為AE=1cm,EB=5cm所以AB=6cm,OA=OC=3cm,OE=2cm在RtAOEF中因為所以sinZOEF=-OFsin60°=所以O(shè)F=2sin60°=2*丑=陋2在RtAOCF中，有CF=JoC-OF2=J93=J6所以CD=2CF=2J6cm例10.如圖，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑。試說明：AB-AC=AE-ADo分析：本題需說明的是等積式，因此考慮用相似三角形的知識，根據(jù)題目中AD是4ABC的高，聯(lián)想到要通過直徑所對的圓

17、周角是90。，從而構(gòu)造直角三角形?？蛇B結(jié)BE,利用同弧所對的圓周角相等可得/C=/E,直徑所對的圓周角是直角得到/ABE=90。，從而可得ADCAABE,再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，從而得到結(jié)果。解：連結(jié)BE。因為AE是ABC的外接圓直徑，所以/ABE=90°,又因為AD是4ABC的高，所以/ADC=90°,即/ABE=ZADC=90°,而忿=恁，所以/C=ZE,所以ADCsABE,ACAD所以=，即ABXAC=AEXAD,AEAB方法點撥利用直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是常用到的數(shù)學(xué)方法，簡稱為：遇直徑想直角。例11.如圖，ABC是

18、圓的內(nèi)接三角形，BELAC于E,交圓于F,AD，BC于D,交圓于G,交BE于M,試說明：AM-CD=AC-ME;BC垂直平分MG;CF=CG=CM。8/12word分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和“在同圓或等圓中，圓周角相等，那么它所對的弧就相等，所對的弦相等”解此題。解：連結(jié)BG。因為BEXAC,AD±BC,又因為/3=Z3,所以/AEM=/ADC=90°,所以AMEACD,所以AMME=,ACDC所以AMXCD=ACXME。因為BEXAC,AD±BC,又/AME=ZBMD,所以/又/2=/3,所以/1=/2,所以/AEM=ZADB=90°,1=Z3,故A

19、BMG為等腰三角形，所以BC垂直平分MG。由得BC垂直平分MG,所以CG=CM,又/1=72,所以CF=0G,故CF=CG,所以CF=CG=CM?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）1.下列命題中是假命題的是（）A.三點確定一個圓；B.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離都相等；C.在同一個圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等;D.在同一個圓中，相等的弧所對的弦相等。D點，AB=8,CD=2,則OD等于2 .如圖所示，O是圓心，半徑OCL弦AB,垂足為A.2B.3C.22D.233 .在OO中，圓心角/AOB=90°,點O到弦AB的距離為4,則。O的直徑長為A.4.2B.8、2c.24D.164

20、 .如圖，ABC的三個頂點都在。O上，/A=30°,BC=4cm。則。的直徑為9/12word5 .如圖，在ABC中，/ACB=90°，/B=25°,以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于D,則卷所對的圓心角的大小為。6 .一條弦分圓周為兩部分，其中一部分是另一部分的3倍，則這條弦所對的圓周角為7 .如圖，A、B、C是。O上的三個點，當(dāng)BC平分/ABO時，能得出結(jié)論：（任寫一個）。8 .如圖，AB是。O的直徑，弦CDXAB于M,弦AF交CD于E,ACE與AFC相似嗎？為什么？9 .如圖所示，ABC內(nèi)接于圓，D是BC的中點，找出與/DBE相等的角；找出與DBE相似的三角形。10 .如圖，OC經(jīng)過原點O,并與兩坐標(biāo)軸相交于點A、D,已知/OBA=30°,點D的坐標(biāo)為（0,2）,求點A及圓心C的坐標(biāo)。10/12word11 .如圖，OA是。的半徑，以O(shè)A為直徑的。C與0O的弦AB相交于點D。說明線段BD與AD的大小關(guān)系。若點B是。O的圓周上異于點A的一個動點，BD和OD的關(guān)系是否總能保持？試說明理由。12 .如圖，在直徑為AB