2020屆重慶市第十一中學高三下學期3月線上測試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、2020屆重慶市第十一中學高三下學期3月線上測試試題數(shù)學(文)一、單選題1 .已知復數(shù) Z (2 i)(1 i),則 |z| ()A. .、5B.10C. 5D. 10【答案】B【解析】化簡得到 z 3 i ,計算復數(shù)模得到答案.【詳解】z (2 i)(1 i) 3 i ,故 |z 710.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡，復數(shù)模，意在考查學生的計算能力2,已知集合A123,4B 0,1,2P A B ,則P的子集共有()A. 2個B. 4個C. 6個D.【解析】計算得到P AI B 1,2,再計算子集個數(shù)得到答案集合 A 1,2,3,4B 0,1,2P AI B 1,2 ,故p的子集共

2、有22 4 個.故選：B.本題考查了交集運算,子集，意在考查學生的計算能力r3.設向量a(m,1)(2, 1),且 aA. - 2B.C.D.【解析】直接根據(jù)向量垂直計算得到答案向量 a (m,1), b (2, i),且ai r r一則 a b 2m 1 0,故 m故選：C.本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學生的計算能力4.下列說法正確的是()A.截距相等的直線都可以用方程二 丫 1表示a aB.方程x my 2 0 ( m R)能表示平行于x軸的直線C.經過點P(1,1),傾斜角為的直線方程為y 1 tan (x 1)D.經過兩點P(x1, y1),P2(X2,y2)的直線方程(y2

3、 y1)(x x1)(x? x1)(y y1)【答案】D【解析】根據(jù)直線方程的截距式，一般式，點斜式，兩點式方程，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A當截距為零時不能用方程 - y 1表示，A錯誤； a aB.方程x my 2 0 (m R)不能表示平行于 x軸的直線，B錯誤;C傾斜角為 £時不成立，C錯誤；D.經過兩點P(oy1), P2(x2,y2)的直線方程(y2 y1)(x x1) (x2 x1)(y y1) 0,代入驗證知 D正確；故選：D.【點睛】x R, x2x 1 0,則下列命題中本題考查了直線方程，意在考查學生的推斷能力5.已知命題P ： x R , x2 x3 ；

4、命題q：為真命題的是()a. p qb. ( p) qc. p ( q)d. ( p) ( q)【答案】A【解析】判斷p為真命題，q為真命題，再判斷復合命題的真假得到答案【詳解】命題p ： x R , x2 x3,取x 2 ,滿足不等式，故 p為真命題；1 2 3命題q： x R, x x 1 x 0,故q為真命題；24故p q為真命題,(P) q為假命題,P ( q)為假命題，(P) ( q)為假命題.【點睛】本題考查了命題的真假，復合命題的真假判斷，意在考查學生的計算能力和推斷能力6.已知偶函數(shù)f (x)滿足f (x)2x0),則x f (x 1) 1 ()A. x |x0B.x|x0 或

5、 x 2C. x |x2D.x|x1 或 x 1種情況,x 0時,f(x)2x代入計算得到答案當x 0時，xf(x)2x1時,f(x 1)1時,f(x 1)1x 11x 1綜上所述：x x|x2 或 x 0.0.2.故選：A.本題考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式,解不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.f(x)可以為()7.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則eB.f(x)C. f(x)叫 eD.f (x)|x| xe【解析】根據(jù)圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，且在0,上單調遞減，依次判斷每個選項得到答案.根據(jù)圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，且在0,上單調遞減.3x f(x) E ef(x)3x ef x ,奇函

6、數(shù)，排除;B.f(x)當 x 0 時，f'(x)1 x ex 1 x exx x 2e ef( x) x x x f x ,偶函數(shù), e exx x1 x e , g' x x e e 0,函數(shù)g x單調遞減，且g 00,故 f '(x) 0在 0,上恒成立,故f x在0,上單調遞減，滿足圖像;I x IIxlC f(x)曷，f ( x)叫 f x ,偶函數(shù)， eex1 xx 0時，f (x) , f'(x)函數(shù)先增后減，排除;eeD. f(x) xe|x|, f( x)xe|x|f x ,奇函數(shù)，排除； 故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)解析式，

7、根據(jù)圖像確定函數(shù)的單調性和奇偶性是解題 的關鍵.8 .為了抗擊新型冠狀病毒肺炎保障師生安全，我校決定每天對教室進行消毒工作，已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量 y（ mjm3）與時間t（卜）成正比（0 t 1）；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為y （1）ta（a為常數(shù)，t3），據(jù)測定，當空 42氣中每立方米的含藥量降低到0.5（ mg/m3）以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前（）分鐘進行消毒工作A. 30B. 40C. 60D. 90【解析】計算函數(shù)解析式，取1 t !1，一f t (-) 2 ,計算得到答案【詳解】根據(jù)圖像：函數(shù)過點;,12x,0 t1 t 2(4)

8、 2，t12121小時 60分鐘.1當t 時，取f t 2故選：C.本題考查了分段函數(shù)的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力45，點M是PC9 .四棱錐P ABCD的底面是正方形，且各側棱與底面所成角均為的中點,則異面直線 AM與CD所成角的余弦值為（）a. 35c.410D. 3J10P在平面ABCD的投影為 ABCD的中心。，故 PACPCA 45連接MN , AN , AMN或其補角為異面直線 AM與CD所成角,根據(jù)余弦定理計算得到答案如圖所示：P在平面ABCD的投影為ABCD的中心O,故 PAC PCA45 .取PD中點N ,連接MN , AN ,易知MN /CD ,故 AMN或其補

9、角為異面直線 AM與CD所成角.設正方形ABCD邊長為1,則PA PB PC PD 1,1 一 1AMN 中：MN CD 一22ANAP2 PN2AM ' AP2根據(jù)余弦定理:AM 2 cos AMNMN 2 AN22AM MN3,510故選：D.【點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力10 .已知函數(shù)f(x) J2sin x和g(x) ，2cos x (0)圖象的交點中，任意連續(xù)三個交點均可作為一個等腰直角三角形的頂點.為了得到y(tǒng) g(x)的圖象，只需把y f (x)的圖象()A.向左平移1個單位B.向左平移一個單位2C.向右平移1個單位【答案】AD.向右

10、平移一個單位2【解析】如圖所示，計算kf (x) g(x)得到x ,k Z ,取靠近原點的三個交4點，A 3-, 1 , B ,1 , C - 4441 ,得到5-且一2- 4 ,故 一，442根據(jù)平移法則得到答案【詳解】如圖所示:f (x) x 2 sin x g(x)& cos x ,故 tan x 1 ,kx ,k Z.4335,取靠近原點的三個交點，A ，1,B ，1,C ,1444ABC為等腰直角三角形，故 5- 3- 2 4,故44、2cosx 、-2 sin2故 f(x) .2 sin - x , g(x)2故為了得到y(tǒng) g(x)的圖象，只需把 y f(x)的圖象向左平移

11、1個單位本題考查了三角函數(shù)圖像， 三角函數(shù)平移，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用211.已知E, F2是雙曲線C :、 a1 a 0的兩個焦點，過點Fi且垂直于x軸的直線與C相交于A, B兩點，若ABJ2,則 ABF2的內切圓的半徑為（C.【解析】設左焦點3F1的坐標， 由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程,左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割三角形的面積之和可得內切圓的半徑由雙曲線的方程可設左焦點Fi(c,0）,由題意可得 AB2所以雙曲線的方程為：2所以 Fi（ ,3,0）, F2（-3,0）所以SVABF21一AB F1F2 2、6三角形

12、ABF的周長為C AB AF2 BF2 AB2a AF12a BF14a 2AB 4 2 2 2 6-2 11-設內切圓的半徑為 r,所以三角形的面積 S - C r -6.2 r 3、, 2r,22故選：B【點睛】內切圓的半徑與三角本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法, 形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題1 o 1,.B(X2,g(X2)處的切線重12 .已知函數(shù) f(x) -x x a 1 (x 0), g(x) 1n 42若f (x)的圖象在點A(xi, f (xi)處的切線與g(x)的圖象在點合，則a的取值范圍是(A. ( 11n2,)B.

13、 (1n2,)C. ( 1ln2,)D. ( ln 2,求導得到切線方程,根據(jù)切線重合得到1a x14ln12x11x10求導得到函數(shù)的單調性，得到范圍1 f (x) x41-x2f'(x)1-x2故切線方程為:12 x11 24X112x11;g(x)1nx，故g'(x) 1,切線方程為:X2x2ln x2；1故二x1212x11Zx112x1x2化簡整理得到:1 4x1ln12x1 x120,ln x2 ，設 g x 1x4lng'故 a ln2.故函數(shù)在1,0上單調遞減，故g 0 ln2,當x 1時，g x故選：B【點睛】本題考查了函數(shù)的切線方程，利用導數(shù)求范圍，

14、意在考查學生的計算能力，轉化能力和 綜合應用能力.二、填空題13 .已知函數(shù)y f(x)的圖象與y 2x的圖象關于直線x 1對稱，則f(4) .-1【答案】-4【解析】直接利用對稱性計算得到答案.【詳解】函數(shù)y f(x)的圖象與y g x 2x的圖象關于直線x 1對稱，故,1f (4) g 2-.4,1故答案為：1.4【點睛】本題考查了函數(shù)的對稱性，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用1 x 3,一14.設x, y滿足約束條件, 則z x 2y的最小值為.0 x y 2,【答案】1【解析】先根據(jù)條件畫出可行域，設 z x 2y ,再利用幾何意義求最值，將最小值轉化為y軸上的截距最大，只需求出直線

15、z x 2y,取得截距的最小值，從而得到z最小值即可.【詳解】由約束條件得到如圖可行域，11 1由目標函數(shù)z x 2y得至|J y x z； 22當直線經過 A時，直線在y軸的截距最大，使得 z最小，x 1由得到A(1,1),x y 2所以z的最小值為12 11 ;故答案為：1 .【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題；借助于平面區(qū)域特性， 用幾何方法處理代數(shù)問題， 體現(xiàn)了數(shù)形結合思想、化歸思想.線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定.15 .羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成，某班級從3名男生A1, A2,A3和3名女生B1，B2, B3中各隨機選出一名組成一隊參賽，則A1和B

16、1兩人組成一隊參加比賽的概率為.【答案】19【解析】列出所有情況共有 9種，滿足條件的有1種，得到概率.【詳解】根據(jù)題意共有：A,B1 , A,B2 , A,B3 , A2,B , A2,B2 , A2,B3 , AB , A3, B2 , A3,& 9種1情況，滿足條件的有A,B1 1種，故p -.9,1故答案為：1.9【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力、一 一一4 一116 記Sn為數(shù)列a的前n項和，若2Sn an 2口,則 a3a4數(shù)列an 2an的前n項和Tn 【答案】2n【解析】（1）根據(jù)Sn與an的關系即可推導出an 1 a0(2)由(1)知

17、 an 1an1-n,利用上式可信 an 22n1 人一，“二，令n 3即可求解；2 n1an 產，由等比數(shù)列求和公式即可求解Q2Sn an2n 12Sn 112n兩式相減可得：2an 1 an 1即 an 1an所以a3a4由 an 1an12n，11238，2可得an 2兩式相減可得：an 2 anan 112n 112n 1，112n2n 11 3一an 2 an是以一為首項,41 ,一為公比的等比數(shù)列, 2故答案為:2n2n本題主要考查了數(shù)列的遞推關系,Sn與an的關系，等比數(shù)列的求和公式，屬于較難題三、解答題17.某企業(yè)質量檢驗員為了檢測生產線上零件的情況，從生產線上隨機抽取了 20

18、0個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm,得到如下的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這 200個零件尺寸的中位數(shù)(結果精確到0.01 );(2)已知尺寸在63.0,64.5)上的零件為一等品，否則為二等品.將這200個零件尺寸的樣本頻率視為概率，從生產線上隨機抽取 1個零件，試估計所抽取的零件是二等品的 概率.【答案】(1) 63.44; (2) 0.2【解析】(1)確定中位數(shù)在 63.0: 63.5之間，設中位數(shù)為t,則2 t 63 0.40 0.05 0.10 0.50,計算得到答案1 p20.202設中位數(shù)為t0.8,得到概率.0.10, P3 1 0.80 0.4

19、0.2，則2 t 63 0.40 0.05 0.10 0.500.4 0.3 0.1 0.8,0.2.意在考查學生的計算能力和應用能(2)尺寸在63.0,64.5)上的零件的頻率為【詳解】(1) P1 1 0.10 0.05, 2故中位數(shù)在63.0: 63.5之間，解得 t 63.4375 63.44.(2)尺寸在63.0,64.5)上的零件的頻率為：故抽取的零件是二等品的概率為p 1 0.8【點睛】本題考查了頻率分布直方圖，中位數(shù)，概率的計算, 力.18 .已知 a,b, c分別是 ABC 內角 A, B,C 的對邊，sin2 a sin C(sin A sin C) sin2 B .(2)

20、若 b 7,ABC的面積為 應3 ,求 ABC的周長.(1)求sin B的值;【答案】(1) sin B ; (2) 15 2【解析】（1）根據(jù)正弦定理得到 a2 ac c22、 一b ,再利用余弦定理得到答案（2）根據(jù)面積公式得到 ac 15,化簡得到a【詳解】，一、2_2 _(1) sin A sinC(sinA sinC) sin B,2ac cb2 ，222根據(jù)余弦定理知：cos B a一c一-2ac0,，故 sin B(2) S 1acsin B 15-，故 ac 1524ac故a c 8,故周長為15.本題考查了正弦定理， 余弦定理，面積公式, 意在考查學生的計算能力和綜合應用能力

21、19 .如圖，三棱錐P ABC中，PA PCAB BC , APC 60 , ABC 90 ,（2）求點C點平面PAB的距離.【答案】（1）證明見解析；（2） R427【解析】（1）取AC中點D ,連接PDBD ,根據(jù)AC PD , AC BD得到答案.(2)證明PD平面ABC ,故VP ABC2 6 一2-6 ,根據(jù)等體積法計算3VC ABPVP ABC-6，計算得到答案.3【詳解】(1)取AC中點D ,連接PD , BD , PAPC , ABBC , AC 中點 D.故 AC PD , AC BD ， PDBD D ,故 AC 平面 PBD ,PB 平面 PBD,故 AC PB.(2)A

22、C 242，故 PA PC2應，BA BC故 PB2 PD2 BD2,即 PD BD ,又 PDAC , ACI BD D ,故PD 平面ABC ,故vp ABCIsabc PD 1 26".333ABP 中，AP 2無，AB 2，pb.PD2 BD272 62>/2，故 SABP 1 AB JPABJ7,11-設點C點平面PAB的距離為h ,則VC ABP - S ABP h J7h VP ABC33故h ” 7【點睛】本題考查了線線垂直，點面距離，意在考查學生的計算能力和空間想象能力20.設函數(shù) f(x) ex ax 1 (a R).(1)若a 2,求函數(shù)f (x)在區(qū)間0

23、,2上的最大值和最小值；(2)當x 0時，f (x) 0,求a的取值范圍.【答案】(1)最大值為e2 5,最小值為1 21n2 ;a ,0【解析】(1)求導得到函數(shù)在0,ln2上單調遞減，在ln2,2上單調遞增，計算得到最值.(2)討論a 0和a 0兩種情況，分別計算函數(shù)單調T得到最小值，得到證明.【詳解】(1) f (x) ex 2x 1 ,取 f '(x) ex 2 0 ,即 x In 2 ,函數(shù)在0,ln 2上單調遞減，在 ln2,2上單調遞增，且 f (0) 0, f 2e2 5, f ln2 121n 2,2.故函數(shù)的最大值為 f 2 e 5,最小值為f ln2 121n 2

24、.(2) f (x) ex ax 1, f'(x) ex a , f (0) 0.當a 0時，f '(x) ex a 0 ,函數(shù)單調遞增，故f(x) f 00 ,成立；當 a 0 時，f'(x) ex a 0,即 x ln a,故函數(shù)在 0,lna上單調遞減，在 lna, 上單調遞增，故f ln a f 00 ,不成立.綜上所述：a 0 ,即a ,0 .【點睛】本題考查了函數(shù)的最值，恒成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題是解題的關鍵1 221 .已知點P是拋物線C：y -x3的頂點，a, B是C上的兩個動點，且4uur uuuPA PB 4.(1)判斷點D 0, 1是否

25、在直線AB上？說明理由;(2)設點M是4 PAB的外接圓的圓心，求點 M的軌跡方程.21【答案】(1)點D 0, 1在直線AB上，理由見解析(2) x2 - y2【解析】(1)由拋物線的方程可得頂點 P的坐標，設直線 AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,求出數(shù)量積PAgPB ,再由題意PAgPB 4可得直線AB恒過(0, 1),即得D在直線AB上；(2)設A, B的坐標，可得直線 PA, PB的斜率及線段 PA, PB的中點坐標，進而求出線段PA, PB的中垂線的方程，兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心M的坐標，由(1)可得M的橫縱坐標關于參數(shù) k的表達式，消參數(shù)可得 M的軌跡方程.【詳

26、解】 點D 0, 1在直線AB上.理由如下，1 2由題意，拋物線C：y x2 3的頂點為P(0, 3)4因為直線與拋物線有 2個交點，所以設直線AB的方程為y kx b, A xI,y1 , B x2,y2 y x 3 zt=r t 2聯(lián)立 4 得到 x2 4kx 4(3 b) 0, y kx b其中 16k2 16(3 b) 0,xi x24k,x1x24(b 3)x1 x24(b3)一一 ._2_所以 yy2k x1x22b 4k2b ,22yy2k%bkx2b kxx2kbxx?b2224k (b 3) 4k b b12k2 b2unruuu因為 PAx1,y1 3 , PBx2,y2

27、3unr uur所以 PA PB x1x2 y13y2 3xx2 小小 3 % y29_22_2_4(b 3)12k2 b23 4k2 2b 9b2 2b 34,所以 b2 2b 1 (b 1)2 0,解得b 1,經檢驗，滿足，所以直線AB的方程為y kx 1 ,恒過定點D 0,（2）因為點M是 PAB的外接圓的圓心，所以點M是三角形PAB三條邊的中垂線的交點,設線段PA的中點為F ,線段PB的中點為為因為 P(0, 3),設 A(X1 , y1)B(X2 , V2)所以 f(Z, ), e(絲， 222所以線段PA的中垂線的方程為:y23 k)，kPA2y13y 丁vX1X2因為A在拋物線上，所以y1 31 2Xi42_ X1PA的中垂線的方程為：y 一84(xX1同理可得線段PB的中垂線的方程為:聯(lián)立兩個方程由（1）可得X1所以XMX28324k4XX14XX24k,即點M（k,2k2）,所以即點M的軌跡方程為:2X182X2解得X1X24(b3)2X12X28X y1X1)4XX2yM3(XX1X2(X14XX1X2)3222x1x2 x1x2 8822X1X2 (X1 X2)21xm-yM ,21x -y.2本題考查求直線恒過定點的方程及直三角