福建省各市高中數(shù)學教學案例設計一二等獎作品匯編（下部）

1、用二分法求方程的近似解 一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1必修本（A版）的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解本節(jié)課要求學生根據(jù)具體的函數(shù)圖象能夠借助計算機或信息技術工具計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；它既是本冊書中的重點內(nèi)容，又是對函數(shù)知識的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應用，同時又為高中數(shù)學中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎，因此決定了它的重要地位二、學生學習情況分析學生已經(jīng)學習了函數(shù)，理解函數(shù)零點和方程根的關系, 初步掌握函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想但是對于求函數(shù)零點所在區(qū)

2、間，只是比較熟悉求二次函數(shù)的零點，對于高次方程和超越方程對應函數(shù)零點的尋求會有困難另外算法程序的模式化和求近似解對他們是一個全新的問題三、設計思想倡導積極主動、勇于探索的學習精神和合作探究式的學習方式；注重提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識；與時俱進地認識“雙基”，強調(diào)數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)，注意適度形式化；在教與學的和諧統(tǒng)一中體現(xiàn)數(shù)學的文化價值；注重信息技術與數(shù)學課程的合理整合.四、教學目標 通過具體實例理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，從中體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應用；能借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學生能夠初步了解逼近思想；體會數(shù)

3、學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一；通過具體實例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認知過程五、教學重點和難點1教學重點：用“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識2教學難點：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境，提出問題問題1：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的 線路發(fā)生了故障這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個點要爬一次電線桿子10km長，大約有200多根電線桿

4、子呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？以實際問題為背景，以學生感覺較簡單的問題入手，激活學生的思維，形成學生再創(chuàng)造的欲望注意學生解題過程中出現(xiàn)的問題，及時引導學生思考，從二分查找的角度解決問題學情預設 學生獨立思考，可能出現(xiàn)的以下解決方法：思路1：直接一個個電線桿去尋找思路2：通過先找中點，縮小范圍，再找剩下來一半的中點老師從思路2入手，引導學生解決問題：如圖，維修工人首先從中點C查用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能

5、把故障點鎖定在一兩根電線桿附近師：我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件）在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想） 設計意圖 從實際問題入手，利用計算機演示用二分法思想查找故障發(fā)生點，通過演示讓學生初步體會二分法的算法思想與方法, 說明二分法原理源于現(xiàn)實生活，并在現(xiàn)實生活中廣泛應用（二）師生探究,構建新知 問題2：假設 線故障點大概在函數(shù)的零點位置，請同學們先猜想它的零點大概是什么？我們?nèi)绾握页鲞@個零點？  1利用函數(shù)性質(zhì)或借助計算機、計算器畫出函數(shù)圖象，通過具體的函數(shù)圖象幫助學生理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個端點的函數(shù)值是異

6、號的，那么函數(shù)圖象就一定與軸相交，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個解（即上節(jié)課的函數(shù)零點存在性定理，為下面的學習提供理論基礎）引導學生從“數(shù)”和“形”兩個角度去體會函數(shù)零點的意義，掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍2我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，且0，0.進一步的問題是，如何找出這個零點？合作探究：學生先按四人小組探究.（倡導學生積極交流、勇于探索的學習方式，有助于發(fā)揮學生學習的主動性）生：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.師：如何有效縮小根所在的區(qū)間？生1：通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍生2：是否也可以通過“取三

7、等分點或四等分點”的方法逐步縮小零點所在的范圍？師：很好，一個直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點的近似值.其實“取中點”和“取三等分點或四等分點”都能實現(xiàn)縮小零點所在的范圍.但是在同樣可以實現(xiàn)縮小零點所在范圍的前提下，“取中點”的方法比取“三等分點或四等分點”的方法更簡便.因此，為了方便，下面通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.引導學生分析理解求區(qū)間的中點的方法 合作探究：（學生2人一組互相配合，一人按計算器，一人記錄過程四人小組中的兩組比較縮小零點所在范圍的結(jié)果）步驟一：取區(qū)間(2，3)的中點2.5，用計算器算得.由0，得知，所以零

8、點在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)。  步驟二：取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得.因為，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi). 結(jié)論:由于(2，3) ，所以零點所在的范圍確實越來越小了. 如果重復上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復上述步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任一點作為函數(shù)零點的近似值特別地，可以將區(qū)間端點作為函數(shù)零點的近似值引導學生利用計算器邊操作邊認識，通過小組合作探究，得出教科書上的表32，讓學生有更多的時間來思考與體會二分法實質(zhì)，培養(yǎng)學生合作學習的良好品質(zhì)學情預設學生通過上節(jié)課的學習知道這個函數(shù)的零點就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標

9、，故它的零點在區(qū)間（2，3）內(nèi)進一步利用函數(shù)圖象通過“取中點”逐步縮小零點的范圍，利用計算器通過將自變量改變步長減少很快得出表32，找出零點的大概位置設計意圖從問題1到問題2，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學生更深刻地理解二分法的思想，同時也突出了二分法的特點通過問題2讓學生掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍3.問題3：對于其他函數(shù)，如果存在零點是不是也可以用這種方法去求它的近似解呢？引導學生把上述方法推廣到一般的函數(shù)，經(jīng)歷歸納方法的一般性過程之后得出二分法及用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點

10、所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法注意引導學生分化二分法的定義（一是二分法的適用范圍，即函數(shù)在區(qū)間，上連續(xù)不斷，二是用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟）給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間，驗證·，給定精確度；2、求區(qū)間，的中點；3、計算：（1）若=，則就是函數(shù)的零點；（2）若·<，則令=（此時零點）；（3）若·<，則令=（此時零點）；4、判斷是否達到精確度：即若，則得到零點零點值（或）；否則重復步驟24利用二分法求方程近似解的過程，可以簡約地用下圖表示初始區(qū)間取區(qū)間中點中點函數(shù)

11、值為零取新區(qū)間滿足精確度結(jié)束否是否是學情預設 學生思考問題3舉出二次函數(shù)外，對照步驟觀察函數(shù)的圖象去體會二分法的思想結(jié)合二次函數(shù)圖象和標有、的數(shù)軸理解二分法的算法思想與計算原理設計意圖以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點、解決重點，給學生“數(shù)學創(chuàng)造”的體驗，有利與學生對知識的掌握，并強化對二分法原理的理解學生在討論、合作中解決問題，充分體會成功的愉悅讓學生歸納一般步驟有利于提高學生自主學習的能力，讓學生嘗試由特殊到一般的思維方法利用二分法求方程近似解的過程，用圖表示，既簡約又直觀，同時能讓學生初步體會算法的思想（三）例題剖析，鞏固新知例：借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確度0.

12、1）. 兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結(jié)果；學生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師點評.本例鼓勵學生自行嘗試，讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂.此例讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法.思考：問題（1）：用二分法只能求函數(shù)零點的“近似值”嗎？問題（2）：是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？教師有針對性的提出問題，引導學生回答，學生討論，交流. 反思二分法的特點，進一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點，指出它只是求函數(shù)零點近似值的“一種”方法. 設計意圖及時鞏固二分法的解題步驟,讓學生體會二分法是求方程近似解的有效方法.解題過程中也起到了溫故轉(zhuǎn)

13、化思想的作用（四）嘗試練習，檢驗成果1、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（ ）.(A)(B)(C)(D)。xyo設計意圖讓學生明確二分法的適用范圍.2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在(1,2)內(nèi)零點近似值的過程中得到,則函數(shù)的零點落在區(qū)間（ ）.(A)（1,1.25）  (B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能確定設計意圖讓學生進一步明確縮小零點所在范圍的方法.3借助計算器或計算機，用二分法求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）. 設計意圖 進一步加深和鞏固對用二分法求方程近似解的理解.（五）課堂小結(jié)，回顧反思學生歸納，互相補充，老師總結(jié)：1

14、、理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點近似值，但要保證該函數(shù)在零點所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷；2、用二分法求方程的近似解的步驟.設計意圖幫助學生梳理知識,形成完整的知識結(jié)構.同時讓學生知道理解二分法定義是關鍵，掌握二分法解題的步驟是前提，實際應用是深化.（六）課外作業(yè)1書面作業(yè)第92頁習題3.1A組3、4、5；2知識鏈接第91頁閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”3課外思考:如果現(xiàn)在地處學校附近的地下自來水管某處破裂了,那么怎么找出這個破裂處,要不要把水泥板全部掀起?板書設計§3.1.2用二分法求方程的近似解1二分法的定義2用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟3用二分法求方程的近似

15、解七、教學反思這節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課.整個教學過程,以問題為教學出發(fā)點, 以教師為主導，學生為主體，設計情境激發(fā)學生的學習動機，激勵學生去取得成功，順應合理的邏輯結(jié)構和認知結(jié)構，符合學生的認知規(guī)律和心理特點，重視思維訓練，發(fā)揮學生的主體作用，注意數(shù)學思想方法的溶入滲透，滿足學生渴望的獎勵結(jié)構.整個教學設計中，特別注重以下幾個方面：（1）重視學生的學習體驗,突出他們的主體地位.訓練了他們用從特殊到一般,再由一般到特殊的思維方式解決問題的能力.不斷加強他們的轉(zhuǎn)化類比思想.（2）注重將用二分法求方程的近似解的方法與現(xiàn)實生活中案例聯(lián)系起來，讓學生體會數(shù)學方法來源于現(xiàn)實生活，又可以解決生活中的

16、問題.（3）注重學生參與知識的形成過程，動手、動口、動腦相結(jié)合，使他們“聽”有所思，“學”有所獲，增強學習數(shù)學的信心，體驗學習數(shù)學的樂趣.（4）注重師生之間、同學之間互動，注重他們之間的相互協(xié)作，共同提高.福建師大附中 周裕燕點評：本節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課.如何在數(shù)學課堂教學中體現(xiàn)新課程理念，本課例進行了有益的探索。整個教學設計過程,以問題為出發(fā)點,以教師為主導，學生為主體，設計的問題情境順應合理的邏輯結(jié)構和認知結(jié)構，符合學生的認知規(guī)律和心理特點，有效地激發(fā)了學生的學習動機；重視思維訓練，注意數(shù)學思想方法的溶入滲透。本節(jié)課采用 “問題情境 意義建構 數(shù)學理論 數(shù)學運用 回顧反思” 的教

17、學流程。周老師在課題引入時，以實際問題為背景，以學生感覺較簡單的問題入手，“讓學生找出 線故障點，”有效地激發(fā)學生學習的欲望和探究的興趣。采用探究教學方式，在師生共同探究的過程中，構建新的知識，既讓學生了解數(shù)學概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，同時也培養(yǎng)了學生獨立思考和勇于質(zhì)疑的品質(zhì)。此外，周老師在本課例的設計中，能很好地將現(xiàn)代信息技術與數(shù)學課程進行有機的整合，使“方法建構、技術運用、算法滲透”三者同步發(fā)展?！坝枚址ㄇ蠓匠痰慕平狻笔菍瘮?shù)知識的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應用，同時又為高中數(shù)學中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎。周老師不僅注意到本節(jié)知識在這一章中的重要性，

18、而且還注意將本節(jié)知識與現(xiàn)實生活中的案例聯(lián)系起來，讓學生體會數(shù)學方法來源于現(xiàn)實生活，又可以解決生活中的問題。正弦定理（2） 一、教學內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。根據(jù)實際教學處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外

19、接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實驗猜想證明應用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學情分析對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設計思想

20、：本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學目標：1讓學生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三

21、角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。4培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學重點與難點教學重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應用。教學難點：正弦定理的猜想提出過程

22、。教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。六、教學過程：（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機師生活動：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直

23、角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。解：過作于（圖2）在中，在中，教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導學生再觀察剛才解題過程。學生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。教師：引導，我們習慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？設計意圖：興趣是最好的老師。如果

24、一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生思維，激發(fā)學生的求知欲，引導學生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學實驗，驗證猜想教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：1，對應角的正弦值分別為，引導學生考察，的關系。（學生回答它們相等） （2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：，對應角的正弦值分別為，1；（學生回答它

25、們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：2，對應角的正弦值分別為，1。（學生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？BaACcb(圖4)學生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告單。）學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著

26、三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設計意圖：讓學生體驗數(shù)學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學生回答情況進行敘述）學生：思考得出在中，成立，如前面檢驗。在銳角三角形中，如圖5設，作：，垂足為在中，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，作交的延長線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我

27、們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學生：在前面的檢驗中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長

28、交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：在銳角三角形中，作單位向量垂直于，（圖9）即同理：對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探索。設計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引

29、導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。（六）運用定理，解決例題師生活動：教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學生：討論正弦定理可以解決

30、的問題類型：如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）用實物投影儀展示學生中解題步驟規(guī)范的解答。設計意圖：自己解決

31、問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。（七）嘗試小結(jié)：教師：提示引導學生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類討論的數(shù)學思想。設計意圖：通過學生的總結(jié)，培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力。（八）作業(yè)設計作業(yè)：第10頁習題1.1A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解

32、的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。課外鏈接：課后通過查閱相關書籍，上網(wǎng)搜索，了解關于正弦定理的發(fā)展及應用（相關 fayz ）七、設計思路：本節(jié)課，學生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預設的思路中，學生積極主動參與一個個相關聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學生經(jīng)歷了知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。其次，以問題為導向設計教學情境，促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。1、 結(jié)合實例，激發(fā)動機數(shù)學源于現(xiàn)實，從學生日常生活中的實際問題引入，激

33、發(fā)學生學習的興趣，引導啟發(fā)學生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。2、數(shù)學實驗，驗證猜想通過特例檢驗，讓學生動手實驗，提高了學生實驗操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導啟發(fā)學生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學生解決問題的能力，增強學習的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識。附一：實驗報告單組長:組員：試驗目的研究三角

34、形中各邊和它對角的正弦值的比(，)是否相等。實驗器材計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）實驗方法畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。實驗內(nèi)容三邊：a= b= c= 三角：A= B= C= 計算：= = = （精確到小數(shù)點后兩位）結(jié)論：福安一中 陳楨仔 林旭點評：本節(jié)定理教學課，教師把重點放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學只注重結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導學生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對應角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角形成立；接著證明了這個

35、定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過程，使學生感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時讓學生體驗了“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學思想方法，經(jīng)歷了知識形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了 “在已有知識體系的基礎上去建構新的知識體系”的理念，加強了知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類 、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。但是，本節(jié)課的教學內(nèi)容還是偏多，在時間分配上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義

36、，沖淡主體，浪費時間?？傊?，本節(jié)課有效地采用了探究式教學，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察實驗猜想證明應用”等環(huán)節(jié)，教學過程流暢，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。正弦定理（3）一、教學內(nèi)容分析“正弦定理”是普通高中課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（必修5）（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延

37、拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

38、二、學生學習情況分析學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎知識和平面向量的有關內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，課程標準強調(diào)在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。三、設計思想培養(yǎng)學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養(yǎng)學生學會學習、學會探究

39、呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調(diào)以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。四、教學目標1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證

40、明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境。五、教學重點與難點重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導難點：正弦定理的推導六、教學過程設計（一）設置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運方案。已知船在靜水中的速度，水流速度?！驹O計意圖】培養(yǎng)學生的“數(shù)學起源于生活，運用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定

41、理做鋪墊。（二）提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：1、船應開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別需要多少時間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養(yǎng)學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發(fā)學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的

42、方向，體現(xiàn)教師的主導作用。師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。師：請同學們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：， 用計算器可求得船從A開往C的情況如圖3，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個問題。師：請大家思考

43、，這兩個問題的數(shù)學實質(zhì)是什么？部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！驹O計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的化歸思

44、想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過點D作于點G（如圖4）， ，師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關系？【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學的和諧環(huán)境，既激發(fā)學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。（三）解決問題1、正弦定理的引入師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，

45、是怎樣處理的？眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩仍谥苯侨切沃性囂揭幌?。師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。（2）展示學生研究的結(jié)果?！驹O計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結(jié)論做準備；同時通過展示研究結(jié)論，強化學生學習的動機，增進學生

46、的成功感及學習的信心。師：請說出你研究的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來的？生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊。師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實際情況，引導學生進行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進一步深入研究。）師：對一般三角形是否成立呢？眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。師：這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于幾何畫板做一個數(shù)學實驗，【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理

47、論探究”“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用幾何畫板軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。結(jié)論：對于任意三角形都成立?！驹O計意圖】通過幾何畫板軟件的演示，使學生對結(jié)論的認識從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結(jié)果是否一致。生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了?！驹O計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出

48、了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形已驗證；銳角三角形課堂探究；鈍角三角形課后證明?！驹O計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺），設法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作

49、BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發(fā)，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： 表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！【設計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：三角形的面積不變；三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設AD、

50、BE、CF分別是的三條高。則有，。證法三：如圖7，設是外接圓的直徑，則，同理可證：【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？師：任意中，三個向量、間有什么關系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系？生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個向量中的一個向量（如向量）垂直，而且使三個項的關系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關系式。師：還是先

51、研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設非零向量與向量垂直。因為，所以即所以，同理可得師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）師：有什么幾何意義？生15：把移項可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即 故，同理可得 師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設計意圖

52、】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當?shù)膯l(fā)引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數(shù)學實驗。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理

53、。【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準備。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。我想到了“情境問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境問題”學習鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學內(nèi)容，具體做出了如下設計：創(chuàng)設一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于普通高中課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（必修4）（人教版）第二章習題

54、 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；啟發(fā)、引導學生提出自己關心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數(shù)學實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”“反思總結(jié)”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現(xiàn)。大田一中 陳永民點評：本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設計一個實際問題引導學生討論問題解決方案，將方案數(shù)