利用不動點解決高考數(shù)學(xué)

1、利用“不動點”法巧解高考題由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵.與遞推關(guān)系對應(yīng)的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。筆者在長期的教學(xué)實踐中，不斷總結(jié)探究反思，對那些難求通項的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動點知識探究的規(guī)律性總結(jié)，以期對同學(xué)們解題有所幫助.1不動點的定義一般的，設(shè)f(x)的定義域為D,若存在x0WD,使f(X0)=X0成立，則稱網(wǎng)為f(x)|的不動點，或稱(X0,X0)為了(x)|圖像的不動

2、點。2求線性遞推數(shù)列的通項定理1設(shè)f(x)=ax+b(a0,1),且因為叵的不動點，但加滿足遞推關(guān)系an=f(an)，n=2,3,|,證明an-x。是公比為a的等比數(shù)列。證：:同是回刈的不動點，所以|ax0+b=x0.所以|b-x0=axol，所以anx0=(aan+b)x0=aan,ax=a(anx0),數(shù)歹!J-x0是公比為a的等比數(shù)列。例1(2010上海文數(shù)21題)已知數(shù)列匕的前n項和為Sn,且Sn=n-5anS,_*nN(1)證明：Qn-1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列&的通項公式，并求出使得&書成立的最小正整數(shù)n.證：(1)當n=1時，a1=14當n之2時，an=ShSn=_5an+5an

3、-1+1,即r151516an=53n+n2)lJan=an4+一(n2),記f(x)=x+,令f(x)=x,求6666出不動點x0=1,由定理1知：an1=5(an_11)(n22),又a1=15為，所以6數(shù)列an-1是等比數(shù)列。(2)解略。3求非線性遞推數(shù)列的通項定理2設(shè)f(x)=ax也(c=0,ad-bc=0),且|夕、可是|f(x)|的不動點,數(shù)cx+d列西下防足遞隹關(guān)系同=f(anj,n=2,3,|,(i)若玉#x2,貝U數(shù)歹包二上an-x2是公比為二的等比數(shù)列；(ii)X=*2=刈，則數(shù)歹1是公差為二a-X2C|an-X0ad的等差數(shù)列。證：(i)由題設(shè)知ax_=x1u-xcand

4、a-cx0a-cx0an-x0a-cx0a-da-c2c+匹，所以數(shù)列是公差為三的等差數(shù)a-c%an-xan-ad|an-xad列。例2(2006年全國II卷22題)設(shè)數(shù)列小的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(nwN*)。求數(shù)列an的通項公式。解：依題a1=,且(Sn-1)2-an-(Sn-1)-an=0,將an=Sn-Sni代入上式,=x1udx1b=(a-cx1)x1;cx1da-cx1同理dx2-b=(a-cx2)x2.aanban1-xian1一x2xicandaanbcand-x2(a-cx1)anb-dx1(a-cx2)anb-dx2a-cx1anx1，

5、a一cx2an一x2所以數(shù)歹I一x1an-x2)|是公比為的等比數(shù)列a-cx(ii)由題設(shè)知axbcxd=x的解為x1=x2x0，an1-x0aanb一xcand(afcx)anb-dx0candcandb-dx0(acx)(an)(a-刈)(an-0)a-cx0can-cx0dcx0(a-c%)(an-x)an%得Sn2-S0,貝Un0,an-X2an-X2.In如土二=2ln曳二芻，故in曳二上是公比為2的等比數(shù)列。an書X2anX2、an-X2,X2_3，八例4(2010東城區(qū)二模試題)已知數(shù)列Xn滿足X=4,4卡=3.求證:2Xn-4Xn3；求證：Xn書0),且*0是f(x)的最小不動點，數(shù)列an滿足遞推關(guān)系an=f(an)，n=2,3,H|,則有anx02a(an-X0).b3b27a23a(a=0),且X。是f(X的不動點，數(shù)列定理