立體幾何---平行與垂直專項訓練

1、立體幾何-平行與垂直專項訓練1.如圖1,在矩形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點，沿EF將矩形BEFC折起，使.CFD=90，如圖2所示：(I)若G,H分別是AE,CF的中點，求證：GH/平面ABCD;(n)若AE=1，.一DCE=60，求三棱錐C-DEF的體積.圖1圖22.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面PDCE為棱PD的中點.(1)求證：PB/平面EAC(2)求證：平面PADL平面ABCDSA=2AD,AB_SD交SC3.如圖，已知ASCD中，SD=3,CD=J5,cosSDC=丄丿5,5于B,M為SB上點，且SM=2MB，將SAB沿AB折起，使平面SAB_

2、平面ABCD(1) 求證：AM/平面SCD；(2) 求三棱錐S-CDM的體積DD4. 如圖，在多面體ABCDM中，BCD是等邊三角形，CMD是等腰直角三角形，.CMD=90，平面CMD_平面BCD,AB_平面BCD，點0為CD的中點，連接0M.(I)求證：0M/平面ABD;(n)若AB=BC=2，求三棱錐A-BDM的體積5. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，三角形AD=AP=5PD=6MN分別是ABPC的中點.(1) 求證：MIN/平面PAD(2) 求異面直線MN與AD夾角的余弦值.6. 在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知PA丄平面ABCDAD/BC,/BAD=9

3、0,PA=AB=BC=1AD=2E為PD的中點.(I)求證：CE/面PAB(n)求證：平面PAC丄平面PDC(川)求直線EC與平面PAC所成角的余弦值.7.已知四邊形ABCD為平行四邊形，BD_AD,BD二AD,AB=2，四邊形ABEF為正方形，且平面ABEF_平面ABCD.(1)求證:BD_平面ADF;(2)若M為CD中點，證明：在線段EF上存在點N，使得MN/平面ADF，并求出此時三棱錐N-ADF的體積.8.如圖，在四棱錐PABC中，PM平面ABCD四邊形ABC為正方形，點M,N分別為線段PB,PC上的點，MNLPB.(I)求證：平面PBCL平面PAB;(H)求證：當點M不與點P,B重合時

4、，MN/平面ABCD(川)當AB=3,PA=4時，求點A到直線Mf距離的最小值。9.如圖1,在梯形ABCD中,AD二BC,ADDC,BC二2AD，四邊形ABEF是矩形將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABEf的位置，使平面ABEF一平面ABCD,M為AR的中點，如圖2.(I)求證：BEDC；圖(n)求證：DM/平面BCE1；(川)判斷直線CD與MEi的位置關系，并說明理由.10. 如圖，已知AF丄平面ABCD四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，/DAB=90；，AB/CD，AD=AF=CD=2，AB=4.(I)求證：ACI|平面BCE(n)求三棱錐A-CDE的體積；(川)線段EF上是

5、否存在一點M,使得BMCE?若存在，確定M點的位置；若不存在，請說明理由.11. 在直三棱柱ABC-ABiCi中，AB=AC=AA=3,BC=2D是BC的中點，F(xiàn)是CQ上一占八、(1)當CF=2求證：BF丄平面ADF；(2)若FD丄BQ,求三棱錐B1-ADF體積.C12. 如圖，在長方體ABC-AB1C1D1中，AB=AD=1AA=2，點P為DD的中點.(I)求證：平面PACL平面BDD;(n)求證：PB丄平面PAC(山)求VcPAB13. 如圖，在四棱錐PABCD中,PD丄平面ABCDPD=DC=BC=1AB=2,AB/DC,/BCD=90°(1) 求證：PCLBC(2) 求點A到

6、平面PBC的距離.試卷答案1試題解析：（i）法一：取AB中點P，連結PG、PC1分.G,H分別是AE,CF的中點.CH/-BE，且CH=-BE,PG/-BE，且PG=BE22.PG/CH,PG二CH.GH/平面ABCD6分法二：取CD中點Q，連結QA,QH1分.四邊形CPGH為平行四邊形，.GH/PC4分又GH二平面ABCD,PC平面ABCDQHDF，且QH=-DF,AG/1DF,2221且AGDF2.AG/QH,AG=QH,四邊形AGQH為平行四邊形.GH/AQ又GH二平面ABCD,AQ平面ABCDGH/平面ABCD法三：取DF中點M，連結MG,MH'G,H分別是AE,CF的中點,B

7、H-FD.GM/AD,MH/CD又GM二平面ABCD,AD平面ABCDMH二平面ABCD,CD二平面ABCD.GM/平面ABCD,MH/平面ABCD4分：GM-MH-M,.平面GMH/平面ABCD而GH平面GMH.GH/平面ABCD6分(n)；.CFD=90.CF_DFvCF_EF,EF-DF=F.CF_平面ADFE8分又AE=EB=1,.CE=DE=因EF2，且CF二DF=1J-'DCE=60：DCE為等邊三角形而RtCDF中，CD1EF2,.EF=110分1 11-Vc_defEFDFCF=_3261故三棱錐C-DEF的體積為丄.12分考點：1.平行關系、垂直關系；2.幾何體的體積

8、2.【解答】證明：(1)連接BD交AC于F，由E為棱PD的中點，F(xiàn)為BD的中點，貝UEF/PB又EF?平面EACPB?平面EAC貝UPB/平面EAC(2)由PAL平面PCD貝UPALCD底面ABCD矩形,貝UCDLAD又PAHAD=A則有CDL平面PAD由CD?平面ABCD則有平面PADL平面ABCD【點評】本題考查空間直線和平面的位置關系，主要考查線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，注意定理的條件的全面性是解題的關鍵.3試題解析：(1)如圖：過C作CO_SD交SD的延長線于0，在BC上取點N使BN:NC=1:2連接MN，由于SM:MB=2:1二MN/SC在平面SCD中，由CD=J5，co

9、sZSDC=1J5得DO=1,CO=25即SA=AO又AB_SD得SB二BC，又SM:MB=2:1，BN:NC=1:2二SN:NC=2:1二AN/CD=平面AMN/平面SCD=AM/平面SCDCA到平面SCD的距離,(2)由AM/平面SCD知M到平面SCD的距離等于轉化Vs_GDM=VM-SCD=VA_SCD=VSACD考點：1、直線與平面平行的判定；2、求三棱錐的體積.4. (I)證明：CMD是等腰直角三角形，CMD=90，點O為CD的中點,二OM_CD.1分平面CMD_平面BCD，平面CMDI平面BCD=OM_平面BCD.2分AB_平面BCD,OM/AB.3分AB二平面ABD,OM二平面A

10、BD,OM/平面ABD.4分（n）解法1由（i）知OM/平面ABD,點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離5分過O作OH_BD，垂足為點H,AB_平面BCD,OH平面BCD,OH_AB.AB二平面ABD,BD二平面ABD,ABRBD=B,OH_平面ABD.AB二BC=2,BCD是等邊三角形，BD=2,OD=1,OH=ODsin602J1ABBDOH32Va_BDM=VM-ABD6分7分9分10分11分12分三棱錐A-BDM的體積為解法2:由（i）知OM/平面ABD,點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離.5分AB二BC=2,BCD是等邊三角形，-BD=2,OD=1.6分連接

11、OB,則OB_CD,OB=BDsin60'h.：；.7分VA-BDMVM-ABD二VOABD二VA_BDO10分11ODOBAB11分32=111：丿32=323'三棱錐A-BDM的體積為.12分35. 解答】證明：（1）取CD中點O,連結NOMQ/MN分別是AB,PC的中點,NO/PDMO/AD/NOAMO=OPDAAD=DNQMO平面MNOPDAD?平面APD平面MON平面ADP/MNP平面MON-MIN/平面APD解：（2）vMIN/平面PADAP與MN共面，MIN/AP,/PAD是異面直線MN與AD夾角，三角形ADP中AD=AP=5PD=6cos/PAD*=I異面直線M

12、N與AD夾角的余弦值為P2AP-AD2X5X52E25【點評】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).6. 【解答】證明：（I）取PA的中點M,連接BMME/人血.匸三二.BC/AD且S二 ME/BC且ME=BC四邊形MEBC為平行四邊形，（2分）平面BM/CECE?面PABBMP面PAB CE/面PAB-（4分）（n）：TPAL平面ABCD PALDC（5分）又AC+CD=2+2=AD, DCLAC,（7分）/ASPA=A DCL平面PAC-（8分）又DC?平面PDC所以平面PACL平面PDC（9分）（川）取PC中點F,貝U

13、EF/DC由（H）知DC1平面PAC則EF丄平面PAC所以/ECF為直線EC與平面PAC所成的角，（11分）CF=PC=:即直線EC與平面PAC所成角的正切值為；,（12分）（13分）【點評】本題主要考查空間角，線面平行，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法.7試題解析：（1）證明：正方形ABEF中，AF丄AB,平面ABEFL平面ABCD又AFU平面ABEF平面ABEF'平面ABCD=AB1分AF丄平面ABCD2分又BD二平面ABCD AF丄BD3分又BD丄AD,AFCAD=AAF、ADD

14、平面ADF,4分 BD_平面ADF.5分（n）解：當N為線段EF中點時，MIN/平面ADF.6分11證明如下：正方形ABEF中，NFBA,平行四邊形形ABCD中,MD/BA,2 2二NF/MD二四邊形NFDM為平行四邊形，MN/DF.7分又DFU平面ADF,M率平面ADF,MN/平面ADF,過D作DH_AB于H,ABEF9分在Rt?ABD中,AB=2BD=AD二DH=110分、1111所以VN公df=VdanfDHSanf112.12分平面ABE吐平面ABCD又DHu平面ABCD平面ABEK平面ABCD=AB/DHL平面3 323考點：線面垂直的判定，線面平行的判定，三棱錐的體積8.【試題解析

15、】（I）證明：在正方形匚中，丁I.T：因為打平面上丄，亠二平面丄，所以J一二1<又平面上,所以丄亠平面弋因為亠二平面丄I，所以平面.：5<：|平面（n）證明：由（I）知，亠亠平面U1平面亠m在"1中，匸亠，所以匸，又口二平面m立丄平面丄，所以初丿平面Jr,_j（出）解：因為匸,所以:二平面H,而上：平面C所以:二I,所以丄：的長就是點Z到的距離，而點t在線段J-i'上所以到直線上FJ距離的最小值就是到線段，的距離，12在二中，丄，所以到直線二j的最小值為9試題解析：（I）因為四邊形ABE1F1為矩形，所以_AB.因為平面ABCD_平面ABE1F1，且平面ABCD|

16、平面ABE1FAB,BE1-平面ABE1F-i,所以BE_,平面ABCD.3分因為DC二平面ABCD,所以BE1_DC.5分(IT)證明；因為四邊形血E珂為距形,所以AAff/BEy因次ADUBC,ADVAAf=A,BC'BE1=B,所以平面ADM/平面BCEV.*分因為DM匸平面ADM、所1凱Df!/平面BCEVg分(III)直線CD與昭相交，理由如下：卻分取甘C的中點P,習的中點0連接腫，PO,QM所PQHBE,且尸Q=；£E在矩黑應盡耳中，廣為咼的中最所型血f打丹爲，且血f=爲一所型PQHAM、RPO=AM所以四邊形APOM為平行四邊形.MQ/AP,MQ=AP.12分因

17、為四邊形ABCD為梯形，P為BC的中點，BC=2AD,所以AD/PC,AD=PC.所以四邊形ADCP為平行四邊形所以CD/AP，且CD二AP.所以CD/MQ且CD二MQ.所以CDMQ是平行四邊形.所以DM/CQ，即DM/CE因為DM-CE,所以四邊形DMEQ是以DM,為底邊的梯形.所以直線CD與ME,相交.考點：空間立體幾何10.(試題分析：(1)過C作CNAB,垂足為N,由AD_DC可知四邊形ADCh為矩形.AN二NB=2.又由給定數(shù)據(jù)知，AC2+bC=A$，得到ACBC;所以14分根據(jù)AF丄平面ABCDAF/BE得到BE丄平面ABCDBE丄AC,即可得證；（n）由AF丄平面ABCDAF/B

18、E，得知BE丄平面ABCD利用“等體積法”得到1Va_CDE=VE_ACDEBSACD.3（川）在矩形ABEF中，因為點MN為線段AB的中點，得到四邊形BEMN為正方形，BdEN由AF丄平面ABCD得到AF丄AD.在直角梯形ABCD中，可得AD丄平面ABEF而CN/AD，得到所以CN丄平面ABEFCN丄BM進一步由BM平面ENC即得BM_CE.試題解析：（I）過C作CN_AB垂足為N,因為AD_DC所以四邊形ADCt為矩形.所以AN=NB=2.又因為AD=2,AB=4，所以AC=2.2,CN=2,BC=22,所以aC+b6，所以AC_BC;因為AF丄平面ABCDAF/BE所以BE丄平面ABCD

19、所以BE丄AC,又因為BE二平面BCEBC二平面BCEbeIBC=B所以AC_平面BCE因為AF_平面ABCDAF/BE所以1EBSacD3C（川）存在，點BE平面ABCDVade二VecdM為線段EF中點，證明如下:在矩形ABEF中,因為點MN為線段AB的中點，所以四邊形BEMN正方形,所以bm_ein10分因為AF丄平面ABCDADU平面ABCD所以AF丄AD.在直角梯形ABCD中,AD_AB,又AF'AB=A，所以AD_平面ABEF,又CN/AD，所以CN_平面ABEF又BM平面ABEF所以CN_BM12分又CNCEN=N,所以BM丄平面ENC又ECU平面ENC所以bm_ce.1

20、4分考點：1.平行關系、垂直關系；2.幾何體的體積.11.【解答】（1）證明：TAB=ACD是BC的中點,ADLBC在直二棱柱ABC-A1BQ1中，/BiB丄底面ABCAD?底面ABC二ADLBiB./BCHBiB=BADL平面BBCC./BiF?平面BBCC,：ADLBiF.在矩形BiBCC中，/CiF=CD=1BiC=CF=2 RtDC匿RtFC1B1./CFDMCiBiF./BiFD=90,/-BiF丄FD./ADAFD=D/BiF丄平面ADF(2)解：/ADL面BiDF,又、m,cd=i,/FDLBQ,RtCD印RtBBiD, IU；j二'；"奈"八匚牛牛葺敘字i2.【解答】證明：(I)/DD丄平面ABCDAC?平面ABCD ACLDD,/AB=AD/四邊形ABCD是正方形， ACLBD又BD?平面BDD,DD?平面BDD,BDADD=D, ACL平面BDD,/AC?平面PAC平面PACL平面BDD.(II)