江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十四章鴨部分14.1幾何證明選講第2課時圓的進(jìn)一步認(rèn)識課件理

1、14.1幾何證明選講第2課時圓的進(jìn)一步認(rèn)識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.圓周角與圓心角定理圓周角與圓心角定理(1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 .(2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的 .推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角 .同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于 .反之，90的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑).知識梳理其所對弧的度數(shù)一半相等902.圓的切線的性質(zhì)及判定定理圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切

2、點的.推論1：經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過 .推論2：經(jīng)過切點且與切線垂直的直線必經(jīng)過 .3.切線長定理切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，切線長 .4.弦切角定理弦切角定理弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的 .切線半徑切點圓心相等度數(shù)的一半5.與圓有關(guān)的比例線段與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內(nèi)點P(1)PAPB ；(2)ACP_(1)在PA，PB，PC，PD 四線段中知三求一；(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是O的割線(1)PAPB ；(2)PAC_(1)求線段PA，PB，PC，PD；(2)應(yīng)用相似求AC，BDPCPDBDPPCPDPDB切割線

3、定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2；(2)PAB_(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是O的切線(1)PA ；(2)OPA_(1)證明線段相等，已知PA求PB；(2)求角PBPCPCAPBOPB6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角 .(2)判定定理：如果四邊形的對角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓.互補(bǔ)考點自測1.(2016南通二模)如圖，從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點.求證：APBCACCP.證明因為PC為圓O的切線，所以PCAPBC，又CPABPC，故CAPBCP，2

4、.(2015重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的長.首先由切割線定理得PA2PCPD，CDPDPC9，又CEED21，因此CE6，ED3，解答3.(2017揚州質(zhì)檢)如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC2AE，求EF的長.AA，AEFACB，解答4.如圖，在ABC中，ACB90，A60，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點E，求DE的長.解答在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，CD為切線，BCDA60.由

5、切割線定理得DC2DEDB，DE5.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一圓周角、弦切角和圓的切線問題題型一圓周角、弦切角和圓的切線問題例例1(2016全國乙卷)如圖，OAB是等腰三角形，AOB120.以O(shè)為圓心， OA為半徑作圓.(1)證明：直線AB與O相切；證明設(shè)E是AB的中點，連結(jié)OE.因為OAOB，AOB120，所以O(shè)EAB，AOE60，在RtAOE中，OE AO，即O到直線AB的距離等于O的半徑，所以直線AB與O相切.(2)點C，D在O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：ABCD.證明因為OA2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點所在圓的圓心.設(shè)O是A，B，C，D四點所在圓的圓心，作直

6、線OO.由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)OAB.同理可證，OOCD，所以ABCD.(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小.(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2016無錫模擬)如圖所示，O的兩條切線PA和PB相交于點P，與O相切于A，B兩點，C是O上的一點，若P70，求ACB的大小.解答如圖所示，連結(jié)OA，OB，則OAPA，OBPB.(2)如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓

7、周上的三點，且滿足ABC30，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的長.解答如圖，連結(jié)OA，由圓周角定理知AOC60，題型二四點共圓問題題型二四點共圓問題例例2如圖所示，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點.證明(1)證明：A，P，O，M四點共圓；如圖，連結(jié)OP，OM，因為AP與O相切于點P，所以O(shè)PAP，因為M是O的弦BC的中點，所以O(shè)MBC，于是OPAOMA180.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點共圓.(2)求OAMAPM的大小.由(1)得，A，P，O，M四點共圓，所

8、以O(shè)AMOPM，由(1)得OPAP，因為圓心O在PAC的內(nèi)部，可知OPMAPM90，所以O(shè)AMAPM90.解答(1)如果四點與一定點距離相等，那么這四點共圓.(2)如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點共圓.(3)如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.思維升華證明跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CBCE.(1)證明：DE；由題設(shè)知，A，B，C，D四點共圓，所以DCBE，由已知得CBEE，故DE.證明(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形.如圖，設(shè)B

9、C的中點為N，連結(jié)MN，則由MBMC知MNBC，故點O在直線MN上.又AD不是O的直徑，M為AD的中點，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形.題型三與圓有關(guān)的比例線段題型三與圓有關(guān)的比例線段例例3(2015陜西)如圖，AB切O于點B，直線AO 交O于D，E兩點，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；因為DE為O的直徑，則BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED，又AB切O于點B，得DBABED，所以CBDDBA.證明(2)若AD3DC，BC ，求O的直徑.解答由(1)知BD平分CBA，

10、故DEAEAD3，即O的直徑為3.(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等.(2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明.解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DFCF ，AFFBBE421，若CE與圓相切，求線段CE的長.解答由相交弦定理得AFFBDFCF，由于AF2FB，可解得FB1，(2)(2014湖北)如圖，P為O外一點，過P點作O的兩條切線，切點分別

11、為A，B.過PA的中點Q作割線交O于C，D兩點.若QC1，CD3，求PB的長.解答由切割線定理得QA2QCQD4，解得QA2.由切線長定理得PBPA2QA4. 課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2015江蘇)如圖，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點D.證明求證：ABDAEB.因為ABAC，所以ABDC.又因為CE，所以ABDE，又BAE為公共角，可知ABDAEB.123456789102.(2017蘇北四校聯(lián)考)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點.證明：OCBD.證明12345678910因為B，C是圓O上的兩點，所以O(shè)BOC.故OCBB.又因為C，D是圓O上位

12、于AB異側(cè)的兩點，故B，D為同弧所對的兩個圓周角，所以BD.因此OCBD.123456789103.(2015湖南)如圖，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：MENNOM180.證明12345678910如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以O(shè)MAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180，又四邊形的內(nèi)角和等于360，故MENNOM180.123456789104.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點C，ADCE于點D，若圓O的面積為4，ABC30，求AD的長.解答由題意可知圓O的半徑為2，在RtA

13、BC中，123456789105. (2016蘇錫常鎮(zhèn)四市聯(lián)考)如圖，已知CB是O的一條弦，A是O上異于B，C的任意一點，過點A作O的切線交直線CB于點P，D為O上一點，且ABDABP.求證：AB2BPBD.證明12345678910AP與O相切于點A，AB為O的弦，ADBPAB，又在DBA和ABP中，DBAABP，123456789106.(2016南京、鹽城聯(lián)考)如圖，過O外一點P作O的切線PA，切點為A，連結(jié)OP與O交于點C，過C作AP的垂線，垂足為D，若PA12 cm，PC6 cm，求CD的長.解答12345678910設(shè)O的半徑為r，由切割線定理得AP2PC(PC2r)，即1226(

14、62r)，解得r9.連結(jié)OA，則有OAAP.又CDAP，所以O(shè)ACD.123456789107.(2016蘇州模擬)如圖，已知AB是O的直徑，CD是O的弦，分別延長AB，CD相交于點M，點N在O上，ANAC.證明：MDN2ACO.證明12345678910如圖，連結(jié)ON，因為ANAC，ONOC，OA是公共邊，所以ANOACO，故OACOAN.又OACACO，所以NACOACOANACOOAC2ACO.因為A，C，D，N四點共圓，所以MDNNAC，所以MDN2ACO.123456789108.(2016徐州模擬)如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PA2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB

15、1，求圓O的半徑R.解答12345678910由切割線定理可得PA2PBPC，所以BCPCPB3，因為AC是圓O的直徑，所以ABC90，所以AB2BCBP3，所以AC2BC2AB29312，123456789109.如圖，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若ABAC，AE6，BD5，求線段CF的長.解答12345678910設(shè)EBx，則EDx5，由切割線定理知x(x5)62，x4.ABAC，ABCACB，又ACBADB，EABADB，EABABC，AEBC，又ACED，四邊形EBCA為平行四邊形.ACEB4，BCAE6，由AFCDFB.1234567891010.(2016全國丙卷)如圖，O中的中 點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點.解答(1)若PFB2PCD，求PCD的大??；AB12345678910連結(jié)PB，BC，則BFD