【課件】6.1平面向量的概念

1、下一頁1PART ONE老鼠逃跑的方向貓追老鼠的方向 還有一些量不是這樣的，比如還有一些量不是這樣的，比如貓捉老鼠，貓的速度不僅要快，還貓捉老鼠，貓的速度不僅要快，還要注意方向，不然的話，即使貓要注意方向，不然的話，即使貓的的速度速度再快也不能逮住老鼠，這說明再快也不能逮住老鼠，這說明貓捉老鼠的速度是一個既有大小又貓捉老鼠的速度是一個既有大小又有方向的量，有方向的量， 在現實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個實數就可以表示出來，如長度，質量，人的體重，身高等等，都是這樣的量。再如下圖中小船的位移問題：小船由A地向東南方向航行15 n mile 到達B地（速度的大小為10

2、n mile)。 如果僅指出“由A地航行15 n mile” ,而不指名“向東南方向”航行，那么小船就不一定到達B地了，這也說明，位移也是一個既有大小又有方向的量，我們把這種既有大小又有方向的量叫做向量。2.數量：只有 沒有 的量稱為數量.1.向量：既有 又有 的量叫做向量.知識點向量的概念大小方向大小方向向量向量 PK PK 數量數量向量：向量：即有即有大小大小又有又有方向方向的量的量數量數量：只有只有大小大小，沒有，沒有方向方向的的量量向量的向量的模模向量的向量的長度長度在質量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，哪些是數量？哪些是向量？在質量、重力、速度、加速度、身高、面積、體

3、積這些量中，哪些是數量？哪些是向量？數量有：數量有：質量、身高、面積、體積質量、身高、面積、體積向量有：向量有：重力、速度、加速度重力、速度、加速度2PART TWO 數量可以用實數表示，而實數和數軸上的點一一對應，所以數量可以用實數表示，而實數和數軸上的點一一對應，所以數量可以用數軸上的點表示，并且不同的點表示不同的數量，那數量可以用數軸上的點表示，并且不同的點表示不同的數量，那么向量該如何表示呢？么向量該如何表示呢？ 我們仍以位移為例，小船以我們仍以位移為例，小船以A A為起點，為起點，B B為終點，我們可以用連接為終點，我們可以用連接A A、B B兩點的線段長度代表小船行進的距離，并在終

4、點兩點的線段長度代表小船行進的距離，并在終點B B處加上箭頭表示小船處加上箭頭表示小船行駛的方向，于是，這條行駛的方向，于是，這條“帶有方向的線段帶有方向的線段”就可以表示位移了。就可以表示位移了。在在線段線段ABAB的兩個端點的兩個端點中中, ,規(guī)定規(guī)定一個一個順序順序, ,假設假設以以A A為為起點起點,B,B為為終點終點, ,我們我們就說線段就說線段ABAB具有了方向。具有了方向。AB有向線段三起要素點方向長度注意點：有 向 線 段 AB .-ABABABABABAB 的線段叫做，記為，線段的長度叫做有向線段 的長度（也叫有向線段的模）記作具有方向有向線段有向線段- .ABBAABAB

5、向量可以用表示，我們把這個向量記作， 有向線段 向量的表 示向量的大小， 的長有向線段的方向表度示幾何有向線段表向量的方向示-.AABABB 向量的模向量的大小的長度（或稱），記作模稱為向量-000零 向 量長度的為向量叫向量方向是做記，作任意的。-即， 單 位向 量，| 單 AB |= 位向量長度等于1個單位長1的向量叫做 AB是度單位向量。-.abceabce向量也可以用字母 、 、 、頭上加箭頭表示， 向量的表示 即用 、 、 、 、 代表數示注意：3PART THREE相等向量長度長度相等相等且方向且方向相同相同的向量叫的向量叫相等向量相等向量注：注：1.若向量若向量 相等，則記為相等

6、，則記為 ；,a b ababc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B42.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示來表示，并且，并且與與 有向線段有向線段的的起點起點無關無關,所以向量也叫所以向量也叫自由向量自由向量。平行向量平行向量 方向方向相同相同或或相反相反的非零向量叫的非零向量叫平行向量平行向量./1/ab若是兩個平行向量，則記為：注意： 0./2aa零向量與任一向量平行，即對任意向量，都有規(guī)定：ab c dm n1e 2e 平行向量也叫平行向量也叫共線向量共線向量注：注：任一組平行向量都

7、可以平移到同一直線上任一組平行向量都可以平移到同一直線上.OabcABC,aOA bOB cOC 共線向量(2)規(guī)定：零向量與任意向量 .(1)記法：向量a與b平行，記作 .2.相等向量：長度 且方向 的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也 叫做 向量.1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.相等向量與共線向量相同或相反非零ab平行相等相同共線向量向量平行、共線與平面幾何中的平行、共線與平面幾何中的直線直線、線段線段的平行和的平行和共線共線是不一樣的是不一樣的.ABCDABCD有向線段有向線段 PK PK 向量向量向向 量量有向線段有向線段

8、（1）有固定的起點， 雖然一（3）有向線段AB、 CD 大小、方向， ， 是樣但起點不同不同的兩條有向線段。（1）可選任意點作為向量的起點，（2）向量有大小、方向，與起點無關。（2）有向線段有：起點、大小、方向， （3）向量AB、 CD 大小、方向一樣起點不，雖然 ，同是同一但是個向量。 任意兩個相等的非零向量，都可以用一任意兩個相等的非零向量，都可以用一 條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關；條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關；同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同 一個向量，因為向量完全由它的模和方向確定。一個向量，因為向量完全由

9、它的模和方向確定。思考(1)平行向量是否一定方向相同？答案不一定；(2)不相等的向量是否一定不平行？答案不一定；(3)與任意向量都平行的向量是什么向量？答案零向量；(4)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？答案平行(共線)向量.思考辨析 判斷正誤SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.如果 .()提示向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小.2.若a，b都是單位向量，則ab.()提示a與b都是單位向量，則|a|b|1，但a與b的方向可能不同.3.力、速度和質量都是向量.()提示質量不是向量.4.零向量的大小為0，沒有方向.()提示任何向量都有方向，零

10、向量的方向是任意的.類題探究例1(多選)下列說法錯誤的有A.向量 與向量 的長度相等B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C.零向量都是相等的D.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等一、向量的概念解：兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點也 不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個單位向量也可能反 向，則不相等，故B，C，D都錯誤，A正確.【悟】解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題.【練1】下列說法中正確的是 A.數量可以比較大小，向量也可以比較大小 B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小 C.向

11、量的大小與方向有關 D.向量的?？梢员容^大小解：不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確； 向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關， 故C不正確； 向量的模是一個數量，可以比較大小，故D正確.二、向量的幾何表示及應用例2 一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向，向西 偏北50的方向走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km 到達D點.二、向量的幾何表示及應用例2 一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向，向西 偏北50的方向走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km 到達D

12、點.在四邊形ABCD中，ABCD且ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，【悟】作向量的方法準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據向量的大小確定向量的終點.【練2】在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1. (1)試以B為終點畫一個向量b，使ba；解（1）根據相等向量的定義，所作向量b與向量a方向相同， 且長度相等(作圖略).(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c| ， 并說出向量c的終點的軌跡是什么？（2）由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心， 半徑為 的圓(作圖略).三、相等向量與共線向量例3 如圖所示，ABC的三邊均不相等，

13、E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.(1)寫出與 共線的向量；解(1)因為E，F分別是AC，AB的中點，又因為D是BC的中點，(2)寫出模與 的模相等的向量；(3)寫出與 相等的向量.【悟】相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.【練3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心. (1)與 的模相等的向量有多少個？解(1)與 的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如

14、OB)， 而每一條線段可以有兩個向量，所以這樣的向量共有23個.(2)是否存在與 長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？(3)與 共線的向量有幾個？(4)分別寫出圖中與 相等的向量。 OA OB OC 、 、【練3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心. (1)與 的模相等的向量有多少個？(2)是否存在與 長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？(3)與 共線的向量有幾個？(4)分別寫出圖中與 相等的向量。 OA OB OC 、 、OABCDE4OACBDOEF （ ）OBDCEOFA OCABEDFO F核心素養(yǎng)之邏輯推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI特殊向量的作用典例 給出下列命題：若ab，則a與b的方向相同或相反；若ab，bc，則ac；若兩個模相等的向量互相平行，則這兩個向量相等；若ab，bc，則ac，其中正確的是_.(填序號)解 由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任意向量平行， 故取a0，則對于任