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文檔簡介

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂第四節(jié) 對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂SzyxMd

2、),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性

3、質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 假設(shè) 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkk

4、kSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂zxDxzdzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 化曲面積分為

5、二重積分 設(shè)曲面的方程為zz(x y) 在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy 函數(shù)zz(x y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 被積函數(shù)f(x y z)在上連續(xù) 那么 xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 討論 如果積分曲面由方程yy(z x)給出或由xx(y z)給出 那么 f(x y z)在上對面積的曲線面積分如何計算?提示 對于 yy(z x) 有 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂化曲面積分為二重積分化曲面積分為二重積分要點:一代、二換、三投影代:將曲面的方程代入被積函數(shù)代:將曲面的方程代入被積函數(shù)換:換面積元換:換面積元dS投影:將曲面投影

6、到坐標(biāo)面得投影區(qū)域投影:將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域注:(1這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù),否則可利用可加性,分塊計算,結(jié)果相加(2把曲面投影到哪一個坐標(biāo)面,取決于曲面方程即方程的表達(dá)形式(3將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂yxD例例1. 計算曲面積分計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhar

7、arr2aoxzyha山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂例例2. 計算計算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)設(shè)上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂例例3 計算計算 dSyx)(2222yxz 是錐面是錐面其中其中 與平面與平面 z = 1 所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解解分成兩部分分成兩部分將將 10

8、:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 內(nèi)的投影區(qū)域內(nèi)的投影區(qū)域1:22 yxD 1)(22 dSyx故故 Dyxdxdyzzyx22221)( Ddxdyyx)(222oxyz1:2 z 1 20102222rdrrd山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂例例3 計算計算 dSyx)(2222yxz 是錐面是錐面其中其中 與平面與平面 z = 1 所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解解 1)(22 dSyx故故oxyz1:2 z 1 22 2)(22 dSyx22()Dxy dxdy220102 rdrrd 21)()(2222 dSyxdSyx

9、221 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂xozy例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz的222yxaz2222122,.xyaza1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ,022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD那么 1d)(22SyxI山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂思考與練習(xí)思考與練習(xí)P219 題1;3;4(1) ; 解答提示解答提示:P219 題1.SzyxzyIxd),()(22P219 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)那么0山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人: 蘇本堂P219 題4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域為2:22 yx

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