2020屆北京市西城區(qū)第四中學高三上學期10月月考數(shù)學試題

1、2020屆北京市西城區(qū)第四中學高三上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題1 . tan690o 的值為()A, 3B.晅C,與D. V3【答案】C【解析】試題分析：因tan6900 tan(7200 300)tan 3004,故應(yīng)選C.【考點】誘導公式及運用.2 .設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3+a4 + a5=12,貝U ai+a2+ a7=()A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到a4 4,再計算為 a2a? 7a4得到答案.【詳解】數(shù)列an是等差數(shù)列，則a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 ；a a?a7 7a4 28故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)

2、列的性質(zhì)，意在考查學生對于數(shù)列性質(zhì)的靈活運用3 .設(shè)應(yīng).以，則“比 =小冷”是的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】sina = rasa .得值=#jt + ： , #sin2a =1 成立；若0m2cl = 1，得阿=上元+2 ,得！dn口二。小，即可判斷.【詳解】若31rL = c。致' 則 tanct =乙1=4五 + 3 ，得 1口2以=5m2 （蔬 + = sin ； = / 成立;反之,若幻口2儀=1,則Zz =2匕t,：以=上兀+ ：,得sina cosa 故,如北 3口”是7質(zhì)2d-，”的充分必要條件.

3、故選：C.【點睛】 本題考查充分條件與必要條件，屬基礎(chǔ)題.易錯點是“smE = co5凡”推出a4.定義：csin2a =1"z 1ad bC，若復(fù)數(shù)z滿足i i 1 2i，則2等于（A. 1+ iB. 1 iC. 3+ iD. 3- i【答案】Bz 1【解析】根據(jù)定義得到 .i izi i ,代入數(shù)據(jù)化簡得到答案【詳解】z 11 i根據(jù)題意知：.zi i 1 2i z1 i i ii故選：B【點睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力5 .已知集合 Mx|x 1 2,x R,Px-5- 1,x Z ,則MIP等于（）x 1A. x0 x 3,x ZB. x0 x 3,x

4、ZC. x 1 x 0, x Z【答案】B【解析】解絕對值不等式可得集合 M,解分式不等式可得集合P,即可求得M I P【詳解】集合 Mx|x 1 2,x R解絕對值不等式x 1W2,可得M x 1 x 3集合 P x- 1,x Z x 1解分式不等式三1，x Z,可得Px| 1 x 4,x Zx 1則 M P x 1 x 3 x 1 x 4,x Z x 0 x 3,x Z故選:B【點睛】 本題考查了集合交集的簡單運算，絕對值不等式與分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題。6.在同一坐標系內(nèi)，函數(shù)f(x) 2x1,g(x) 21x的圖象關(guān)于()A .原點對稱B . x軸對稱C. y軸對稱 D .直線y=

5、x對稱【答案】C【解析】因為g(x) 21 x f( x),所以兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故選Co1 l x 1)7 .函數(shù)y 2在點P (2, k)處的切線是()A. x2y = 0 B. x y 1=0 C. x2y 1=0 D. 2x 2y 3 = 0【答案】C t.1,11,、e【解析】求導得到y(tǒng) 2TT，當x 2時，y -，y'萬，計算得到切線方程【詳解】1 ln (x1)2112TT，當 x 2時，y 2，y' 11故切線方程為：y a x 22 x 2y 1 0故選：C【點睛】 本題考查了求函數(shù)的切線方程，意在考查學生的計算能力8 .函數(shù)時在定義域*內(nèi)可導，若&

6、quot;""且當I時,（一面合。，設(shè)）的匕行“則（）0工 b v cc c a hc c h <. ahcc c aA.B.C.D.【答案】B【解析】解：xC (-8, 1)時，x-1 <0,由(x-1 ) ?f (x) <0,知 f (x)>0,所以(-8, 1)上f (x)是增函數(shù).f (x) =f (2-x ),. f (3) =f (2-3) =f (-1 )所以 f (-1 ) < (0) <因此c<a<b .故選B.2.9 .已知f x是定乂在R上的周期為4的奇函數(shù)，當x 0,2時，f x x lnx,貝(J f

7、 2019()A.1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由函數(shù)y f x的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得出f 2019 f 1 f 1 ,代入解析式可得出f 2019的值.【詳解】由于函數(shù)y f x定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，且當x 0,2時，f X X2 1n X,f 2019 f 4 505 1 f 1 f 112 1n11 ,故選 A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與周期性求值，對于自變量絕對值較大的函數(shù)值的求解，一般先利用周期性將自變量的絕對值變小，然后利用函數(shù)奇偶性求解，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題.10 .設(shè)函數(shù)f (x)73sin -x ,若存在f (x)的極值點x

8、0滿足x02+ f (x0) 2<m2,則m的取值范圍是()A. (-°°, -6) U (6, + °°)B. (-°°, - 4) U (4, + °0)C. (-8, - 2) U (2, +8)D. ( OO, - 1) u (1, +oo)【答案】C【解析】求導得到f' x 出一cos，計算得到x。m mk,k Z,代入式子 m m2化簡得到,2,32k k二m 3 0,取k 0或k 1時計算得到答案.4【詳解】73sin 則 f'm '八x0mk, k Z2故 f' x0.3

9、 cos x0 0 x0 一 km m m 22 一一/、.22xo f (x0) m2m .八 2mk 3 m2232k k - m 3 0, k Z 4故選：C【點睛】3 21 時得, 一m 30m 2 或 m 2 4本題考查了極值，存在性問題，意在考查學生對于導數(shù)的應(yīng)用能力二、填空題111 .函數(shù)f (x) 10gl(2x 1)的定義域是 L21【答案】(2, 0) U (0, +8).2x 1 0【解析】根據(jù)定義域定義得到10gl(2x 1)0計算得到答案.2【詳解】函數(shù)f x110gl (2x 1)的定義域滿足:22x 1 010gl(2x 1) 0 x2?00,故答案為:1-,00

10、,2【點睛】 本題考查了函數(shù)的定義域，意在考查學生的計算能力12 .曲線y ex在點2,e2處的切線與坐標軸所圍三角形的面積2 e【解析】解析：依題意得y'=ex,因此曲線y=ex在點A (2, e2)處的切線的斜率等于e2,相應(yīng)的切線方程是y-e 2=e 2 (x-2 ),當x=0時，y=-e 2即y=012 e時，x=1 ,切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為：S -2 e2 1 -213 .已知等比數(shù)列an的公比為2,刖0項和為Sn則 =a2a2-【解析】由等比數(shù)列的止義，S4=a1 +a2 + a3+a4= "q +a2+ a2q +a2q2 ,S4a21& +

11、 1 +q+q2 =15214 .如圖，設(shè)A, B兩點在河的兩岸，一測量者在 A的同側(cè)，在A所在的河岸 邊選定一點C,測出AC的距離為50 m , ZACB =45 ° ,/CAB =105 °后，則A , B兩點的距離為 m50 V萬就【答案】一學吧= 502 【解析】由正弦定理得誣許一次-獷)15.已知函數(shù)f(x) xlnx x2,且xo是函數(shù)f(x)的極值點。給出以下幾個命題:_10 x0 e ； f(x0)xo 0； f(xo) xo 0其中正確的命題是 (填出所有正確命題的序號)【答案】.【解析】試題分析：/(幻的定義域為工>。，/,(x)=h + 2x +

12、 l ,所以有/也)二山/+X+1=0 ,所以有二七二- 即必冷4-1即In七In ,所以有0天<-；"4) + %三維由國+工+若=/血七+不+H S因為2&=Tin 2 - 1),所以有八%) 十維=/M 維/ + + 1)=一為* <0 0【考點】導數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用16 .設(shè)函數(shù)f (x)2x a,x< 14( x a) (x 2a) , x 1若a=1 ,則f (x)的最小值為;若f (x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 L【答案】-11 a<1,或a>2.2【解析】分別計算x 1和x 1的最小值，比較得到答案.設(shè) h (x)

13、=2x-a, g (x) =4 (x - a) (x-2a),討論 h x 有一個零點和沒有零點兩種情況，計算得到答案.【詳解】當a=1時，f (x)2x 1, x< 14( x 1) (x 2) , x 1當 x<1 時，f (x) =2x - 1 為增函數(shù)，f (x) > - 1 ,當 x 1 時，f (x) =4 (x1) (x2) =4 (x2 3x+2) =4 (x |) 2 - 1 ,3一.3一當1<x<2時，函數(shù)單調(diào)遞減，當x>2時，函數(shù)單調(diào)遞增，.3 ,3故當x 2時，f (x) min=f ("2)= - 1,故取小值為1設(shè) h

14、(x) =2x-a, g (x) =4 (x-a) (x-2a)若在x<1時，h (x)與x軸有一個交點，所以 a>0,并且當 x=1 時，h (1) =2-a>0,所以 0<a<2,而函數(shù)g (x) =4 (x-a) (x-2a)有一個交點，所以2a>1 ,且a<1 ,所,1以2 a<1,若函數(shù)h (x) =2x- a在x<1時，與x軸沒有交點，則函數(shù)g (x) =4 (x-a) (x-2a)有兩個交點，當a<0時，h (x)與x軸無交點，g (x)無交點，所以不滿足題意(舍去)，當h (1) =2-a&0時，即a>2

15、時，g (x)的兩個交點滿足x1 = a, x2 = 2a,滿足題意的 1綜上所述：a的取值沱圍是2 2<1,或2>2.一1故答案為：-1; - a<1,或a>2.【點睛】本題考查了函數(shù)的最值和函數(shù)的零點問題， 意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.三、解答題17.已知：an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，S3 = 7,且ai+3 ,3 a2, a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn = log 2a3n+1 ,求數(shù)歹bn的前n項和Tn .3 一【答案】(1) an = 2n 一1，n CN (2) Tn=2 (n2+n)【解析】(1)直

16、接利用等比數(shù)列公式和等差中項公式計算得到答案.(2)計算得到bn 3n,直接利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】(1) an是公比q大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，S3 = 7,可得a1(1+q + q2) =7,a1 +3 , 3a2, a3+4 構(gòu)成等差數(shù)列，可得 6a2 = a+3+ a3+4 ,即 6a1q =a1+ aq2+7 ,由可得 a1 = 1 , q=2,則 an = 2n-1，n C N ;(2) bn 10g2a3n1 10g2 23n 3n ,數(shù)列bn的前 n 項和 Tn = 3 (1+2+ + n) =3 1n (n+1)3 (n2+n).【點睛】本題考查了等比

17、數(shù)列通項公式，等差數(shù)列求和，意在考查學生對于數(shù)列公式的綜合應(yīng)用.18 .設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2 x+小)(一冗 小0) , y =f(x)圖象的一條對稱軸是直線 x一8 .求M(2)求函數(shù)y = f(x)的單調(diào)增區(qū)間;畫出函數(shù)y = f(x)在區(qū)間0 ,九上的圖象.3.5A,【答案】(1) -；(2)k 8，k至；(3)圖象見解析.k 2，k Z2，k ZVk Z-【解析】解：(I) vsin(2 -)1,84.°,3-. 4 分4 3.3(II) y sin(2x 亍).由 2k 萬 2x ： 2k得函數(shù)y sin(2x 3-)的單調(diào)增區(qū)間為k ,k48“3、(田)由 y si

18、n(2x )知x08385878y金 210102故函數(shù)y f(x)在區(qū)間0,上的圖象如圖所示.511 I I I I: i t I"5 TT"T"T"l "T"r"r19 .已知函數(shù) f (x) x alnx(a R).(I)當a 2時，求曲線y f x在點A(1,f(1)處的切線方程；(H)求函數(shù)f x的極值.【答案】(1) x+y 2 = 0; (2)當a00時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在x =a處取得極小值a-aln a無極大【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域為(0 , +00),，僅)=1

19、a . x(1)當 a = 2 時，f(x) =x 2ln x ,f'(x) =1 2(x>0), x因而 f(1) =1 , f'(1) = 1 ,所以曲線y = f(x)在點A(1 , f(1)處的切線方程為y-1 = (x 1),即x + y 2 = 0.由 f '(x) = 1 a = -一a , x>0 知： x x當a<0時，f'(x)>0 ,函數(shù)f(x)為(0, +8)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，由f'(x) =0,解得x = a,又當 xC(0 , a)時，f'(x)<0 ；當

20、x C (a , +oo)時，f x)>0 ,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值，且極小值為f(a) =a aln a ,無極大值.綜上，當a<0時，函數(shù)f(x)無極值;當a>0時，函數(shù)f(x)在x = a處取得極小值a- aln a ,無極大值.20 .(本小題滿分12分)4在ABC中，內(nèi)角A,B,C對邊分別是a,b,c,若cosB -,b 2.55(1)當a -,求角A的度數(shù)；(2)求ABC面積的最大值。3【答案】(1) A 30 . (2) 3.【解析】第一問利用正弦定理得到 QcosB4, sinB 3,Qa-55 sin Absin B53sin AQb1 2a2

21、 c2 2accosB, 4 a2282c ac a5c2 162153 sinA 2,Q- 2, A (0,2), A 30.5一 、一，_ _ 13弟一問中 QSacsinB -ac,21020, a10 c2 20 2ac, ac 1043 a b解：(1) QcosB -, sin B -,Q55sinA sin B53sin A2-15。sin A ,Q - 2, 3235A (0,-), 230 .o(2) QSQb2a2 c2 2accosB, 4 a2282c ac a5c2 1622_22_得 a c 20, a c 20 2ac, ac 10所以ABC面積的最大值為3.。1

22、2分21 .某制藥廠準備投入適當?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行宣傳，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷 3x1量Q (萬件)與廠告費x (萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為 Q - (x>0).已知 x 1生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的 150% ”與“年平均每件所占廣告費的50% ”之和(注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入").(1)試將年利潤w萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)，并判斷當年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損還是盈利？(2)當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？2 一 x 98x 35. -».【答案】(1)

23、w x ,，企業(yè)虧損(2)當年廣告費投入7萬元時，企2( x 1)業(yè)年利潤最大9 96Q x【解析】(1 )先計算售價為,再計算利潤為2 Q9 96Q x 一 八一w Q x 3 32Q ,化簡得到答案 2Q1 ,64 八一，一(2)化簡得到w - (x 1) - 50 ,利用均值不等式計算得到答案2x 1【詳解】(1)由題意，每件售價為3 ；2Q 150%Qx50% Q9 96Q x2Q9 96Q xwx q x 3 32Q2Q9 96Q x 2x 6 64Q22 一 x 98x 352(x 1)則當x = 100時，w 10002 9000 35< 0,故企業(yè)虧損.(2) w2 一 x 98x 352(x 1)164一(x 1)50 50 8 422x 1(當且僅當x = 7時等號成立)故當年廣告費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大.【點睛】本題考查了函數(shù)和均值不等式的應(yīng)用，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力22.已知：函數(shù) f (x) =2lnx axx x23 x x2 2 x1x2 In不用，設(shè)h t t ln t得到函數(shù)的取小值得到不等式(x1+x2)2+3 (x+x2)>2,計算得到答案.【詳解】(1) Vf (1)