三重積分概念和計(jì)算1ppt課件

1、三重積分概念與計(jì)算(1)2、三重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；1、三重積分定義；3、小結(jié)與練習(xí).一、三重積分的定義一、三重積分的定義:.叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv,.iiiivxyz 在直角坐標(biāo)系中，如果用三族分別平行于坐標(biāo)面的平面來劃分則.積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中dxdydzx0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI = gezzyxfd),(積分區(qū)域是長方體積分區(qū)域是長方體. D同理，也有其同理，也有其它它 積分順序積分順序. Dyxdddd( , , )dbdgacexyf x y

2、zz1. 1. 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算dd( , , )dbgdaecxzf x y zydd( , , )ddgbceayzf x y zxx0z yz2(x,y) 為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 Dz1(x,y)2. 2. 三重積分計(jì)三重積分計(jì)算算zyxzyxfIddd ),( x0z yz2(x,y)I =D積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體z1(x,y)2. 2. 三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yx

3、zyxzzzyxf Dyxdd這種計(jì)算方法叫投影法這種計(jì)算方法叫投影法（先一后二法）（先一后二法） 注意注意1:zS這種累次積分是平行于軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)情形注意注意2： 三重積分的累次積分的積分次序除了先對(duì)三重積分的累次積分的積分次序除了先對(duì)z、后對(duì)、后對(duì)y、再對(duì)、再對(duì)x外，還有其他次序。累次積分次序的選擇要考慮幾何體的形外，還有其他次序。累次積分次序的選擇要考慮幾何體的形狀和被積函數(shù)的特性主要是幾何體的形狀，即往哪個(gè)坐標(biāo)面狀和被積函數(shù)的特性主要是幾何體的形狀，即往哪個(gè)坐標(biāo)面投影利于解題）。投影利于解題）。一般的，若給定積分次序時(shí)： 1、積分次序?yàn)?zy

4、x； 投影到xoy面； 2、積分次序?yàn)?yzx； 投影到xoz面； 3、積分次序?yàn)?xy z； 投影到y(tǒng)oz面。z =0y = 0 x =00y x ：平面：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 . 先畫圖先畫圖x0z y1121Dxy 是是曲曲頂頂柱柱體體 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成圍成：上頂上頂yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxx21021 010ddd481 .例例1.1.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxy210dddI =x+

5、2y =1 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.0y x6241 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域 .2 畫出投影區(qū)域圖畫出投影區(qū)域圖.Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 圍成圍成.yxz 6z = 0不畫立體圖做三重積分不畫立體圖做三重積分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲頂頂柱柱體體 ：上頂上頂：下底下底例例2.zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算666x+y+z

6、=63x+y=62.例例2.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.666x+y+z=63x+y=62.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2.666x+y+z=63x+y=62.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x

7、+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2.z = 0y = 042x+y+z=6.x0z y666zyxz ,

8、y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2.42.x0z y666 ：平面：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D2 6 4 63002 3dd( , , )dyx yyIyxf x y zz .例例2.0y x 2 xy 1 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域2 畫出投影區(qū)域圖

9、畫出投影區(qū)域圖不畫立體圖做三重積分不畫立體圖做三重積分Dxy:xz 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd圍圍成成 2 , 0 , xyxy。Dxy當(dāng)當(dāng) f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?21162 。是是曲曲頂頂柱柱體體 ：上頂上頂：下底下底 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : 例例3.I =試計(jì)算：試計(jì)算：？zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算y2=xxyzo. 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yx

10、y2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例3. zx2 2 2 y2=xxyzo. 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例3.z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x. 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算D例例3. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與

11、: z,yxxyzDxy:xyz 圍成圍成 yx,y,xz =00y x11 xyDzz , y,xfyxIxy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。Dxy：上上頂頂：下底下底是是曲曲頂頂柱柱體體 例例4.4.雙曲拋物面雙曲拋物面zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算1x+ y=1yozx1z=xy. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例4.4.z =01x+ y=1ozx1yz=xy. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例4.4.

12、11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例4.4.解解: 由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,22222112112( , , ).xxxxyIdxdyf x y z dz解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖， 1101222),(yxxdzzyxfdydxI. 220( , , )xyDI

13、dxdyf x y z dzoxy12xy x x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz3. 三重積分計(jì)算的另一思路對(duì)有的問題適用）三重積分計(jì)算的另一思路對(duì)有的問題適用）截面法截面法 zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .3. 計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）zDz截面法截面法x0z y zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz

14、 zDyxx,y,zfd)d(3. 計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）zDz截面法截面法x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c23. 計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）計(jì)算三重積分的另一思路對(duì)有的問題適用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(截面法截面法x0z yz21( , , )( , , )ccDf x y z dxdydzdzf x y z dxdy12( , , )|( , ),zx y zx yD czc zD設(shè)空間有界閉區(qū)域設(shè)空間有界閉區(qū)域 ，其中

15、，其中 是豎標(biāo)為是豎標(biāo)為 Z的平面截閉區(qū)域的平面截閉區(qū)域 得到的得到的平面閉區(qū)域。平面閉區(qū)域。則有計(jì)算三重積分的則有計(jì)算三重積分的“先二后一公式先二后一公式”例例7.1222222的體積求橢球czbyax解解2222221czcxyzabc 由題：dvvcczdcczdz)1 (22czabz而)(d vvccdzczab)1 (22.34abc, 11122222222czbyczaxoxz)(xyyzzdz解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdx

16、dydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111投影到投影到y(tǒng)oz面面zyxzIddd2 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 是由是由 其中其中 1222222 czbyaxx0yzbc例例9. 例：例： 計(jì)算計(jì)算aD0 2222221)(czbyax, czc|z , y,x cczz d2 zDyxdd2d d dIz x y z Dz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 是由是由 其中其中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =.x0yzD0a

17、1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz例例9. 例：例： 計(jì)算計(jì)算2d d d ;Ixx y z2d d dIyx y z2V2222 ( ),.Iz dvxyvzzhab計(jì)算三重積分，其中由所圍例例10 xyzoh分析分析22222( , , ); :0,.f x y zzzvzhzzxyzab首先僅與 有關(guān) 同時(shí)且用去截截面為橢圓所以可用截面法)(z2dvzvhzdzz02abzzbyzaxz,12222的面積hzdzzI02.414abhhabzdzz02解解三重積分的定義和計(jì)算：三重積分的定義和計(jì)算：dxdydzd

18、v （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分的兩種形式）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分的兩種形式）三、小結(jié)21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz 先一后二 Dyxdd( , , )d d df x y zx y z( , )f x y z dxdydz()d dzDf x,y,zx y 先二后一21dcczoxyabc解法一解法一).()(zVzz得平面去截用 )(zz可求得其面積22)(2zccab)(2dvvzcdz0czdzz02cdzzczcab0222)(2.60302352abcccab練習(xí)練習(xí).1: )( ,d:)(2與三坐標(biāo)面所圍由解三重積分用兩種積分次序分別求czbyaxvvzvz)(2dzzoxyabc解法二解