和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析

1、和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析本文結(jié)合例題歸納六類與平行四邊形有關(guān)的常見(jiàn)輔助線，供同學(xué)們借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AECF,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié)BFBFDE證明：連結(jié)DB,DF，設(shè)DB,AC交于點(diǎn)OAOAEOCFCBFAOOC,DOOB即OEOFDE丁四邊形ABCD為平行四邊形 AEFC.，四邊形EBFD為平行四邊形第二類：平移對(duì)角線，把平行

2、四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC12,BD10,ABm,那么m的取值范圍是（）Alm11b2m22c10m12d5m6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,則有四邊形CDBE為平行四邊形，.在ACE中，AC12,CEBD10,AE2AB2m .12102m1210,即22m22解得1m11故選A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2BD2AB2BC2CD2DA2證明：過(guò)A,D分別作AEBC于點(diǎn)E,DFBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FAC2

3、AE2CE2AB2BE222222BDDFBF(CDCF)則AC2BD2AB2BC2CD2四邊形ABCD為平行四邊形.(BCBE)2AB2BC22BEBC222(BCCF)CDBC2BCCFDA22BCCF2BCBEAB/CD且ABCD,ADBC1/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析 ABCDCFAEBDFC900ABEDCFBECF_22_222_2ACBDABBCCDDA第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。圖4例4：已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：APAB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K 四邊形

4、ABCD為正方形AB/CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90° 1K又DDAK90°,DFAFCDFKAF八八1八1 AKCDAB.CE-CD,DF-AD.CEDF22BCDD90°BCECDF，121390023900CPB900，貝UKPB900APAB第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于F,則有AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB2/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔

5、助線作法歸類解析1八BN,BEBC,NE3第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，AN交BD于F，求BF:BD解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連名ON四邊形ABCD為平行四邊形OAOC,OBBDODANBN一,1一一ON/BC且ON2BEBFBO11BC325:.BE:ONBF:BD2:31:5BFFOBEON232BFFO連對(duì)角線，平移對(duì)角線,（或特殊三角形）延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與、矩形（梯形）等圖形,綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)

6、題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂凇Ｆ揭蒲茖?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形3/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析,AB/

7、DCAD=15,AB=（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形ABCg,/A=9016,BO17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E.又AB/CD所以四邊形BCDEg平行四邊形.所以D&BO17,C5BE.在RtDAE中，由勾股定理，得aU=dEaD,即aU=172-152=64.所以A已8.所以B已AB-A已168=8.4/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析即C58.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M匚在BCW,BM=AD=4CM=CDDM=CDAB=8-3=5,所以B

8、C的取值范圍是：54<BC<a4,即1<BC<92、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中,AD/BC,/B+/C=90°,AD=1BC=3E、F分別是ADBC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長(zhǎng)。BCFHC解：過(guò)點(diǎn)E分別作ABCD的平行線，交BC于點(diǎn)GH,可得/EGHk/EHG=B+/C=90°則EGK直角三角形因?yàn)镋、F分別是ADBC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)，11,所以EF-GH(BCBGCH)221 _1_(BCAEDE)BC(AEDE)2 21 -1(BCAD)(31)12 23、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCm，AD/BC,AD=1BC=4

9、BD=3AC=4求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE/AC交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn).5/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析AD/BC四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=D5E=AC=4.在DBEt,BD=3,DE=4BE=5丁./BDE=90.作DHLBC于H,貝UDHBDED12BE"5g(ADBC)S梯形ABCD二-2DH5£6.2例5如圖，在等腰梯形ABCLfr,ADZ/BC,AD=3BC=7BD=5<2,求證：AC±BQDE解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得四邊形BCE北平行四邊形,貝UDE=BCC

10、E=BD='2,所以AE=AD-DE=AD-BC=*7=10。在等腰梯形ABCLfr,AC=BD=、2,所以ftAACE,AC2CE2(5物2(5仿2100AE2從而ACLCE,于是ACLBD例6如圖，在梯形ABCDt,ABZ/CD,AC=15cmBD=20cm高DH=12cm求ifHC梯形ABCD勺面積。解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則四邊形ACE北平行四邊形,即Sabdsacdsdceo6/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析所以S梯形ABCDSDBE由勾股定理得EHDE2DH2AC2DH2V1521229(5)BHBD2DH220212216(cnj)-1

11、12SDBE-BEDH(916)12150(cm)所以22,即梯形ABCD勺面積是2150cm。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。,/C=80,AD=2BC=5例7如圖，在梯形ABCLfr,AD/BC,/B=50°求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)E。在BCE,/B=50°,/C=80°。所以/E=50°,從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EGED=5-2=3BCAOBD,AD=BC.判斷例8.如圖所示，四邊形ABCLfr,AD不平行于四邊形ABCD勺形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD1等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD

12、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示.,.AOBDAD=BCAB=BA,.DA皆ACBA.丁/DA四/CBA.7/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析.，EA=EB.又AD=BGaDE=CE/EDG=/ECD.而/E+/EA計(jì)/EB"/E+/EDU/EC氏180./EDC=/EAB-DC/AB.又AD不平行于BC一四邊形ABC此等腰梯形.（三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCm,ADZ/BC,AB±AD,BC=CDBE!CDT點(diǎn)E,求證：AD=DE解：連結(jié)BD由ADBC,得/ADBWDBE由BC=CD得/DBC4BDC所以/ADBNBD

13、E又/BADWDEB=90,BD=BD所以RtABAtDRtABED得AD=DE（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCm,ABDC,/ABC=90,AB=2DC對(duì)角線AC±BD,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/ZAB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。8/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析證:過(guò)點(diǎn)D作DGLAB于點(diǎn)G,則易知四邊形DGBO矩形，所以DC=BG因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB從而DA=DB于是/DAB=DBA又EF/AB,所以四邊形ABF式等腰梯形。2、作兩條高BEFC例11、在等腰梯形ABCD,AD/BC,AB=CD/ABC=60,AD

14、=3crpBC=5c求：（1）腰AB的長(zhǎng)；梯形ABCD勺面積.解：作AE!BC于E,DF±BC于F,又AD/BC四邊形AEFC®矩形，EF=AD=3cm.AB=DC一1一BEFC(BCEF)1cm2.在RtABE中，/B=60°,.AB=2BE=2cmAE3BEBE=1cm3cm(ADBC)AES梯形ABCDLT243cm2例12如圖，在梯形ABCD,AD為上底，AB>CD求證:BD>AC證：作AE±BC于E,彳DF±BC于F,則易知AE=DF在RtAABEffiRtDCF中，因?yàn)锳B>CDAE=DF所以由勾月£定理

15、得BE>CF即BF>CE9/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析在RtABDFffiRtCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCm，ABZ/DC,O是BC的中點(diǎn)，/AOD=90,求證:AB+CD=ADDC1證：取AD的中點(diǎn)E,連接OE則易知OE是梯形ABCD勺中位線，從而OE方（AB+CD在AODK/AOD=90,AE=DE一,_1一所以O(shè)E-AD2由、得AB+CD=AD2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD

16、t,ADZ/BC,E、F分別是BDAC的中點(diǎn)，求證：_1_、(1)EF/AD;(2)EF(BCAD)2證：連接DF,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,易證4AF陰CFG則AD=CGDF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位線1 一從而EF/BG,且EF-BG2因?yàn)锳D/BG,BGBCCGBCAD10/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析1 ,所以EF/ZAD,EF（BCAD）23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCDt,AD/BC/BAD=90）,E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE,求/AEB=2CBE解：分別延長(zhǎng)AE與BC,并交于F點(diǎn)/B

17、AD=90fiAD/BC./FBA=18&-/BAD=90又:AD/BC/DAEWF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）/AEDWFEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）.AD陷AFCE（AASAE=FE在ABF中/FBA=90且AE=FE.BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）在FEB中/EBFWFEB/AEBWEBF+/FEB=2CBE例16、已知：如圖，在梯形ABCm，AD/BC,AB±BCE是CD中點(diǎn)，試問(wèn):線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE理由如下：延長(zhǎng)AE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.DE=CE/AED=CEF/DAE=F.AD陷AFCE.AE

18、=EF,.AB±BCaBE=AE例17、已知：梯形ABCLfr,AD/BC,E為DC中點(diǎn)，EF±AB于F點(diǎn)，AB=3cm,EF=5crp求梯形ABCD勺面積.11/14和平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MNAB,分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn).vDE=ECAD/BC.DE陣ACNE四邊形ABNM1平行四邊形vEFlAB,2S梯形abc=&abnmtABXEF=15cm【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1 .若等腰梯形的銳角是60°,它的兩底分別為11c磯35cm,則它的腰長(zhǎng)為cm2 .如圖所示，已知等腰梯形ABC葉,AD/BC/B=60°,AD=2,BO8,則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）3.如圖所示,A.19B.20C.21D.22AB/CD,AE±DCAE=12,BD=20,AO15,貝U梯形ABCD的面積為（）A.130B.140C.150D.160*4.如圖所示，在等腰梯形ABCD,已知AD/BC,對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD=30,BC=70,求BD的長(zhǎng).D