利用幾何直觀理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理

1、利用幾何直觀理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理一、高等代數(shù)與解析幾何的關(guān)系代數(shù)為幾何的發(fā)展提供了研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景。解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)、定義來(lái)刻畫(huà)、描述和表達(dá)的。例如，解析幾何中的向量的共線(xiàn)、共面的充分必要條件就是用線(xiàn)性運(yùn)算的線(xiàn)性相關(guān)來(lái)刻畫(huà)的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來(lái)表述，冉如，解析幾何中的向量的外積（向量積）、混合積也是行列式工具來(lái)表示的典型事例。高等代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫(huà)亦用到解析幾何的概念或定義。例如線(xiàn)性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實(shí)例模型。如果代數(shù)與幾何各自分開(kāi)發(fā)展，那它的進(jìn)步十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限，但

2、若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則就會(huì)相互加強(qiáng)，并以快速的步伐向著完善化的方向猛進(jìn)。”拉格朗日二、目前將高等代數(shù)與解析幾何合并開(kāi)課的大學(xué)中國(guó)科大：陳發(fā)來(lái)，陳效群，李思敏，線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何，高等教育出版社，北京：2011.南開(kāi)大學(xué)：孟道驥，高等代數(shù)與解析幾何（上下冊(cè)）（第二版），科學(xué)出版社，北京：2007.華東師大：陳志杰，高等代數(shù)與解析幾何（上下冊(cè)）（第2版），高等教育出版社，北京：2008.華中師大：樊悻，鄭延履，線(xiàn)性代數(shù)與幾何引論，科學(xué)出版社，北京：2004.同濟(jì)大學(xué)：高等代數(shù)與解析幾何同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系高等教育出版社（2005-05出版）蘭州大學(xué)，廣西大學(xué)，西南科技大學(xué)，成都理工大學(xué)三、高等

3、代數(shù)的特點(diǎn)1、邏輯推理的嚴(yán)密性；2、研究方法的公理性；3、代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性。四、高等代數(shù)一些概念的引入對(duì)于剛上大學(xué)的一年級(jí)新生，大多數(shù)難以適應(yīng)高等代數(shù)的抽象概念的引入、推導(dǎo)和應(yīng)用。通過(guò)一些實(shí)例，特別是幾何實(shí)例，引入高等代數(shù)的相關(guān)概念，一方面可以讓學(xué)生了解抽象概念的來(lái)龍去脈，另一方面可以讓學(xué)生找到理解抽象概念的思維立足點(diǎn)。廳p實(shí)例高等代數(shù)的相關(guān)概念及理論1中學(xué)代數(shù)的多項(xiàng)式四則運(yùn)算多項(xiàng)式及其加、乘運(yùn)算的嚴(yán)格定義，并在此基礎(chǔ)上，介紹多項(xiàng)式的整除理論和最大公因式理論.2中學(xué)代數(shù)的多項(xiàng)式因式分解方法用/、可約多項(xiàng)式的嚴(yán)格定義解釋”/、可再分解”的含義，給出了不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)、唯一分解定埋及不可約多項(xiàng)式

4、在三種常見(jiàn)數(shù)域上的判定.3中學(xué)代數(shù)的次方程、一元二次方程的解法以及F二次方程根與系數(shù)的關(guān)系給出了Fn次方程根的定義、復(fù)數(shù)域上Fn次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的個(gè)數(shù)、實(shí)系數(shù)Fn次方程根的特點(diǎn)、有理系數(shù)Fn次方程有理根的性質(zhì)以及求法.4中學(xué)代數(shù)的二L次方程組、三L次方程組的消元解法引入行列式的定義，進(jìn)一步介紹了線(xiàn)性方程組的行列式解法和矩陣消無(wú)解法，給出了線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu).5中學(xué)幾何中的r2,r3及其向量對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足8條運(yùn)算規(guī)律，r2,r3中過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)、平向推廣為n維向量空間Pn,通過(guò)8條運(yùn)算規(guī)律抽象出一般線(xiàn)性空間的概念，引入線(xiàn)性空間的子空間6中學(xué)幾何中的r2,r3的直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)

5、線(xiàn)性空間的基、歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)止交基，向量的坐標(biāo)7中學(xué)幾何中的r2,r3的向量的內(nèi)積、模和夾角，三角形不等式歐氏空間的定義，歐氏空間向量的模和火角，兩點(diǎn)間距離的性質(zhì)8R3中向量在小圓上的投影歐氏空間向量在子空間的投影9R2,R3中啟心二次曲線(xiàn)和二次曲面的分類(lèi)二次型通過(guò)正交替換化為標(biāo)準(zhǔn)形10r2,r3中向量在一個(gè)給定向量或平向上的投影，坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換，歐氏空間中的正交交換五、高等代數(shù)的一些概念的幾何解析高等代數(shù)中相關(guān)概念和定理的幾何解析，可以使學(xué)生更容易把握這些概念和定理的幾何本質(zhì)，更容易直觀地理解這些抽象的概念和定理，從而可以提高學(xué)生運(yùn)用這些抽象的概念和定理去解題的能力。1 .

6、線(xiàn)性代數(shù)中“線(xiàn)性”的幾何意義線(xiàn)性代數(shù)是高等代數(shù)的一個(gè)分支，有線(xiàn)性空間、線(xiàn)性映射、線(xiàn)性變換、線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性相關(guān)性等概念。哪究竟這里的“線(xiàn)性”的直觀理解是什么？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是因變量與自變量之間的關(guān)系可以描述為一條直線(xiàn)，例如線(xiàn)性函數(shù)y=f(x)=ax+b,最簡(jiǎn)單的情形就是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=f(x)=ax。而對(duì)于過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=f(x)=ax,其滿(mǎn)足可加性和比例性，即f(x1+x2)=f(x1)十f(x2),f(kx)=kf(x),或者f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)十k2f(x2)。一句話(huà)，線(xiàn)性組合的函數(shù)，等于函數(shù)的線(xiàn)性組合。將這種關(guān)系推廣到高維的情形：Y=AX=：,AX=b.2 .行列式的

7、幾何意義(1)二級(jí)行列式的幾何意義二級(jí)行列式D2="也是xoy平面上以行向量a=(a1,a2)ftb=(h,b2)為鄰邊的4b2平行四邊形的有向面積：若這個(gè)平行四邊形是由向量a沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到b而得到的，面積取正值；若這個(gè)平行四邊形是由向量a沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到b而得到的，面積取負(fù)值。S(a,b)=|a|b|sin(a-P),而sin(a_P)=a1b2-a2bl0|a|b|另外，二級(jí)行列式的另一個(gè)幾何意義就是是兩個(gè)行向量或列向量的叉積ab的數(shù)值。(2)三級(jí)行列式的幾何意義三級(jí)行列式的幾何意義是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積。yyiy20o推論2：過(guò)平面上兩點(diǎn)(x偌y)(x

8、2,y2)的直線(xiàn)方程為x1X23 .矩陣乘積的幾何意義要說(shuō)到矩陣的乘積的幾何意義，我們首先要了解矩陣的發(fā)展歷程：1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(F.Gauss)把一個(gè)線(xiàn)性變換的全部系數(shù)作為一個(gè)整體。1844年，彳惠國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)森斯坦(F.Eissenstein)討論了“變換”(矩陣)及其乘積。1850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先使用矩陣一詞。1858年，麗皮學(xué)家凱萊(A.Cayley,)發(fā)表關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄?bào)告他首先將矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象加以研究，并在這個(gè)主題上首先發(fā)表了一系列文章，因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、單

9、位矩陣、兩矩陣的和、一個(gè)數(shù)與一個(gè)矩陣的數(shù)量積、兩個(gè)矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。矩陣實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)線(xiàn)性變換。矩陣乘積實(shí)質(zhì)就是線(xiàn)性變換的復(fù)合。下面來(lái)看R2中的一個(gè)簡(jiǎn)單例子："1<x2JViV1=a11X1a12X2:丫2)=a21X1+a22X2,即YAXA-)a11a21a12Ia22,Z1«2三二hNb12y2:Z2=b21y1b22y2,即Z=BYB=b11_b21M2b22|fX13z=<X2),Z1<Z2-Lz1=(。代:Z2=(b21a1111h2a21)X1(卜制2h2a22)X2日門(mén),區(qū)|JZCX,b22a21)X1(b21a12b22a22)X2b11a12bl2a22b21a12'b22a22b11a11b12a21C二b21anb22a21bna11bj2a21bna12bi2a22I又有ZBAX于是定義BA二112112221121a11b22a21b21a12b22a22J4 .向量組線(xiàn)性相關(guān)(無(wú)關(guān))與幾何中向量共面、共線(xiàn)之間的關(guān)系若5是三維空間的向量，則：“線(xiàn)性相關(guān)；P線(xiàn)性相關(guān)；a,Pj線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)幾何直觀分別為a為零向量；共線(xiàn)；a,B,¥共面。因此，一維空間的基是空間中任意一個(gè)非零向量；二維空間的基是空間中兩個(gè)不共線(xiàn)向量；三維空問(wèn)的基是空間中3個(gè)不共面的向量組成的。5 .向量組正