2020屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .已知集合A x x 1 0 , B x|x a,若AUB R ,則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A. 2B. 1C. 0D .2【答案】D【解析】由題意可得 A x|x 1,根據(jù)AUB R,即可得出a 1,從而求出結(jié)果.【詳解】QA x|x 1, B x|x a,且 AUB R, a 1 ,，a的值可以為 2.故選：D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運(yùn)算.2.下列函數(shù)值中，在區(qū)間 （0,）上不是單調(diào)函數(shù)的是（） A. y xB. y = x2C. y x VxD. y x 1【答案】D【解析】結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)，哥函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行

2、判斷.【詳解】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y x在區(qū)間（0,）上單調(diào)遞增；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y = x2在區(qū)間（0,）上單調(diào)遞增；由募函數(shù)的性質(zhì)可知，y x Vx在區(qū)間（0,）上單調(diào)遞增；結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y x 1在0,1上單調(diào)遞減，在 1, 上單調(diào)遞增.本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題.S43 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3a3,且a30 ,則二 （）A. 1B. 5C. 8D . 3133【答案】C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,Q S3a3,且 a30,3a1 3da1 2d ,可得 2a1

3、 d 0.SL 4a 方d 2 2a1 3 2alS3 3a1322d 3a1 2a1本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于基礎(chǔ)題.4 .不等式1 1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）XC1A.0X B.X1C. 0 X 1D . X 02【答案】A【解析】解出不等式，進(jìn)而可判斷出其一個(gè)充分不必要條件.11.不等式X 1的解集為0，1 ,則其一個(gè)充分不必要條件可以是0，入故選：A-本題考查了充分、必要條件的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓 。相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-,5B.C.【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sin(-)的

4、值.3角 以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓 。相交于點(diǎn)P ,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一，所以53. ,、3cos - 則$舊（萬） cos -； 故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.uuuruuu uur6 .在四邊形 ABCD 中，AB/CD,設(shè) AC AB AD（ ,R）.若uurCD貝 U purr-二（） ABA. 1B, -C. 1D . 232【解析】作出草圖，過C作CE/AD,又CD/AB.可得四邊形 AECD是平行四邊uuur 形.ACunr uuu- uuur uurAE AD，根據(jù) AO ABuurADuuu uurR .可得 1,AE AB【詳解】如圖

5、所示,31,E2 ,可得 2,據(jù)此即可得出結(jié)果.過 C作CE/AD ,又 CD/AB .四邊形AECD是平行四邊形.uuurACuuuAEuuuruurAD ，又AC=uurrABuurAD故選:uuir1,AEuuuAB ,uurCDABuur AE uuu- ABB.本題考查了向量平行四邊形法則、向量共線定理、平面向量基本定理、方程思想方法,考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.7.已知函數(shù)f(x)x3 x2 2 x k.若存在實(shí)數(shù)%,使得f ( Xo)f(Xo)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A. 1,)B. (, 1C. 0,)D.(,0【解析】根據(jù)題意將存在實(shí)數(shù) X0 ,使得f (Xo)f

6、(X0)成立轉(zhuǎn)化為fXo有根，再根據(jù)方程變形可得， 原問題轉(zhuǎn)化為X2 2 X k有根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為yx2 2x與y k的圖象有交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.f (x) x3 x2 2 x k且 f ( Xo)f (Xo),x3 x2 2 xk(x3 x22 x k)整理得 x2 2 xk,，原問題轉(zhuǎn)化為yx22x與yk的圖象有交點(diǎn)， 畫出yx2 2 x的圖象如下:當(dāng)x 1時(shí)，y 1,由圖可知，k 1.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.1,i A8 .設(shè)集合A是集合N *的子集，對于i N * ,定義i(A) 八.八，給出下列三個(gè) 0,i A結(jié)論：存在N*的兩個(gè)不同

7、子集 A,B,使得任意i N*都滿足i(AI B)。且i(AUB) 1 ；任取N *的兩個(gè)不同子集 A, B,對任意i N*都有i(AI B) i(A)g i(B)；彳E取N*的兩個(gè)不同子集 A,B,對彳E意i N*都有i(AUB) i(A)+ i(B)；其中，所有正確結(jié)論的序號是()A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)題目中給的新定義，對于i N*, (A) 0或1,可逐一對命題進(jìn)行判斷，舉實(shí)例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題.【詳解】1,i A.對于i N*,定義i(A)0,i A.對于，例如集合A是正奇數(shù)集合，B是正偶數(shù)集合，AI B ,AU B N *,i AI

8、 B 0; i AUB 1,故正確；A,或i A1 1 B)；正確,i(AUB) 1；對于，若i AI B 0,則i AI B ,則i A且i B,或i B且i且 i B ； i A i B 0；若 i AI B 1,則 i AI B ,則i A且 i B； i Ai B任取N*的兩個(gè)不同子集 A,B,對任意i N*都有i AI B/A)故正確；對于，例如：A 1,2,3 ,B2,34 ,AUB1,2,34 ,當(dāng) i 2時(shí)，i A 1, i B 1； i AUB i A i B ；故錯(cuò)誤；.所有正確結(jié)論的序號是：；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

9、檔題.二、填空題r rr r9 .已知向量 a 1,2 ,b (3,t),且 a/b,則 t 【答案】6【解析】直接利用向量的共線的充要條件求解即可.【詳解】r rr r由向量a 1,2 ,b 3,x ,若a/b ,可得x 2 3 6.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查平行向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.10 .函數(shù)f(x) x Vx 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 【答案】1【解析】首先求出函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x|x 0，將原問題轉(zhuǎn)化為_ 2_JXJX 6 0,解方程，即可得出f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知f(x)的定義域?yàn)?x| x 0,令f(x) x JX 6 0,_ 2_一一可得4J7 6 0

10、,解得jx2 (舍去)或Vx 3,x 9;所以函數(shù)f(x) x xx 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).故答案為：1 .【點(diǎn)睛】本題把二次函數(shù)與二次方程有機(jī)的結(jié)合來，由方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系可知，求方程的根，就是確定函數(shù)的零點(diǎn).11 .已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為& 10g2 n,則國?a5a6a7a8 【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式Sin 1an c c，求出數(shù)列的首項(xiàng)和SnSi 1 n 2a5a6a7a8 的值.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn 1og2n ,則aS110g2 1 0；又a5a6a7%S8S4,a5a6 a7a810g2 8 log 2 4 1；故答案為：0.1.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列

11、的數(shù)列的遞推關(guān)系式anSin 1c C的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)SnSn 1 n 2算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.r12 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1.從A, B,C,D四點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作為向量 b的r r始點(diǎn)和終點(diǎn)，則 a b的最大值為 【答案】3【解析】由圖可知，要使r rr ra b取到最大值，即要求向量 b在向量a上的投影最大，然后再根據(jù)圖形即可求出結(jié)果.r r由題意可知：則a br r a b cosr r rb cos a, br r所以要使a b取到最大值，即要求向量r rb在向量a上的投影最大,r由圖形可知：當(dāng)向量 buuurr rAC時(shí)，向量b在向量a上的投

12、影最大,= ,而喘=3r r r r r 即 a b b cos a,br r即a b的最大值為3.本題考查向量的數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力.13 .已知數(shù)列 a的通項(xiàng)公式為an ln n ,若存在p R，使得an pn對任意n N *都成立，則P的取值范圍為ln 3【解析】根據(jù)題意，利用數(shù)列的關(guān)系式，進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an lnn,若存在P R ,使得 為 pn對任意的n N *都成In n則Pn max1.-x In xx,2x11nxe x =0,x所以

13、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為0,e ,函數(shù)的減區(qū)間為e,所以函數(shù)在x e時(shí)函數(shù)取最大值,由于n N ,所以當(dāng)1n3n 3時(shí)函數(shù)最大值為3所以p的取值范圍是1n331n3故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，恒成立問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型.14.已知函數(shù)f (x) V2sin x,g(x) 72cos x ,其中 0, A,B,C是這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，且不共線.當(dāng)1時(shí)，ABC面積的最小值為 若存在ABC是等腰直角三角形，則的最小值為 .【答案】2-2【解析】利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出三角形的底和高，進(jìn)一步求出三角形的面 積

14、；利用等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用求出的最小值.函數(shù)f(x) T2sin x, g(x) J2cos x ,其中 0, A, B,C是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交當(dāng) 1 時(shí)，f(x) J2sin x,g(x) J2cos x.所以函數(shù)的交點(diǎn)間的距離為一個(gè)周期2 ，高為，詆 叵近 2 .22c 1 .所以：S ABC 21 1 =2 .2如圖所示：當(dāng) 1時(shí)，ABC面積的最小值為2 ;若存在 ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則2-=2 J2今 J2 1,解得 的最小值為 .故答案為：2 ，萬.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思

15、維能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題15 .已知數(shù)列an為各項(xiàng)均未正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其n前項(xiàng)和，a2 3,a3 a4 36.1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2若Sn 121 ,求n的最大值. n 1【答案】1 an 3；2 4【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a2 3,a3 a436,可得aq 3,aiq2 alq3 36.'即可求出結(jié)果.3n 1& TT121 ,即可得出結(jié)論.【詳解】解：1在等比數(shù)列an中，設(shè)an公比為q.因?yàn)?a23,a3a436aq 3,36.23aqaiq_2_ 一 2_所以 3q 3q36 .即 q q 12 0.則q 3或q 4.因?yàn)閍n 0,所以

16、q 0 ,所以q 3.因?yàn)?a2 a1q 3,所以4 1.n 1 n 1所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an aq32在等比數(shù)列 an中，a"1- qn)因?yàn)?S= ( q )(q? 1)13nle所以 Sn LJ-二 3n 11 32因?yàn)镾n 121 ,1 n所以 Sn - 31121.2所以3n 243 .所以n 5.一一 *因?yàn)閚 N .所以n 4 .即n的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于中檔題.16 .已知函數(shù) f (x)=2sin xcos(x1求函數(shù)f (x)的最小正周期;2若f (x) m 0對x 0, j恒成立，求實(shí)

17、數(shù) m的取值范圍.【答案】1; 2 (, 1【解析】(1 )首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式的變形成正弦型函 數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期.(2)利用函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用和函數(shù)的最值的應(yīng)用求出結(jié)果.,32解：1 因?yàn)?f x 2sin xcos x 一 32sin x cosxcos sin xsin 八.1.3 .2sin x cosx sin x22sin xcosx.3 sin2 x-sin2x 2-cos2x 2sin 2x所以f x的最小正周期為220,恒成立”等價(jià)于“ f x max m 0”因?yàn)閤 0,二2所以2x 一 3當(dāng)2x一，即x 一時(shí)2 12f x的最

18、大值為f 1.12所以1 m 0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(,1.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.13217 .已知函數(shù)f(x) -ax x bx c，曲線y f (x)在(0, f(0)處的切線萬程為 3y x 11求b,c的值；2若函數(shù)f(x)存在極大值，求a的取值范圍.b 1【答案】1， 2 ( ,0)0,1c 1【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程得到關(guān)于b,c的方程組，解出即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的存在極大值，確定 a的范圍

19、即可.【詳解】 -2_解：因?yàn)樗? f' x ax 2x bf x在點(diǎn)0, f 0處的切線方程為y x 1，f 01f 01解得2當(dāng)當(dāng)b 1c 11 32,f x -ax x x 1, 32a 0時(shí)，f x x x 1不存在極大值，不符合題意.2a 0 時(shí)，f x ax 2x 1.2令 ax 2x 1 0.(i)當(dāng)V 4 4a 0,即a 1時(shí)，不符合題意.(ii)當(dāng)V 4 4a 0,即0 a 1時(shí)，方程ax2 2x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)方程兩個(gè)根為 x ,x2,且X x2.x, f x , f x的變化如表所示：x,Xx1x1，x2x2x2,f x00f xZ極大值極小值Z所

20、以f x1為極大值.當(dāng)a 0時(shí)，V 4 4a 0恒成立.設(shè)方程兩個(gè)根為 入?yún)^(qū)，且x %.x, f x , f x的變化如表所示：x，為x1x1，x2x2x2，f x00f x極大值Z極小值所以，f x2為極大值.綜上，若函數(shù)f x存在極大值，a的取值范圍為（，0）0,1【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程問題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性和極值問題中的應(yīng)用，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題.18 .在 ABC 中，a 7,b 5,c 8.1求sin A的值;2若點(diǎn)P為射線AB上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn) A不重合），設(shè)處 k.PC求k的取值范圍;直接寫出一個(gè)k的值，滿足：存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)P,使得竺 k

21、. 2-31,3-上均正確PC3c 2 3【答案】1 3； 20, ;答案不唯一，取值在區(qū)間【解析】（1）利用余弦定理的應(yīng)用求出 A的余弦值，進(jìn)一步求出正弦值;（2）直接利用正弦定理和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出k的取值范圍;根據(jù)共線的條件求出在區(qū)間/ 2、31,上即可3解：1 在VABC 中，a 7, b 5，c 8,1 222b c a根據(jù)余弦7E理 COSA 2bc所以cos A1-22 r2587因?yàn)锳 0,所以 sinA 1 cos2 A2在VABC中，CP AP根據(jù)正弦定理，得sin A sin ACP, AP sin ACP sin ACP 2. 3 .k -sin ACPPC sin

22、 A .3sin 一3因?yàn)辄c(diǎn)P為射線AB上一動點(diǎn),- 2所以 ACR 0,3一 2.3所以k的取值范圍為0,32.3答案不唯一.取值在區(qū)間1,三一 上均正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.1 ,、 ln x19 .已知函數(shù)f (x)= -.e1判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并說明理由；c一、 12 求證：f (x).20恒成立，即可證明結(jié)果;【答案】1單調(diào)遞增，理由見解析；2證明見解析【解析】(1)因?yàn)閤 0,1 ,對f(x)求導(dǎo)，可證f x1.1(2)證明“ fx 一”等價(jià)于證明“ fx ma

23、x ” .求f(x)的最大值即可證明.2max 2【詳解】1函數(shù)f x在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增函數(shù)lnx下,得f理由如下1 .一 lnxxxe1， c所以一1,lnx 0.x1.c因此一 Inx0.x又因?yàn)閑x0 ,所以f x 0恒成立.所以f x在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增函數(shù)等價(jià)于證明“x max由題意可得,(0,).因?yàn)閘nx所以g(x)在因?yàn)閘nx0,上單調(diào)遞減0,g0,x0,x°xqx。，f x0f xZ極大值1,e .0,其中幾所以存在唯一實(shí)數(shù)x0 ,使得g x0x, f x , f x的變化如表所示）有唯一的極大值1n x0所以f x0為函數(shù)f x的極大值.因?yàn)楹瘮?shù)f x在

24、（0,所以 f x max f x01啾因?yàn)橐?nx。， x。所以 f x max f x0ln xoexo_X0x°e因?yàn)?,emax所以所以f x【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題屬于綜合題.20 .已知集合M N*,且M中的元素個(gè)數(shù)n大于等于5.若集合M中存在四個(gè)不同 的元素a,b,c,d ,使得a b c d ,則稱集合M是“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合 a,b,c,d 是集合M的“關(guān)聯(lián)子集”；若集合M不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合M是“獨(dú)立的”1分別判斷集合 2,4,6,8,10和集合1,2,3,5,8

25、是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”？若是“關(guān)聯(lián)的”，寫出其所有 的關(guān)聯(lián)子集；M ，總存在M的2已知集合 a1，a2,a3,a4,a5是“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合 a,aj關(guān)聯(lián)子集 A,使得 ai,ajA.若a a? a3 a4a5 ,求證：4e2e3仔4e5是等差數(shù)列;3集合M是“獨(dú)立的”，求證：存在x M ,使得xn2 n 94【答案】1 2,4,6,8,10是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)子集有2,4,6,8 , 4,6,8,10 , 2,4,8,10 ；1,2,3,5,8是獨(dú)立的；2證明見解析；3證明見解析【解析】(1)根據(jù)題中所給的新定義，即可求解；(2)根據(jù)題息， Aa2,a3,a4,% , A2a1，a3,a4

26、,a5 , A&,a2,a4,as ,Aa1,a2,a3,a5 , Aa且2e3e4 ,進(jìn)而利用反證法求解；*(3)不妨設(shè)集合 Mae2, ,an (n 5) , a N ,i 1,2,，n,且 a a? . an.*記T tt a aj,1 i j, j N ，進(jìn)而利用反證法求解；【詳解】解：1 2,4,6,8,10 是關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有 2,4,6,8 , 4,6,8,10 , 2,4,8,10 ;1,2,3,5,8是獨(dú)立的”2記集合M的含有四個(gè)元素的集合分別為：Aa2,a3,a4,8 , A4e3,氏自，A 4e2,氏自，Aa道2,徭刀5 ,A.所以，M至多有5個(gè)關(guān)聯(lián)子集” .若A24,徭冏e5為關(guān)聯(lián)子集"，則A az&