概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布21.1 1.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量一隨機(jī)變量的概念一隨機(jī)變量的概念 為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象, , 就要建立就要建立數(shù)學(xué)模型，隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的最基本的數(shù)學(xué)模型，隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的最基本的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型. . 引入了隨機(jī)變量，我們就可以用引入了隨機(jī)變量，我們就可以用隨機(jī)變量的值表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果隨機(jī)變量的值表示隨機(jī)

2、試驗(yàn)的結(jié)果概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布3 在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此引入了隨機(jī)變量的概念數(shù)量來(lái)表示，由此引入了隨機(jī)變量的概念 1 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）就是一個(gè)數(shù)）例如例如 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 觀察某天從北京下火車的人數(shù)；觀察某天從北京下火車的人數(shù)； 觀察昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)觀察昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布4 2 2、此外，還有些試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)、此外，還有些試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各關(guān)，但我

3、們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果種結(jié)果. . 也就是說(shuō)，可以也就是說(shuō)，可以將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化 正如正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼一樣，二者號(hào)碼一樣，二者之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. . 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)解為定義了一種實(shí)值函數(shù) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布5例例1 1 擲一顆骰子擲一顆骰子, , 樣本空間是樣本空間是 1,2,6 用用X 表示擲出的點(diǎn)數(shù)表示擲出的點(diǎn)數(shù), , 稱稱X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 3X 表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)表示擲出的點(diǎn)數(shù)

4、不超過(guò)3 31, 2, 3X 是事件是事件并且并且再看兩個(gè)例子再看兩個(gè)例子概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布6 ,X 將將X 視為視為 上的函數(shù)上的函數(shù) 1, 2 ,Xjj 則則是事件是事件例例1 1（續(xù)）（續(xù)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布7例例2 2 在一副撲克的在一副撲克的52 張中任取一張張中任取一張 樣本空間的每個(gè)樣本點(diǎn)表示一張撲克樣本空間的每個(gè)樣本點(diǎn)表示一張撲克用用X 表示所取撲克的大小表示所取撲克的大小稱稱X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 3X 表示所取到的撲克是表示所取到的撲克是3 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布8 33XX=草花草花3, 黑桃黑桃3, 紅桃紅桃3, 方塊方塊3 是事

5、件是事件將將X 視為樣本空間上的函數(shù)視為樣本空間上的函數(shù) ,XX 則則例例2 2（續(xù)）（續(xù)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布9 可以看出，上述隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果可以看出，上述隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量都對(duì)應(yīng)著變量X 的一個(gè)確定的取值，因此變的一個(gè)確定的取值，因此變量量X 是樣本空間是樣本空間 上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù): : 并且定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)并且定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件 XX 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布10 由此看到，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)由此看到，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，因此引入量來(lái)表示，因此

6、引入隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念的概念 XX定義定義1.11.1 X 通常將隨機(jī)變量通常將隨機(jī)變量 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為X 一般用一般用X，Y，Z， 等表示隨機(jī)變量等表示隨機(jī)變量 , 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 是定義在樣本空間是定義在樣本空間 上的上的 實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù): : 對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn) 一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù) X ， 是是 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布11 1 1、 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值 2 2、 由于試驗(yàn)結(jié)果

7、的出現(xiàn)具有一定的概率，由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率的值也有一定的概率說(shuō)說(shuō) 明明概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布12說(shuō)說(shuō) 明明 Xx XA Xx 3 3、我們用我們用 表示事件表示事件 表示事件表示事件 對(duì)于實(shí)數(shù)的集合對(duì)于實(shí)數(shù)的集合A, ,我們用我們用 XA XAXA 即即 XxXx即即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布13 4 4、 在許多實(shí)際問(wèn)題中在許多實(shí)際問(wèn)題中, , 一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量X 的的含義是十分清楚的含義是十分清楚的, , 所以一般不再關(guān)心隨機(jī)變所以一般不再關(guān)心隨機(jī)變量量X

8、 在樣本空間在樣本空間上是如何定義的上是如何定義的. 可以認(rèn)為可以認(rèn)為X的所有取值就是我們的樣本空間的所有取值就是我們的樣本空間. 只是在必要只是在必要的時(shí)候才將自變?cè)臅r(shí)候才將自變?cè)?寫出來(lái)寫出來(lái)說(shuō)說(shuō) 明明概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布14 引入了隨機(jī)變量引入了隨機(jī)變量, , 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái) 可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi). . 也可以說(shuō)，也可以說(shuō)，隨機(jī)隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)事件是從

9、靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn). . 就象數(shù)學(xué)分析中常就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣量與變量的區(qū)別那樣二隨機(jī)變量的意義二隨機(jī)變量的意義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布15 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件重大事件. . 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布16 例例3 3 一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品有50 件

10、，其中有件，其中有8件次品，件次品，42 件正品，現(xiàn)從中取出件正品，現(xiàn)從中取出 6 件件 X 表示表示取出取出6 件產(chǎn)品中的次品數(shù)件產(chǎn)品中的次品數(shù) 則則X 就是一個(gè)隨機(jī)變量就是一個(gè)隨機(jī)變量 它的取值為它的取值為 0，1，2，6 0X 表示取出的表示取出的產(chǎn)品全是正品產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件 1X 表示取出的表示取出的產(chǎn)品至少有一件是次品產(chǎn)品至少有一件是次品這一這一隨機(jī)事件隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布17 例例4 4 上午上午 8:009:00 在某路口觀察在某路口觀察 Y 表示表示該時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)的汽車數(shù)該時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)的汽車數(shù) 則則Y 就是一個(gè)隨機(jī)變量就是一個(gè)隨機(jī)變量

11、 它的取值為它的取值為 0，1， 100Y 表示表示通過(guò)的汽車數(shù)小于通過(guò)的汽車數(shù)小于100輛輛這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件 50100Y注意注意 Y 的取值是的取值是可列無(wú)窮可列無(wú)窮個(gè)！個(gè)！表示表示通過(guò)的汽車數(shù)大于通過(guò)的汽車數(shù)大于50 輛但不超過(guò)輛但不超過(guò)100輛輛這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布18 例例5 5 觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)）觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)） Z 表示表示該生物的壽命該生物的壽命 則則Z 就是一個(gè)隨機(jī)變量就是一個(gè)隨機(jī)變量 它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù) 1500Z 3000Z 表示該生物的表示該生物的壽命大于壽命大于 3000小

12、時(shí)小時(shí)這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件表示該生物的表示該生物的壽命不超過(guò)壽命不超過(guò)1500小時(shí)小時(shí)這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可列無(wú)窮個(gè)不可列無(wú)窮個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布19例例6 6 擲一枚硬幣，令擲一枚硬幣，令擲硬幣出現(xiàn)反面擲硬幣出現(xiàn)正面01X則則X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量注意注意在同一個(gè)樣本空間上可以定義在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量不同的隨機(jī)變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布20 例例7 7 擲一枚骰子，在擲一枚骰子，在例例1 1中，我們定義了隨中，我們定義了隨機(jī)變量機(jī)變量 X 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). .我們還可以定義我們還可以定

13、義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)01Y6061點(diǎn)數(shù)不為點(diǎn)數(shù)為Z等等等等概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布21一一. . 離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 有些隨機(jī)變量只能取有些隨機(jī)變量只能取有限個(gè)有限個(gè)或或可列個(gè)可列個(gè)值值，比如，被訪問(wèn)者的性別、年齡、職業(yè)比如，被訪問(wèn)者的性別、年齡、職業(yè); ; 一批一批產(chǎn)品中次品個(gè)數(shù)產(chǎn)品中次品個(gè)數(shù); ; 一個(gè)醫(yī)學(xué)試樣中白細(xì)胞個(gè)一個(gè)醫(yī)學(xué)試樣中白細(xì)胞個(gè)數(shù)數(shù); ; 擲兩顆骰子第一次得到擲兩顆骰子第一次得到12點(diǎn)的次數(shù)點(diǎn)的次數(shù); ;等等等等 概率論與數(shù)理

14、統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布22定義定義 2.12.112,nxxx12,xx 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 只取有限個(gè)值只取有限個(gè)值或可列個(gè)值或可列個(gè)值則稱則稱 X 是是離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量, ,簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為離散隨機(jī)離散隨機(jī)變量變量離散型隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量的定義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布23設(shè)設(shè)X 是是離散型隨機(jī)變量，稱離散型隨機(jī)變量，稱 ,1kkP Xxpk 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布定義定義 2.22.2 kp為為X 的的概率分布概率分布; ; 稱稱 是是概率分布列概率分布列, , 簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為分布列分布列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布24離散型

15、隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布也常常用也常常用如下方式表達(dá)如下方式表達(dá)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布25說(shuō)說(shuō) 明明 離散型隨機(jī)變量可完全由其分布列來(lái)刻離散型隨機(jī)變量可完全由其分布列來(lái)刻劃劃. . 即離散型隨機(jī)變量可完全由其可能取即離散型隨機(jī)變量可完全由其可能取值以及取這些值的概率唯一確定值以及取這些值的概率唯一確定分布列具有如下性質(zhì)分布列具有如下性質(zhì) 10;1kjjapbp 用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)函數(shù)是否是概率分布概率分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布26例例1 1 從從110這這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，個(gè)數(shù)字，X 表示表示取出

16、的取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值個(gè)數(shù)字中的最大值. . 試求試求X 的的分布列分布列 415105610kCP XkkC ，即即 X 的分布列為的分布列為解解: : X 的取值為的取值為5，6，7，8，9，10. 并且并且概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布27例例2 2 將將 1枚硬幣擲枚硬幣擲 3次，次，X 表示表示出現(xiàn)的正面出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差次數(shù)與反面次數(shù)之差. . 試求試求X 的分布列的分布列解解: : X 的取值為的取值為-3，-1，1，3則則 X 的分布列為的分布列為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布28例例3 3 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為 則則 2

17、012P XP XP XP X 131161616 516 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布29例例3 3（續(xù)）（續(xù)） 345P XP XP X 341616 716 0.5312PXP XP X 311616 416 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布30例例4 4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為 1124nP Xncn ，解解: : 由分布列的性質(zhì)，得由分布列的性質(zhì)，得 11114nnnP Xnc 該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有 11114nnnP Xnc 14114c 所以所以3c 試求常數(shù)試求常數(shù)c概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布31例例5 5 設(shè)一汽車在開(kāi)

18、往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁的概率允許或禁止汽車通過(guò)止汽車通過(guò). . 以以X 表示汽車首次停下時(shí)，它已表示汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X 的分布列的分布列. (. (信號(hào)信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的燈的工作是相互獨(dú)立的) )PX=3=(1-p)3p概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布32解解: : 以以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的 概率，則概率，則 X 的分布列為的分布列為 0 1 2 3 4 Xpk p (1-p)p (1-p)2

19、p (1-p)3p (1-p)4 或?qū)懗苫驅(qū)懗?PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例例5 (5 (續(xù)續(xù)) )概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布33以以 p = 1/2 代入，得代入，得Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例例5 (5 (續(xù)續(xù)) )概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布34二二. . 幾種常用的離散型隨機(jī)變量幾種常用的離散型隨機(jī)變量如果如果X 只取只取 0或或 1，概率分布是，概率分布是 01,0,1，P XqP Xpp qpq 或或 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)

20、為 p的的兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 1.1.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 ( (Bernoulli分布分布) ) 1,Bp 1,XBp記作記作 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布35兩點(diǎn)分布的概率背景兩點(diǎn)分布的概率背景 1P ApP Apq ，X 表示在一次試驗(yàn)中事件表示在一次試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)令令不發(fā)生若事件發(fā)生若事件AAX01 1,XBp記記則則 任何一次試驗(yàn)，當(dāng)只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果任何一次試驗(yàn)，當(dāng)只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果A與與 時(shí)，時(shí)，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”. .就可以用就可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描兩點(diǎn)分布來(lái)描述述A概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其

21、分布36例例6 6 15件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有4件次品，件次品，11件正品，從中件正品，從中任取任取1件件. .X 表示取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)表示取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù). .則則X 的取值為的取值為 0 或者或者 1，并且，并且 114011515P XP X ，4115即即，XB 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布37如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 有如下有如下的概率分布的概率分布2.2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ( (Binomial分布分布) ) ,Bnp則稱則稱X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為 n和和 p的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布, , 0,1,0,1kkn knP XkC p qknp qpq ,XBnp

22、記作記作 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布38二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布的概率分布示意圖概率分布示意圖概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布39說(shuō)說(shuō) 明明1.1.顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) n = 1 時(shí)時(shí) 1XBp，此時(shí)，此時(shí)，X 服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布這說(shuō)明，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例這說(shuō)明，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例 0nnkkn knkpqC p q 第第k+1項(xiàng)項(xiàng) kkn knC p q 2.2.稱為二項(xiàng)分布的原因是稱為二項(xiàng)分布的原因是 為為 二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布40二項(xiàng)二項(xiàng)分布的概率背景分布的概率背景進(jìn)行進(jìn)行n重重貝努里貝努里試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中

23、1P ApP Apq ，X 表示表示在在 n 重重貝努里貝努里試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生發(fā)生的次數(shù)的次數(shù) ,XB np則則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布41 一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果互逆的結(jié)果 A或或 ，或者形象地把兩個(gè)互逆，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做結(jié)果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”A 再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn) ( ( “重復(fù)重復(fù)” 是指這個(gè)試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同是指這個(gè)試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 ) ) 每次試驗(yàn)成功的概率都是每次試驗(yàn)成功的概率都是 p，失敗的概率，失敗的概率都是都是 q

24、= 1- p 這樣的這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作稱作 n 重貝努里重貝努里試驗(yàn)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型貝努里概型n重貝努里試驗(yàn)重貝努里試驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布42 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行 n 次射擊，若每次射擊次射擊，若每次射擊只關(guān)心只關(guān)心“擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)”與與“未擊中目標(biāo)未擊中目標(biāo)” 兩兩種情況種情況n重貝努里試驗(yàn)的例子重貝努里試驗(yàn)的例子 擲擲 n 次硬幣，只關(guān)心次硬幣，只關(guān)心“出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面”與與“出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面”這兩種情況這兩種情況; ; 擲擲 n 顆骰子，如果我們對(duì)每顆骰子只關(guān)心顆骰子，如果我們對(duì)每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點(diǎn)出現(xiàn)

25、六點(diǎn)”與與“不出現(xiàn)六點(diǎn)不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況這兩種情況; ;概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布43注注: : 貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求要求，但有下述要求（1 1）每次試驗(yàn)條件相同；）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功成功”次數(shù)次數(shù) X 的概率分布的概率分布（2 2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或或 ， A且且 P (A) = p ， ( )1P Ap（3 3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立. .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布44設(shè)在設(shè)在n重貝努里

26、試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中 1P ApP Apq ， 12,n 每一個(gè)樣本點(diǎn)可記作每一個(gè)樣本點(diǎn)可記作現(xiàn)考慮事件現(xiàn)考慮事件n 重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A 恰好發(fā)生恰好發(fā)生k 次次，Bkn 其中每一個(gè)其中每一個(gè) 只取只取 A 或或 ，i A2n共共有有個(gè)個(gè) : :現(xiàn)求概率現(xiàn)求概率，knBP分析分析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布45 12,kn knPp q 在在 n 次試驗(yàn)中，指定次試驗(yàn)中，指定 k 次出現(xiàn)次出現(xiàn) A( (成功成功) )，其余其余 n k 次出現(xiàn)次出現(xiàn) ( (失敗失敗) )，這種指定的，這種指定的方法有方法有 種種knCA 而對(duì)于每一種指定好的方法，有而對(duì)于每一種指定好的方

27、法，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布46 1kkn knknP BC p qqp ，0 ,1,kn 因此因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布47 用用X 表示表示 n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件 A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則，則()(1)0,1,kkn knP XkC ppkn 稱稱X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n和和 p的二項(xiàng)分布，記作的二項(xiàng)分布，記作 X B ( n , p )概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布48二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示演示概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布49例例7 7 一張考卷上有一張考卷上有5 道選擇題，每道題列出

28、道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的. .某某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4 道題的概率是多少？道題的概率是多少？ 41APA，則答對(duì)一道題則答則答 5 道題相當(dāng)于做道題相當(dāng)于做 5 重貝努里試驗(yàn)重貝努里試驗(yàn)解解: : 每答一道題相當(dāng)于做一次試驗(yàn)每答一道題相當(dāng)于做一次試驗(yàn)則則1 5 ,4X令令 X 表示該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)的題數(shù)表示該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)的題數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布50例例7 7（續(xù)）（續(xù)）所以所以 45P XP X P 至少能答對(duì)至少能答對(duì)4 道題道題 4P X 4545131444C 164 概率論與

29、數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布512.2.泊松分布泊松分布(Poisson 分布分布) P 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 有如下有如下的概率分布的概率分布 !0 ,1,kP Xkekk XP 記作記作 0 其中其中 是常數(shù)是常數(shù). .則稱則稱X 服從參數(shù)是服從參數(shù)是 的的Poisson分布分布, , 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布52泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松分布隨機(jī)數(shù)泊松分布隨機(jī)數(shù)演示演示概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布53Poisson分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用 電話總機(jī)在電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)收到的呼叫次數(shù); ; 放射物在放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射

30、的粒子數(shù)發(fā)射的粒子數(shù); ; 容器在容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù), ,等等等等. . 在一定條件下，都是服從在一定條件下，都是服從Poisson分布的分布的 Poisson分布是概率論中重要的分布之一分布是概率論中重要的分布之一 自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布，例如分布，例如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布54 例例8 8 1910年年, 著名科學(xué)家著名科學(xué)家Rutherford(羅瑟福羅瑟福) 和和 Geiger (蓋克蓋克) 觀察了放射性物質(zhì)釙放射觀察了放射性物質(zhì)釙放射 粒子的情況粒子的情況他們進(jìn)行

31、了他們進(jìn)行了N=2608次觀測(cè)次觀測(cè), 每次觀測(cè)每次觀測(cè)7.5秒秒,一一共觀測(cè)到共觀測(cè)到10094個(gè)個(gè) 粒子放出粒子放出,下面的表是下面的表是觀測(cè)記錄觀測(cè)記錄 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布55觀測(cè)到的觀測(cè)到的粒子數(shù)粒子數(shù) k觀測(cè)到觀測(cè)到k 個(gè)粒個(gè)粒子的次數(shù)子的次數(shù) 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 0 570.0220.021 12030.0780.081 23830.1470.156 35250.2010.201 45320.2040.195 54080.1560.151 62730.1050.097 71390.0530.054 8 450.0170.026 9 270.0100.01110+ 1

32、60.0060.007 總計(jì)總計(jì) 2608 0.999 1.00 km/kmN P Yk 3.87YP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布56用用Y 表示這塊放射性釙在表示這塊放射性釙在7.5秒內(nèi)放射出的秒內(nèi)放射出的 粒子數(shù)粒子數(shù) P Yk 在在 N = 2608 次重復(fù)觀測(cè)中發(fā)生的次重復(fù)觀測(cè)中發(fā)生的頻率頻率和和 基本相同基本相同. . 見(jiàn)書見(jiàn)書p42圖圖 Yk 表的最后兩列表明表的最后兩列表明, ,事件事件 3.87P 其中的其中的Y 是服從是服從 分布的隨機(jī)變量，分布的隨機(jī)變量， 是是7.5秒秒中放射出中放射出 粒子的粒子的平均數(shù)平均數(shù)10094/26083.87 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其

33、分布57 11211！n kkknnnkn knnC ppn nnnkknn lim0nnnp 設(shè)在設(shè)在n重貝努里試驗(yàn)中，以重貝努里試驗(yàn)中，以 代表事件代表事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 , ,它與試驗(yàn)總數(shù)它與試驗(yàn)總數(shù)n 有關(guān)有關(guān). . 若若 npPoisson定理定理則則 lim1!kn kkknnnnC ppek 證明證明: :nnnp 令令則則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布58Poisson定理的證明定理的證明( (續(xù)續(xù)) )1211111!n kknnkknnnn 對(duì)于固定的對(duì)于固定的 k，有，有l(wèi)imkknn 得得limlimnnnnnp 由由lim 1li

34、m1nnn knnn knnnnnn e 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布59Poisson定理的證明定理的證明( (續(xù)續(xù)) )所以所以 lim1n kkknnnnC pp 121lim1111!n kknnnkknnnn 1121limlim 111lim 1!n kknnnnnkknnnn !kek 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布60Poisson定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用 二項(xiàng)分布與泊松分布關(guān)系二項(xiàng)分布與泊松分布關(guān)系 由由 Poisson 定理，可知定理，可知( () )XB np若若， 1!n kkknnnkP XkC ppek 有有np 令令則當(dāng)則當(dāng) n比較大，比較大，p 比較小時(shí)比較小

35、時(shí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布61上面我們提到上面我們提到單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)( nnp 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布62例例9 9 為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備 300臺(tái)，各臺(tái)工作是臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01. . 在在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可有一人來(lái)處理通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可有一人來(lái)處理. . 問(wèn)至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生問(wèn)至少需配備多少工

36、人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01 ？解解: : 設(shè)需配備設(shè)需配備 N 人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的 設(shè)備臺(tái)數(shù)為設(shè)備臺(tái)數(shù)為X， 則則 X B ( 300，0.01） 欲確定最小的欲確定最小的 N 的取值，使得的取值，使得0.01P XN 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布633030.99!kNkeP XNk 33013310.01!kkNkkNeekk 查表可知，滿足上式的最小的查表可知，滿足上式的最小的 N是是 8, , 因此因此至少需配備至少需配備 8 個(gè)工人個(gè)工人0.01P XN 例例9 (9 (續(xù)續(xù)) )概率論與數(shù)

37、理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布64例例1010 設(shè)有設(shè)有 80 臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法配備維修工人的方法: :其一，由其一，由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20 臺(tái)臺(tái)其二，由其二，由 3 人，共同維護(hù)人，共同維護(hù) 80 臺(tái)臺(tái)試比較這兩種方法試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小時(shí)維修的概率的大小概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布652P X 2!kkek 解

38、解: : 按第一種方法按第一種方法. . 以以 X 記記“第第1人負(fù)責(zé)人負(fù)責(zé) 的的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)” 則則 X B ( 20，0.01）以以 Ai 表示事件表示事件 “第第 i 人負(fù)責(zé)的臺(tái)中人負(fù)責(zé)的臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修發(fā)生故障不能及時(shí)維修”則則 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為的概率為例例10 (10 (續(xù)續(xù)) )0.22(0.2)0.0175!kkek 12341()()P AAAAP A 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布66按第二種方法按第二種方法. . 以以 Y 記記 80 臺(tái)中同一臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)時(shí)

39、刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)則則 Y B ( 80 , 0.01）故故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為概率為0.84(0.8)40.0091!kkP Yek 第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小，且維修工人減少一人。的概率小，且維修工人減少一人。運(yùn)用運(yùn)用概率論討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，可以有效地概率論討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，可以有效地使用人力、物力資源使用人力、物力資源例例10 (10 (續(xù)續(xù)) )概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布67 12P XP X解解: : 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為 ,0 ,1,!kP Xkekk 由已知由已知 12P XP X 4P X 試求試求