高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題4.3 立體幾何與空間向量（解析版）新課標(biāo)試卷

1、專題4.3 立體幾何與空間向量題組一、線面角的計算1-1、(2022·南京9月學(xué)情【零模】)(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐PABC中，AC2，BC4，PAC為正三角形，D為AB的中點，ACPD，PCB90°(1)求證：BC平面PAC(2)求PD與平面PBC所成角的正弦值PGCEBDA【解析】(1)證明：取AC中點E，連接PE，ED因為PAC為正三角形，E是AC中點，所以PEAC又因為ACPD，PE，PDÌ平面PED，PEPDP，故AC平面PED因為EDÌ平面PED，所以ACED因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DEBC，故BCAC4分因為PCB9

2、0°，即BCPC又PC，ACÌ平面PAC，PCACC，故BC平面PAC6分PCEBDA(2)解法一：由(1)知BC平面PAC因為PEÌ平面PAC，所以BCPE，從而EDPE又因為PEAC，又ACED，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz因為AC2，BC4，PAC為正三角形，故B(1，4，0)，D(0，2，0)，C(1，0，0)，P(0，0，)8分所以，設(shè)平面PBC的一個法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得y0，x，所以平面PBC的一個法向量為n(，0，1)10分-設(shè)直線PD與平面PBC所成角為，則sin|cos<，n>|所以PD與平面PBC所成角

3、的正弦值為12分zPCBEyDAx解法二：取PC中點F，連接AF，F(xiàn)B取FB中點G，連接DG，PG在正PAC中，F(xiàn)是PC中點，所以AFPC因為BC平面PAC，AFÌ面PAC，所以BCAF，因為D，G分別是AB，F(xiàn)B的中點，所以DGAF，從而DGPC，DGBC又因為PCBCC，PC，BCÌ平面PBC，所以DG平面PBC因此DPG為PD與平面PBC所成角，記為10分-在RtBAF中，；在RtPED中，PD，因此，在RtDPG中，sin所以PD與平面PBC所成角的正弦值為12分PFGCEBDA解法三：在RtPED中，PD，過點D作DG平面PBC，垂足為點G，連結(jié)PG，則PDG即為

4、PD與平面PBC所成角，記為由VPBCDVDPBC可得，SBCD×PESPBC×DG，即××4×1×××2×4× DG，解得DG10分-因此，在RtDPG中，sin所以PD與平面PBC所成角的正弦值為12分PGCEBDA1-2、【2022·廣東省深圳市育才中學(xué)10月月考】如圖，長方體中，在棱上且，在平面內(nèi)過點作直線，使得（1）在圖中畫出直線并說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【解析】（1）連接，則直線即為所求的直線，理由如下：連接，因為，所以，故，又，所以，所以，又平面，平

5、面，所以，又，所以平面，平面，故，所以直線即為所求的直線；（2）以為原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，、，、，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以直線l與平面所成角的正弦值為1-3、(2022·江蘇蘇州市第十中學(xué)10月月考)如圖，在四邊形中，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面；（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）因為，所以平面，又因為平面，所以又因為，所以平面（2）因為，所以是二面角的平面角，即，在中，取AC的中點，連接OM，OB，因為，所以，由（1）

6、知，平面，為的中位線，所以，即，兩兩垂直，如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為則由得令，得所以，所以直線PB與平面MBC所成角的正弦值為題組二、面面角的計算2-1、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試-聯(lián)考)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為4的菱形，是上一點，且，設(shè).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：四邊形是菱形，是的中點，平面，平面，平面，是的中點，平面，平面，平面.（2）由（1）知平面，兩兩互相垂直，以為原點，以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，四邊形是菱形，和都是等邊三角形，即，設(shè)平面的法向量為，則令

7、，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，結(jié)合圖象可知，二面角的余弦值為.2-2、(2022·江蘇南京市二十九中學(xué)高三10月月考)如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是棱上的動點（除端點外），分別為，的中點（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的最大角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值【解析】（1）證明：取的中點，連結(jié)，因為，分別為，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理，平面，又因為，所以平面平面，又因為平面，所以平面（2）因為平面平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，且，當(dāng)最小，即為中點時，此時最大為，又因為，所以，所以取的中點，連結(jié)，

8、易知平面，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)為平面的法向量，則，即可取設(shè)平面的法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為2-3、(2022·青島期初考試-)(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，PAAB2，ABC60°，E為BC的中點，F(xiàn)為PC的中點(1)求證：平面AEF平面PAD；(2)求平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值【解析】(1)證明：連接AC，四邊形ABCD為菱形，ABC60°，ABC為正三角形，ADBC，E為BC的中點，AEBC，AE

9、AD，PA平面ABCD，AEÌ平面ABCD，AEPA，PAADA，AE平面PAD，AEÌ平面AEF，平面AEF平面PAD，(2)以A為原點，AE所在的直線為x軸，建系如圖所示，則A(0，0，0)，設(shè)面AEF的一個法向量為，(，1)，由，即，令y12，則x10，z11，則(0，2，1)，設(shè)面PCD的一個法向量為，(0，2，2)，由，即，令，則，則(1，)，設(shè)平面AEF與平面PCD的夾角為，則cos2-4、(2022·江蘇南京市高淳高級中學(xué)高三10月月考)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1ECD，AB2

10、BC2（1）求證：平面CC1D1D底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度【解析】（1）證明：因為底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，所以ADCD，ADDD1，又CDDD1D，CD，DD1平面CDD1C1，所以AD平面CDD1C1，又D1E平面CDD1C1，所以ADD1E，又CDD1E，且CDADD，CD，AD平面ABCD，故D1E平面ABCD，又D1E平面CC1D1D，則平面CC1D1D平面ABCD；（2）解：取AB得中點F，連結(jié)EF，則四邊形EFBC為正方形，所以EFCD，故以E為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)D1Ea，則

11、E（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a）所以，設(shè)平面BCC1B1的法向量為，則有，即，令z1，則，因為FCBE，又FCD1E，BED1EE，BE，D1E平面BED1，所以FC平面BED1，故為平面BD1E的一個法向量，所以，因為平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，解得a1，所以D1E12-5、【2022·廣州市荔灣區(qū)上學(xué)期調(diào)研】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形；平面平面，M是線段PC的中點.（1）求證：平面BMD；（2）求二面角的大小.【解析】證明：（1）連AC，OM因為底面ABCD是平行四邊形，所以O(shè)為AC中點又

12、MPC中點，所以又平面BMD，平面BMD，所以平面平面BMD.（2）取AD的中點N，連PN因為，所以，又平面平面ABCD，所以平面ABCD如圖，以N點為原點分別以NA、NB、NP所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系由，得，則，所以，設(shè)平面MBC的法向量為所以，即令，則，設(shè)平面法向量為所以，即令，則，設(shè)平面MBC與平面BMD所成的二面角為.所以所以二面角的大小為90°題組三、探索性問題-試卷3-1、【2022·廣東省深圳市第七高級中學(xué)10月月考】如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，M為線段PB上一點.（1）若，則在線段PB上是否存在點M，使得平面PCD？若存在，請確定M

13、點的位置；若不存在，請說明理由.（2）已知，若異面直線PA與CD成角，二面角的余弦值為，求CD的長.【解析】（1）延長BA，CD交于點E，連接PE，則平面PCD.若平面PCD，由平面平面，平面PBE，則.由，則故點M是線段PB的中點.（2）因為，平面ABCD，平面ABCD，則平面ABCD，以點A為坐標(biāo)原點，以AD，AP所在的直線分別為y軸z軸，過點A與平面PAD垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，.設(shè)平面PBC和平面PCD法向量分別為，由，得即令，則，故.同理可求得，于是，即，解之得（負(fù)值舍去），故，所以.3-2、(2022·湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三起點考試-)如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，且（1）設(shè)點M為棱中點，求證平面；（2）線段