動(dòng)力系統(tǒng)建模

1、動(dòng)力系統(tǒng)建模唐 云（清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系）引言1。動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念與方法：從蝴蝶泉到蝴蝶效應(yīng)2。機(jī)械與電力系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型3。生命科學(xué)的數(shù)學(xué)建模4。分形模型目 錄引言 動(dòng)力系統(tǒng)是關(guān)于系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)建模是連接動(dòng)力系統(tǒng)理論與應(yīng)用的橋梁。 特點(diǎn)：（1）廣泛的應(yīng)用前景；（2）深刻的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)；（3）計(jì)算技術(shù)。 動(dòng)力系統(tǒng)建模作用：（1）教學(xué)：數(shù)學(xué)建模；（2）科學(xué)研究：與國(guó)民經(jīng)濟(jì)及科學(xué)前沿關(guān)系密切。從蝴蝶泉到蝴蝶效應(yīng)1.1 蝴蝶的生態(tài)問(wèn)題 云南大理蝴蝶泉，是影片五朵金花里阿鵬和金花對(duì)歌的地方，也有名的游覽勝地。泉內(nèi)蝴蝶種類繁多，每年農(nóng)歷4月15日白族的“蝴蝶會(huì)”前后，蝴蝶大的大如巴掌，小的

2、小如蜜蜂，成串懸掛于泉邊的合歡樹(shù)上，盛況空前。明代徐霞客在其“游記”中稱：“真蝶萬(wàn)千，連須鉤足，自樹(shù)巔倒懸而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉時(shí)也曾留下“首尾聯(lián)接數(shù)公尺，自樹(shù)下垂疑花序”的詩(shī)句。 令人惋惜的是，近十?dāng)?shù)年，人們已經(jīng)很難看到美麗的蝴蝶盛會(huì)，有時(shí)，雖有蝴蝶聚集，但數(shù)量已少。據(jù)當(dāng)?shù)馗咐蟼餮裕汉叄幸慌钪θ~茂密、開(kāi)白花、發(fā)清香的茨蓬，花枝纏在橫斜泉面的樹(shù)干上，蝴蝶沿著這些下垂的花枝連成串。如今，茨蓬已除，泉面樹(shù)干葉枯，加上周圍自然環(huán)境受到破壞，田野大量使用農(nóng)藥，誤傷不少蝴蝶，那連須鉤足懸于泉面的奇觀，久已不見(jiàn)。1.2 數(shù)學(xué)模型: Logistic映射).1 ( Logest

3、ic).(1)()()() 1( Verhust . .)( 1 (0).)( ).() 1( Malthus , 1).()() 1( )()() 1()()( 12nnnnxxxnPabnaPnPbnaPnPnnPaPanPnaPnPkankPnPnPnPnPnPnnP模型經(jīng)尺度變換，得的修正于是有實(shí)際這顯然不合無(wú)限增大隨時(shí)，當(dāng)易見(jiàn)模型則得命成正比，即與若增量開(kāi)始時(shí)的總數(shù)。比如一個(gè)月時(shí)間段表示蝴蝶在第設(shè)f(x)= ax(1- x)， x 在0,1內(nèi)變化xn+1= f(xn) 從0,1內(nèi)點(diǎn)x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn稱為x0

4、的軌道。由軌道迭代的極限集可組成分岔圖種群數(shù)的模型簡(jiǎn)化：相應(yīng)的迭代為了一個(gè)序列，即Logistic映射Logistic映射分岔圖關(guān)于吸引子 吸引子是動(dòng)力系統(tǒng)相空間中的一類特殊集合，它能把周圍的軌道都“吸引”（收斂）過(guò)來(lái)。 吸引子分類： （1）平衡點(diǎn) （2）周期軌 （3）擬周期軌 （4）混沌吸引子 當(dāng)0a 1時(shí)，由于 當(dāng)1a3時(shí)，任何(0,1)中初始值的軌道趨于 兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1*, x2* ,一個(gè)穩(wěn)定(吸引),另一個(gè)xn 0 物種逐漸滅亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f 的不動(dòng)點(diǎn)（周期1點(diǎn))例：a =1.5時(shí) xn 1/3.不穩(wěn)定，軌道xn趨向穩(wěn)定點(diǎn)。數(shù)值迭代：倍周期分岔

5、,01nnaxx 當(dāng)1+61/2a3.5440903506時(shí), 從任意的點(diǎn)x0出 也稱為周期2點(diǎn),對(duì)應(yīng)軌道稱周期2軌道.(原來(lái)周期點(diǎn)失穩(wěn))發(fā)的軌道將逐漸沿著四個(gè)數(shù)值振動(dòng)，它們滿足),(),( ,6132*4*3xfxxfxxxxan它們滿足振動(dòng)，繞著兩個(gè)數(shù)時(shí)，當(dāng)稱為周期4點(diǎn)，對(duì)應(yīng)軌道稱周期4軌道(原有周期點(diǎn) 若a再增大，周期4點(diǎn)又會(huì)失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的穩(wěn)定又失穩(wěn))周期8點(diǎn)，這個(gè)周期不斷加倍的過(guò)程將重復(fù)無(wú)限次，會(huì)依次出現(xiàn)周期16點(diǎn)，周期32點(diǎn)，. ，這種過(guò)程稱為倍周期分岔.相應(yīng)的分岔值c1=3, c2=1+61/2構(gòu)成一個(gè)單調(diào)增加的數(shù)列ck.其極限值為c*=3.569945557391。),(),(

6、),(),(324xfxxfxxfxxfx 當(dāng)c*a4時(shí)，Logistic映射進(jìn)入混沌區(qū)域.反映出 遍歷性：點(diǎn) x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的的是：軌道, 它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何一個(gè)子區(qū)間(a,b)內(nèi)都會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次. 敏感性：軌道表現(xiàn)出對(duì)初始條件的強(qiáng)烈敏感軌道也終將以某種方式分離.混沌的特點(diǎn) Feigenbau常數(shù)(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趨于無(wú)窮時(shí)，趨于常數(shù) q =4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口，還有 存在周期窗口：混沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍周期分岔，例如a3.835附近其他映射 任取

7、(0,1)中的點(diǎn)x0,可以通過(guò)作圖來(lái)取得迭代 在以xn為橫坐標(biāo)、xn+1為縱坐標(biāo)的第一象限作拋物線?。簒n+1a xn(1- xn)的數(shù)值序列xn,從而也通過(guò)圖象直觀地看出由x0出發(fā)的軌道的變化. 這作圖的過(guò)程頗象蜘蛛織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代. 圖像方法：蛛網(wǎng)迭代11xnxn1x0 x1x1x2 1a3 從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動(dòng)點(diǎn) (周期1點(diǎn)) 3a61/2+1 從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點(diǎn)61/2+1a 3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點(diǎn) a=3.58軌道進(jìn)入渾沌狀態(tài) a= 4 軌道的渾沌性表現(xiàn)充分 蛛網(wǎng)迭代的優(yōu)點(diǎn)是軌道非常直觀形象.缺點(diǎn)是當(dāng)周期數(shù)較大時(shí)不易

8、看清軌道變化細(xì)節(jié) 密度分布圖：密度分布圖： 從密度：從一個(gè)初始點(diǎn) x0出發(fā)，由迭代所 產(chǎn)生的序列xn (n一般很大)在區(qū)間 0,1上的概率分布密度. 將具體算法：將0,1區(qū)間分成m個(gè)長(zhǎng)度為h=1/m的小區(qū)間，序列xnnN=0 落在各個(gè)小區(qū)間ih,(i+1)h的個(gè)數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為pi=ki/N i=0,1,2,m 密度圖：橫軸為區(qū)間 0,1, 縱軸為概率 p.每個(gè)小區(qū)間上的細(xì)柱線的高度等于該區(qū)間上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1)(這是周期2情況) a=3.45(這是周期4情況) a=3.55(周期8的情況) 以上密度圖顯示在 0ac

9、*的情況下,xn只有極少數(shù)落在周期點(diǎn)以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點(diǎn)所在的小區(qū)間。 a=3.6(進(jìn)入混沌區(qū)) (最混沌狀態(tài)) a= 4LogisticLogistic模型的混沌自相似（分形）模型的混沌自相似（分形）圖一圖一 圖二圖二 圖三：圖二局部放大圖圖三：圖二局部放大圖圖四：圖三局部放大圖圖四：圖三局部放大圖 1961年冬天年冬天E. Lorenz 進(jìn)行關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的計(jì)進(jìn)行關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的計(jì)算。他考慮下面加熱的流體由熱傳導(dǎo)進(jìn)入對(duì)流，算。他考慮下面加熱的流體由熱傳導(dǎo)進(jìn)入對(duì)流，然后產(chǎn)生湍流的過(guò)程，然后產(chǎn)生湍流的過(guò)程， 對(duì)對(duì)Rayleigh-Bernard方方程進(jìn)行約化，得到下面的程

10、進(jìn)行約化，得到下面的Lorenz方程。方程。D. Gulick, Encounters with Chaos, Mc-Graw Hill, Inc., New York, 1992.()xyxyxyxzzzxy 和和 為正數(shù)為正數(shù). , , 和和 與流體的物理性質(zhì)相關(guān)與流體的物理性質(zhì)相關(guān). Lorenz 取取 , , 和和 ., xyz102883Lorenz 吸引子吸引子對(duì)初值條件的敏感依賴性對(duì)初值條件的敏感依賴性 10,000 個(gè)幾乎相同的個(gè)幾乎相同的初值條件初值條件 從這從這10,000 個(gè)初值出個(gè)初值出發(fā)的每條軌道經(jīng)過(guò)同樣發(fā)的每條軌道經(jīng)過(guò)同樣時(shí)間后其終點(diǎn)很不一致時(shí)間后其終點(diǎn)很不一致.

11、這些點(diǎn)都在同一個(gè)吸引這些點(diǎn)都在同一個(gè)吸引子范圍內(nèi)子范圍內(nèi).S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994.所謂“蝴蝶效應(yīng)”是指： 初始值很小的改變會(huì)引起絕然不同的結(jié)果.巴西的一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀會(huì)引起明年在得克薩斯的大風(fēng)暴嗎？E. Lorenz 數(shù)學(xué)的偉大使命在于從混沌中發(fā)現(xiàn)秩序。 倍爾在那個(gè)混沌的體制中，結(jié)構(gòu)上的微小差異幾乎都

12、會(huì)造成行為方式上的巨大變化，可控制的行為似乎已被排除。 斯圖爾特.考夫曼關(guān)于混沌 一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的，如果它滿足： (1) 有一個(gè)由周期軌道組成的稠密集合； (2) 軌道敏感地依賴于其初值條件； (3) 為拓?fù)鋫鬟f的. 混沌的度量性質(zhì)： (1)正Lyapunov指數(shù) (2)拓?fù)潇嘏c測(cè)度熵 (3)分形結(jié)構(gòu)混沌出現(xiàn)在各個(gè)領(lǐng)域的一種現(xiàn)象:數(shù)學(xué)、物理、 由此引起的復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象 “侏羅紀(jì)公園”中的恐龍重現(xiàn)生物、金融、經(jīng)濟(jì)、管理等等： 宇宙的起源 龍卷風(fēng)的產(chǎn)生、厄爾尼諾現(xiàn)象 東南亞金融危機(jī)爆發(fā) 可以從某些簡(jiǎn)單的離散的數(shù)學(xué)模型開(kāi)始, 討論2. 機(jī)械和電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 動(dòng)力學(xué)模型 Newton力

13、學(xué)體系是第一個(gè)，也是最基本的動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。建模過(guò)程： （1）數(shù)據(jù)積累：第谷(Tycho Brahe, 1546-1601) （2）經(jīng)驗(yàn)公式：開(kāi)普勒(J. Kepler, 1571-1630)的行星“三大定律”。 （3）數(shù)學(xué)模型：牛頓(I. Newton, 1642-1727)的“萬(wàn)有引力”。 （4）驗(yàn)證：如哈雷彗星和海王星的發(fā)現(xiàn)。非線性振動(dòng)均為向量形式。和多自由度系統(tǒng)：上述單自由度系統(tǒng)： ).,(fxtxxfx Duffing 方程tfxxxxcos23 得，現(xiàn)取 ,31. 01.20.5 ftxxxx2 . 1cos31. 03 . 03 Duffing 方程方程位移位移x位移位移x時(shí)間

14、時(shí)間Tdx/dt0001. 0) 0(,0001. 2) 0(.0000. 0) 0(,0000. 2) 0( xxxx藍(lán)線紅線位移位移x時(shí)間時(shí)間Tdx/dt位移位移x000001. 0) 0(,000001. 2) 0(.000000. 0) 0(,000000. 2) 0( xxxx藍(lán)線紅線 耗散系統(tǒng)相體積的演化 解釋初值敏感和奇怪吸引子要用到相體積的伸展與折疊，定量描述這一特征的量是李雅普諾夫指數(shù)，這要證明三維（以上）相體積 而 中要有正有負(fù)。講混沌時(shí)專門解釋或用初等的例子說(shuō)明不嚴(yán)格，并且要花費(fèi)一定學(xué)時(shí)。但只要在前面講正則方程和劉維定理時(shí)稍做改動(dòng)就可以自然引出耗散系統(tǒng)相體積演化公式，概念

15、的引入嚴(yán)格、定量，學(xué)時(shí)反而減少。 通常講劉維定理，對(duì)相空間保守體系ttteeeVxxxV3210321321,00dtVddtd或其證明用到過(guò)去教材都是代入保守體系的正則方程。實(shí)際上，對(duì)一力學(xué)體系，如果除保守力外還含非保守力，則正則方程應(yīng)寫為其中 代表非保守力，代入前式后得出，積分馬上得到)(1ppqqdtddtVdfQqHppHqVpQdtVdf1dtpQfeVV10Q容易證明，對(duì)保守力 對(duì)非保守力（如 ）對(duì)高維耗散系統(tǒng)，自然導(dǎo)出指數(shù)形式 形式其中 （i=1f）可正可負(fù)總和為正。01fpQkxxxF)(teVV20teVV0f321i極限環(huán)與分岔考慮一個(gè)數(shù)學(xué)例子： 2222122221221

16、222221122211211)()(2)()(2xxxxxxcxxxxxxxxxxcxx用二維極坐標(biāo)表示，作代換.sin,cos21rxrx2242rrcrr得到 當(dāng) 時(shí)有 0r 0)2(42rrcr方程有三個(gè)根： ， 00rcr1121cr1122-1.5-1-0.500.51-1-0.500.511.5, 1c00r，點(diǎn)是穩(wěn)定定態(tài)（焦點(diǎn)） 01c（硬激勵(lì)）00 rr穩(wěn)定定態(tài)（焦點(diǎn)）； 2rr 1rr 不穩(wěn)定的極限環(huán)； 穩(wěn)定的極限環(huán)。1rr 黑洞 0c（軟激勵(lì)） 1rr 0r 1rr 0r 1rr 是穩(wěn)定的極限環(huán) 00 rr不穩(wěn)定的焦點(diǎn)極限環(huán)極限環(huán)分岔分岔叉式分岔叉式分岔：定性舉例，旋轉(zhuǎn)單

17、擺 Hopf Hopf 分岔分岔：點(diǎn)到極限環(huán)的突變 1c穩(wěn)定定態(tài)； 穩(wěn)定極限環(huán)； 0c01c終態(tài)穩(wěn)定點(diǎn)與初始條件有關(guān)（亞臨界Hopf 分岔）。 倍周期分岔倍周期分岔: : 周期成倍突變 阻尼單擺的強(qiáng)迫振動(dòng)方程引入無(wú)因次量后化為 :tfcossin2 00sin , 0時(shí)， 0穩(wěn)定的定態(tài)， ，不穩(wěn)定點(diǎn)， 0 擺長(zhǎng)為擺長(zhǎng)為l ，小球質(zhì)量為，小球質(zhì)量為m的單擺，相對(duì)與平衡的下垂位置的角位的單擺，相對(duì)與平衡的下垂位置的角位移為移為，重力加速度為，重力加速度為g ，則其運(yùn)動(dòng)方程為：，則其運(yùn)動(dòng)方程為： (1)或或 (2) 等式右邊是周期性的驅(qū)動(dòng)力，其角頻率為。把方程式無(wú)量綱化，等式右邊是周期性的驅(qū)動(dòng)力，其

18、角頻率為。把方程式無(wú)量綱化，用去除每一項(xiàng)，將無(wú)量綱的時(shí)間叫做用去除每一項(xiàng)，將無(wú)量綱的時(shí)間叫做t ，即得，即得 (3)式中式中都是無(wú)量綱化的。都是無(wú)量綱化的。 阻尼單擺的強(qiáng)迫振蕩阻尼單擺的強(qiáng)迫振蕩tmlFmDcossin20 tfcossin2 tFmglmlDcossin)(sintmglI )(2mod)sin(1nKnnCK旋轉(zhuǎn)數(shù)mnnmmK01lim21),(其中)(KCHenon-Heiles 星體勢(shì)模型星體勢(shì)模型322231)(21yyxyxV32222231)(21)(21yyxyxyxH等勢(shì)圖等勢(shì)圖粒子真實(shí)軌跡粒子真實(shí)軌跡粒子的龐加萊截面粒子的龐加萊截面)(cos22nTtIJH

19、).(sinnTtJIJ激勵(lì)轉(zhuǎn)子激勵(lì)轉(zhuǎn)子2.3 關(guān)于電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 電力工業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的支柱產(chǎn)業(yè)，并且直接影響到 人民的生活。 我國(guó)電力工業(yè)發(fā)展迅速：19491990 2001裝機(jī)容量（億千瓦）0.0181.353.36年發(fā)電量（萬(wàn)億千瓦時(shí)） 0.00430.6181.45世界排名2542重大停電事故時(shí)間地點(diǎn)造成損失1978年12月法國(guó)電網(wǎng)電壓崩潰停電4-7小時(shí)，直接損失2億美元1982年12月加拿大魁北克停電8.5小時(shí)1987年7月日本東京停電3小時(shí)1996年7月美國(guó)西部200萬(wàn)用戶停電3小時(shí)1996年8月美國(guó)西部750萬(wàn)用戶停電3-6小時(shí)北美東部大停電 2003年8月14日下午3時(shí)許，

20、俄亥俄州北部34.5萬(wàn)伏超高壓突然發(fā)生故障。一小時(shí)內(nèi)波及包括紐約和多倫多在內(nèi)的美加?xùn)|中部大停電，5000萬(wàn)人陷入黑暗之中。至16日10時(shí)基本恢復(fù)正常。 估計(jì)經(jīng)濟(jì)損失每天達(dá)300億美元。 這兩張衛(wèi)星照片分別顯示了美國(guó)和加拿大部分地區(qū)當(dāng)?shù)貢r(shí)間8月13日晚9時(shí)21分（左），及14日9時(shí)03分的夜間光亮強(qiáng)度，從中可以看出停電前后這一地區(qū)的夜間照明情況的差異。美國(guó)東部時(shí)間日下午，美國(guó)東北部和加拿大部分地區(qū)發(fā)生大面積停電，波及美加兩國(guó)的許多城市，給當(dāng)?shù)亟煌?、通信和居民的生活造成?yán)重影響。紐約市目前已有的地區(qū)恢復(fù)了電力供應(yīng)。電力系統(tǒng)的建模負(fù)荷發(fā)電機(jī)組電力網(wǎng)法拉第電磁感應(yīng)定律克希荷夫電流定律（節(jié)點(diǎn)）和電壓定律

21、（回路）電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型含n+m+1條母線且第m+1條母線為無(wú)窮大的電力系統(tǒng)方程為：微分代數(shù)方程DAE(Differential-Algebraic Equation),(0),(pyxgpyxfx nqmnRRf:mqmnRRg:mRy在電力系統(tǒng)中 為動(dòng)態(tài)狀態(tài)變量，一般是發(fā)電機(jī)電壓和轉(zhuǎn)角； 為瞬時(shí)變量，一般是母線電壓及其他潮流變量；參數(shù) 通常是系統(tǒng)參數(shù)，元件參數(shù)及負(fù)荷和電壓設(shè)定值等操作參數(shù)。nRxqRp關(guān)于DAE的穩(wěn)定性與分岔考慮DAE),(0),(pyxgpyxfx .,),()1(,),(.)1()(.)(,()(),(0),(det|),(0),(|),(:),0000000稱為奇異

22、面或不存在附近可能解不唯一在則但若可得系統(tǒng)的唯一解代入將使附近存在唯一在時(shí)，由隱函數(shù)定理則當(dāng)記光滑。其中（pppppypppmnqmnSyxSyxxyyxyxxyyxxSyxpyxgyxSpyxgyxRRgf單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)SMIB分岔圖參數(shù)空間奇異誘導(dǎo)分岔SIB(singularity induced bifurcation)000.00,2SIByxyxx處出現(xiàn)在障礙點(diǎn)(impasse point)障礙點(diǎn)，可得后改為類似，將障礙點(diǎn)稱為前，時(shí)不能再往前，則當(dāng)?shù)慕饪紤]例)(11)(0011, 1)(, 1)(1)0(, 1)0(0, 12backwardxxforwardttttyttxyxyx

23、x(0,0)xy電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后恢復(fù)到原始穩(wěn)態(tài)，或達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的能力。它主要研究電壓穩(wěn)定性，前面所提到的一些重大事故也都是由電壓崩潰引起的?？梢园央娏ο到y(tǒng)的穩(wěn)定性分成靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩大類。它們所研究的對(duì)象和方法各有不同，如下表。電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題靜態(tài)穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性分析歸于求解一組非線性代數(shù)方程的潮流分析法。在這里重要的是計(jì)算其穩(wěn)定區(qū)域，即可行域（或靜態(tài)安全域）。如Venkatasubramanian等所指出的，可行域的邊界通常是由上述鞍結(jié)分岔(SNB)，Hopf分岔(HB)和奇異誘導(dǎo)分岔(SIB)組成。動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性 對(duì)電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性研究可按

24、動(dòng)態(tài)過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間長(zhǎng)短而引起電壓失穩(wěn)分成三類： （）零秒（約）10秒，為暫態(tài)電壓穩(wěn)定。 （）分鐘（多為分鐘），為中期電壓穩(wěn)定。 （）幾分鐘幾十分鐘，為長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定。 其中（）常可歸結(jié)靜態(tài)穩(wěn)定性來(lái)研究，而（）是當(dāng)前電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的基本課題?；旌舷到y(tǒng)與暫態(tài)穩(wěn)定性混合系統(tǒng)(Hybrid system)為研究電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，可將DAE分時(shí)間段定義，即看成一個(gè)混合系統(tǒng)，其一般形式如下。電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析方法(1) Lyapunov函數(shù)法(2) TEF（暫態(tài)能量函數(shù)法）（Hsiao-Dong Chiang） 關(guān)于BCU法（boundary of stability region based

25、 controlling unstable equilibrium point）(3) EAC（等面積準(zhǔn)則）和EEAC（擴(kuò)展的EAC） （薛禹勝） 關(guān)于同步穩(wěn)定性與CCEBC（“互補(bǔ)簇簇標(biāo)能量壁壘準(zhǔn)則”） ISD（孤立穩(wěn)定域）與NARI（由ISD導(dǎo)誘導(dǎo)的鄰域吸引子） 為論證EEAC法的合理性，可以把電力系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程近似地看作一個(gè)分時(shí)間段的簡(jiǎn)單Hamilton系統(tǒng)， 其中勢(shì)能函數(shù) V為 nRVM , .),(,0),(, 0),()(postinpretVtVtVV1111*)cos()(niiinjijiijPBV2.4 關(guān)于大型發(fā)電機(jī)組軸承的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究 事故：如大同、秦嶺等地20萬(wàn)千瓦

26、發(fā)電機(jī)組的七次（含一次在國(guó)外）重大事故。 軸系特點(diǎn)： （1）多自由度； （2）高速、強(qiáng)震動(dòng)； （3）非線性，如分岔與混沌。 數(shù)學(xué)模型研究。3.生命科學(xué)中的數(shù)學(xué)建模 3.1 生態(tài)模型 設(shè)有n個(gè)種群（密度為） 相互作用，則一般形式為（Kolmogorov） （1） 其中，記 ，則對(duì) 表示 即 （如食餌）對(duì) 起促進(jìn)作用，而 表示 （如捕食者）對(duì) 起阻礙作用。, 1,nixinixgxxfxiiii, 2 , 1),()(jiijxgg/0,ijgjiijxxjxixjxix0ijg 通常 。顯然， 都是不變的超平面。記 我們感興趣的是正平衡解 的穩(wěn)定性（吸引性）。0iig, 2 , 1, 0nixi

27、, 2 , 1, 0;nixRxRinnnRx*捕食者食餌模型 11221122121111111222222212(1),(),(),c xyc xmyxxrxKa xymya xymye c xyyda xymye c mxyyda xymy 考慮兩個(gè)捕食者和一個(gè)食餌的三維情形，這里兩個(gè)捕食者是對(duì)稱的，它們之間形成競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)系，且三物種嚴(yán)格依賴于比率： 分析表明，該模型通常沒(méi)有孤立的嚴(yán)格正平衡解，即至少有一個(gè)物種會(huì)滅絕。但在一定的條件下會(huì)出現(xiàn)由平衡解組成的一條平衡曲線。該曲線一邊穩(wěn)定，另一邊不穩(wěn)定，在中間出現(xiàn)一類“無(wú)參數(shù)分岔”現(xiàn)象，使得系統(tǒng)從總體上是穩(wěn)定的。捕食系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性3.2 病毒感

28、染模型 SARS病毒概述及其生命周期 病毒在細(xì)胞內(nèi)各生化反應(yīng)的動(dòng)態(tài)模擬 病毒在細(xì)胞間傳播的動(dòng)態(tài)模擬 進(jìn)一步的工作SARS病毒概述 一種新型冠狀病毒,屬單鏈正義RNA病毒 特點(diǎn) 增長(zhǎng)迅速,易變異 主要結(jié)構(gòu) 基因組RNA 結(jié)構(gòu)蛋白SARS病毒的生命周期病毒在細(xì)胞內(nèi)各生化反應(yīng)的動(dòng)態(tài)模擬符號(hào):均為大于零的常數(shù)。的參數(shù)病毒粒子；模型中涉及未知蛋白；蛋白；蛋白；蛋白；蛋白；聚合酶；負(fù)鏈；正鏈987654321xxSxMxExNxRNAxRNAxRNAx假設(shè)RNA聚合酶的合成先于其他生化反應(yīng),即設(shè)細(xì)胞內(nèi)RNA聚合酶為常數(shù) 病毒生命周期的數(shù)學(xué)模型.)(,8 ,7,6,5,4 ,)(99184991122323

29、121221118432321211xdxxckdtdxixdxxcxkdtdxxdxcxxkxvdtdxxdxxcxcxxkxvdtdxiiiiiiiiiiii系統(tǒng)由平衡點(diǎn)(0,0,0,0,0,0,0,0),且當(dāng)時(shí)該平衡點(diǎn)穩(wěn)定.0212121kkvvdd該系統(tǒng)有零平衡點(diǎn)和一個(gè)正平衡解,)(1,8,7,6,5,4,)(849911122122eiieiieeiieieieeexxcdxixcdxkxxkdxvx8321111221121.0iieiieiieeidxcdxkcxkdkxvvx）（滿足：其中數(shù)值結(jié)果 正鏈RNA N-蛋白病毒在細(xì)胞間傳播的動(dòng)態(tài)模擬 考慮易感染細(xì)胞, 已感染細(xì)胞,自

30、由病毒粒子和免疫細(xì)胞間的關(guān)系 數(shù)學(xué)模型.)() )(;,),(;,1849的病毒粒子數(shù)是每個(gè)被感染細(xì)胞釋放為衰減率為免疫參數(shù)是病毒感染細(xì)胞的參數(shù)細(xì)胞的生產(chǎn)速率為易感染是單調(diào)增加的且關(guān)于描述免疫細(xì)胞的變化胞的數(shù)量細(xì)自由的病毒粒子和免疫已感染細(xì)胞分別表示易感染細(xì)胞其中txtxckbdpkrVVmfmVISiiiii,),(,4312111mdpVmVmfmVdpVmVSkbIVIdVSkISdVSkrS . 0),(.,0), 0 , 0 ,(. 0,),(.)(,11111112321*221849VImVISrbkrddddRmSakVkVaVmfxxckbeeiii滿足出其他平衡點(diǎn)另外可進(jìn)一

31、步由系統(tǒng)解該平衡點(diǎn)穩(wěn)定時(shí)當(dāng)則系統(tǒng)有平衡點(diǎn)取為常數(shù)即令間的傳播度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于病毒在細(xì)胞設(shè)細(xì)胞內(nèi)病毒的增長(zhǎng)速數(shù)值結(jié)果 易感染細(xì)胞數(shù)量 已感染細(xì)胞數(shù)量 病毒粒子數(shù)量 免疫細(xì)胞數(shù)量S,I,V,m四種粒子與參數(shù) 的依賴關(guān)系 S與 的依賴關(guān)系 1kp和1kp和I與 的依賴關(guān)系 1kp和3.3 關(guān)于生物信息學(xué)和系統(tǒng)生物學(xué) 生物信息 系統(tǒng)生物學(xué) 模型：隨機(jī)微分方程等4.分形模型 分形是簡(jiǎn)單空間(如歐氏空間)中具有某種精細(xì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜集合，其特點(diǎn)為： (1) 具有自相似結(jié)構(gòu)； (2) 不同于傳統(tǒng)的幾何圖形, 不是某些簡(jiǎn)單方程的解集, 但常可通過(guò)對(duì)較簡(jiǎn)單的變換作迭代來(lái)產(chǎn)生. (3) 需用分維數(shù)來(lái)度量, 其維數(shù)通常大于相

32、應(yīng)的拓?fù)渚S； (4) 具有混沌性質(zhì).法國(guó)的Mandelbrot.B 開(kāi)創(chuàng)了分形幾何1967年的論文：“英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度不確定” （fractal geometry）的研究（1）具有無(wú)限嵌套層次的精細(xì)結(jié)構(gòu)對(duì)自然幾何形態(tài)的數(shù)學(xué)研究海岸線的長(zhǎng)度隨測(cè)量尺度變化（2）在不同尺度下具有某種相似特性科赫雪花科赫雪花 維數(shù)d=log4/log3=1.26186Koch 雪花曲線設(shè)E0為單位直線段三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到E1對(duì)E1的4條線段的每一條重復(fù)以上做法，得到E2以此方法重復(fù)，可得En當(dāng)n趨于無(wú)窮，得到的極限曲線就是Koch 曲線用Mathematica 畫(huà)koch曲線re

33、dokochptlist_List := Blocktmp = , i, pnum = Lengthptlist, Fori = 1, i Sqrt3/6自相似性精細(xì)結(jié)構(gòu)：復(fù)雜性不隨尺度減小而消失處處不光滑，每一點(diǎn)是尖點(diǎn)長(zhǎng)度：En的長(zhǎng)度(4/3)n趨于無(wú)窮本身定義方式簡(jiǎn)單Koch 曲線的特點(diǎn)Koch曲線在有限區(qū)域卻長(zhǎng)度無(wú)限，它具有分維數(shù)。單參數(shù)的函數(shù)曲線是一維的嗎？設(shè)是平面上邊長(zhǎng)為1/2的正三角形，構(gòu)造 fnf1f2f3以此方式得到 fn ，在0,1一致收斂到極限函數(shù) f的象將為整個(gè)三角形分維數(shù)將單位邊長(zhǎng)的線段，正方形，立方體分成邊長(zhǎng)為1/2的同樣幾何物體，得到21，22，23個(gè)小線段，正方形，立方體注意指數(shù)給出了幾何物體的維數(shù)若將幾何物體的長(zhǎng)度（線度）縮小為1/r，定義分形維數(shù)得到N個(gè)相似小幾何物體，那么維數(shù)d滿足N=rdd=logN/log rKoch曲線的維數(shù)？約1.2618Cantor集從單位區(qū)間0,1出發(fā)，三分去中段，得E1，E1兩個(gè)區(qū)間三分去中得E2 ，極限集合為Cantor集 這是一個(gè)完備的、完全不連通、具有自相似的精細(xì)結(jié)構(gòu)的集合，其長(zhǎng)度為0?？低袪柸旨暇S數(shù)d=l