線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

1、Ch.4Ch.4 線性系統(tǒng)的能控性和線性系統(tǒng)的能控性和能觀性能觀性本章簡(jiǎn)介(1/1)本本 章章 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介q 本章討論線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分析問題。 主要介紹 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型分析的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)-狀態(tài)能控性和能觀性,以及 這兩個(gè)性質(zhì)在狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)分解和線性變換中的應(yīng)用, 并引入能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形, 以及實(shí)現(xiàn)問題與最小實(shí)現(xiàn)的概念。 本章最后介紹基于Matlab的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分析問題的程序設(shè)計(jì)與計(jì)算。目錄目錄(1/1)(1/1)目目 錄錄q 概述概述q 4.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性q 4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性q 4.3 線性定常離散系

2、統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性q 4.4 對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理q 4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消q 4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形q 4.7 實(shí)現(xiàn)問題實(shí)現(xiàn)問題q 4.8 Matlab問題問題q 本章小結(jié)本章小結(jié)概述概述(1/5)(1/5)概概 述述q 本章討論線性定常系統(tǒng)的定性分析-結(jié)構(gòu)性問題和系統(tǒng)綜合問題,主要內(nèi)容有: 結(jié)構(gòu)性問題-能控性、能觀性、對(duì)偶原理 結(jié)構(gòu)分解 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 系統(tǒng)綜合問題-狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器重點(diǎn)問題喔!難點(diǎn)喔!重點(diǎn)喔!Control?Feedback?概述概述(2/

3、5)(2/5)q 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的能控性和能觀性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性。 卡爾曼在60年代初首先提出狀態(tài)能控性能控性和能觀性能觀性。其后的發(fā)展表明,這兩個(gè)概念對(duì)回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問題,對(duì)于控制控制和狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)估計(jì)問題問題的研究,有著極其重要的意義。 系統(tǒng)能控性系統(tǒng)能控性指的是控制作用u對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)x和輸出y進(jìn)行控制的可能性。 狀 態(tài) n維維x(t) r維維u(t) m維維y(t) 能控? 能控? 概述概述(3/5)(3/5) 能觀性能觀性反映由能直接測(cè)量的輸入u、輸出y的量測(cè)值來(lái)確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)x的可能性。 狀 態(tài) x(t) u(

4、t) y(t) 能觀測(cè)? q為什么經(jīng)典控制理論沒有涉及到這兩個(gè)結(jié)構(gòu)性問題?概述概述(4/5)(4/5)q 這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,它的輸入u輸出y間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由唯一地由傳遞函數(shù) G所確定。 因此,給定輸入u,則一定會(huì)存在唯一的輸出y與之對(duì)應(yīng)。 反之,對(duì)期望輸出信號(hào)y,總可找到相應(yīng)的輸入信號(hào)u(即控制量)使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制,不存在能否控制的問題。 此外,輸出y一般是可直接測(cè)量,不然,則應(yīng)能間接測(cè)量。 否則,就無(wú)從對(duì)進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。 因此,在這里不存在輸出y能否測(cè)量(觀測(cè))的問題。 所以,無(wú)論是從理論還是實(shí)踐,經(jīng)典

5、控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測(cè)的問題。概述概述(5/5)(5/5)q 現(xiàn)代控制理論中著眼于對(duì)表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。 狀態(tài)變量向量x的維數(shù)n一般比輸入向量u的維數(shù)r高,這里存在多維狀態(tài) x 能否由少維輸入u 控制的問題。 此外,狀態(tài)變量x是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量,有時(shí)并不能直接測(cè)量或間接測(cè)量,故存在能否利用可測(cè)量或觀測(cè)的輸入u、輸出y的信息來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)x的問題。線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性(1/2)(1/2)4.1 4.1 線性線性連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)的能控性能控性q 本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性問

6、題。 關(guān)鍵問題:1. 基本概念: 狀態(tài)能控性和輸出能控性2. 基本方法: 狀態(tài)能控性和輸出能控性的判別方法3. 狀態(tài)能控性的物理意義和在狀態(tài)空間中的幾何意義重點(diǎn)喔重點(diǎn)喔!要理解喔!線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性(2/2)(2/2)q 本節(jié)首先首先從物理直觀性來(lái)討論狀態(tài)能控的基本含義, 然后然后再引出狀態(tài)能控性的定義。 下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對(duì)于理解能控性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。q 本節(jié)講授順序?yàn)? 能控性的直觀討論能控性的直觀討論 狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性線性定常

7、連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性能控性的直觀討論能控性的直觀討論(1(1/12)/12)4.1.1 能控性的直觀討論q 狀態(tài)能控性反映輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力。 如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng)) u(t)來(lái)影響,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn),那么稱系統(tǒng)是能控的, 或者更確切地說(shuō),是狀態(tài)能控的。 否則,就稱系統(tǒng)為不完全能控的。q 下面通過實(shí)例來(lái)說(shuō)明能控性的意義 。 狀 態(tài) n維維x(t) r維維u(t) m維維y(t) 能控? 能控? 該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器

8、兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。 試分析電源電壓u(t)對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的控制能力。能控性的直觀討論能控性的直觀討論(2(2/12)/12)q例 某電橋系統(tǒng)的模型如圖4-1所示 。 u R + + + C1 C2 x1 x2 - R R R 圖圖4-1 電橋系統(tǒng)電橋系統(tǒng) 能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (3/12)3/12)q 由電路理論知識(shí)可知, 若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是電橋系統(tǒng)是平衡的平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4=R),電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的,則系統(tǒng)是不完全能控的。 u R + +

9、+ - - C1 C2 x1 x2 - R R R 若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是電橋系統(tǒng)是不平衡的不平衡的, 兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是能控的。能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (4/12)4/12)q 由狀態(tài)空間模型來(lái)看(若圖4-1所示的電橋電橋系統(tǒng)是系統(tǒng)是平衡的平衡的,即即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí),可得如下狀態(tài)方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即電橋中電容

10、C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。 因此,該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。 具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不能控的。能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (5/12)5/12) 1 Q1 0 h1 h2 Q2 Q0 Q0 2 q例 某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖4-2所示,其截面積均為A,它們通過閥門0均勻地輸入等量液體,即其流量Q0相同。圖圖4-2并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)并聯(lián)雙水槽系統(tǒng) 能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (6/12)6/12) 1 Q1 0 h1 h2 Q2 Q0 Q0 2 當(dāng)閥門1和2的開度不變時(shí),設(shè)它們?cè)谄胶夤ぷ鼽c(diǎn)鄰域閥門阻力相等并可視為常

11、數(shù),記為R。 圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。q 該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)能控性可分析如下: 對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。 下面僅考慮流量Q0的變化量 Q0所引起的水槽水位的變化。能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (7/12)7/12)2222211111ddddQRhQQthAQRhQQthAOO 由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度)的關(guān)系,有 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (8/12)8/12) 選上述方程

12、中變化量h1和h2為狀態(tài)變量x1、x2,將狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量Q1和Q2消去,則有ooQAxARxQAxARx11112211 解上述狀態(tài)方程,可得d)(-exp1)0(-exp)(d)(-exp1)0(-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (9/12)9/12) 由上述解可知,當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)不等時(shí),則x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同,即在有限時(shí)間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。 因此,對(duì)該系統(tǒng),無(wú)論如何控制流入的流量QO(t),都不能使兩水

13、槽的液面高度的變化量h1(t)和h2(t)在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)為零,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。q 上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說(shuō)明了能控性的基本含義,能控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說(shuō)明。d)(-exp1)0(-exp)(d)(-exp1)0(-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (10/12)10/12)uxxxxx212112q 補(bǔ)充例1 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為q 本例中,狀態(tài)變量x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無(wú)關(guān), 即輸入u(t

14、)不能控制x1(t)的運(yùn)動(dòng),而且x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。 因此,狀態(tài)x1(t)不能控,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。1/s-1-2 2x1x1/syu能控性的直觀討論能控性的直觀討論( (11/12)11/12)uxxxuxxx21221122p 由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨(dú)控制, 可以說(shuō),x1(t)和x1(t)都是單獨(dú)能控的。 對(duì)該狀態(tài)方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即狀態(tài)x1(t)和x1(t)總是相差一個(gè)固定的,不受u(t)控制的函數(shù)值。q 補(bǔ)充例2 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為能控性的直觀討論能控性的直觀討論

15、(1(12/12)2/12) 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài),只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。 所以,雖然狀態(tài)x1(t)和x2(t)都是單獨(dú)能控的,但整個(gè)系統(tǒng)并不能控。q 前面4個(gè)例子,可通過直觀分析來(lái)討論系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷能控性是困難的。 下面將通過給出狀態(tài)能控性的嚴(yán)格定義,來(lái)導(dǎo)出判定系統(tǒng)能控性的充要條件。狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義(1/5)(1/5)4.1.2 狀態(tài)能控性狀態(tài)能控性的的定義定義q 由狀態(tài)方程x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第3章的狀態(tài)方程求解公

16、式可知, 狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0和初始時(shí)刻之后的輸入 u(t),與輸出y(t)無(wú)關(guān)。 因此研究討論狀態(tài)能控性問題,即輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)能否控制的問題,只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀態(tài)方程的性質(zhì),與輸出y(t)和輸出方程無(wú)關(guān)。q 對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)能控性定義。00( )( )()( )dttttB xxu000( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )dtttt tttB xxu狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義(2/5)(2/5)能控性定義能控性定義q 定義定義4-1 若線性連續(xù)系統(tǒng)x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 對(duì)初始時(shí)刻t0(t

17、0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0), 存在另一有限時(shí)刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一個(gè)控制量u(t), 能在有限時(shí)間t0,t1內(nèi)把系統(tǒng)狀 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 態(tài)從初始狀態(tài)x(t0)控制到原點(diǎn),即x(t1)=0,則稱t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)能控; 若對(duì)t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全能控;狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義(3/5)(3/5)能控性定義能控性定義 若系統(tǒng)在所有時(shí)刻(t0t1)狀態(tài)完全能控,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能控。 即,若邏輯關(guān)系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t

18、1) (x(t1)=0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 若存在某個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。 即,若邏輯關(guān)系式t0T x(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義(4/5)(4/5)q 對(duì)上述狀態(tài)能控性的定義有如下討論:1. 控制時(shí)間t0,t1是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。 對(duì)時(shí)變系統(tǒng),控制時(shí)間的長(zhǎng)短,即t1-t0的值,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。 對(duì)于定常系統(tǒng),該控制時(shí)間與t0無(wú)關(guān)。所以,對(duì)于對(duì)于線性定常線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)能控性,可不必在

19、定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控”,而為“某一時(shí)刻某一時(shí)刻狀態(tài)完全狀態(tài)完全能控能控, 則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控”。 即,若邏輯關(guān)系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t) (tt0,t1) (x(t1)=0)為真,則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)能控性的定義狀態(tài)能控性的定義(5/5)(5/5)2. 在上述定義中,對(duì)輸入u(t)沒有加任何約束,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。 如果矩陣A(t)和B(t)以及向量u(t)的每個(gè)元素都是t的分段連續(xù)函數(shù),則狀態(tài)方程存在唯一解。 u(t)為分段連續(xù)的條件,在工程上是很容易滿足的。3. 在狀態(tài)能

20、控性定義中,對(duì)輸入u(t)和狀態(tài)x(t)所處的空間都沒有加任何約束條件。 在實(shí)際工程系統(tǒng)中,輸入變量空間和狀態(tài)空間都不為無(wú)限制條件的線性空間,因此上述能控性的定義對(duì)工程實(shí)際系統(tǒng)還需作具體的分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(1(1/1)/1)4.1.3 線性線性定常定常連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)能控性判別判別q 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)有許多不同形式,下面分別討論常用的 代數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)和 模態(tài)判據(jù)模態(tài)判據(jù)。代數(shù)判據(jù)(1/18)代數(shù)判據(jù)定理1. 代數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)q 定理4-1(線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性秩判據(jù)) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能

21、控的 充要條件為下述條件之一成立:1. 矩陣函數(shù)e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立,即不存在非零常數(shù)向量f Rn,使得f e-AtB 02. 如下定義的能控性矩陣Qc=B AB An-1B 滿秩,即rankQc=rankB AB An-1B=n tt)t (A)tt (A)(B)t ()t (00duexex0 證明如下: 對(duì)于線性定常系統(tǒng),由能控性定義可知,其狀態(tài)能控性與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)。 因此,不失一般性,可設(shè)初始時(shí)刻t0為0。 根據(jù)第3章中狀態(tài)方程解的表達(dá)式,有代數(shù)判據(jù)(2/18)代數(shù)判據(jù)定理證明q 證明 在證明能控性判據(jù)之前,下面首先證明線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控等價(jià)于下述方程對(duì)任意的初始狀態(tài)x(

22、0)有控制輸入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexexttAAtBt0)(0d)(ee)(uxx代數(shù)判據(jù)(3/18)代數(shù)判據(jù)定理證明 由能控性的定義有,若能控,則應(yīng)存在t1(t10)和分段連續(xù)的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)( )dtABxeu 因此,線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控的充必條件為:v上述方程對(duì)任意的x(0)有輸入u(t)的解。q 下面將利用該方程分別證明判別狀態(tài)能控性的上述兩個(gè)充要條件。代數(shù)判據(jù)(4/18)狀態(tài)不能控能控子空間為狀態(tài)空間的維數(shù)小于n的線性子線性子空間空間存在狀

23、態(tài)空間中的非零向量垂直于能控子空間e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān)與假設(shè)矛盾,充分性得證(1) 先證明條件先證明條件1。 先證充分性先證充分性(條件條件結(jié)論結(jié)論)。 即證明,若若e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立的各行函數(shù)線性獨(dú)立,則系統(tǒng)狀態(tài)能控。則系統(tǒng)狀態(tài)能控。 用反證法證明。 設(shè)狀態(tài)不能控設(shè)狀態(tài)不能控,但但e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立的各行函數(shù)線性獨(dú)立。 充分性反證法的思路為:代數(shù)判據(jù)(5/18)證明過程證明過程: 狀態(tài)不能控,則意味狀態(tài)能控子空間(可證明為線性空間)rtActtBRR)(, 0,d)()()(101uue0 x0 x比狀態(tài)空間Rn小,屬于Rn空間的一個(gè)子空間,其維數(shù)小于n。 對(duì)維數(shù)

24、小于n的能控子空間Rc,一定存在一個(gè)n維的非零向量fRn,且在n維線性空間中與Rc垂直(或稱正交),即fx(0)=0 x(0) Rc因此,由Rc的定義,可得rtAttBRf)(, 00d)(101uue代數(shù)判據(jù)(6/18) 上式對(duì)于任意時(shí)間t1和任意r維空間中的輸入向量u(t)都恒成立,則有fe-AtB0 t0 對(duì)非零向量f,上式恒成立則意味著e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān)。 這與前面的假設(shè)產(chǎn)生矛盾,故原假定狀態(tài)不能控,但e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立是不成立的。因此,充分性得證。 再證必要性再證必要性(結(jié)論結(jié)論條件條件)。 即證明,若系統(tǒng)狀態(tài)能控若系統(tǒng)狀態(tài)能控,則則e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立。

25、的各行函數(shù)線性獨(dú)立。 用反證法證明。 設(shè)設(shè)e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān)的各行函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能控。但狀態(tài)能控。 必要性反證法的思路為:代數(shù)判據(jù)(7/18)e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān)存在非零常數(shù)向量與e-AtB垂直,即與能控子空間垂直能控空間的維數(shù)小于n狀態(tài)不完全能控與假設(shè)矛盾,必要性得證代數(shù)判據(jù)(8/18)rtAttBRf)(, 00d)(101uue證明過程證明過程: e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān),即存在非零向量fRn,使得fe-AtB0 t0因此有代數(shù)判據(jù)(9/18) 由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,即能控狀態(tài)充滿整個(gè)Rn。因此對(duì)非零向量f,一定存在非零的能控狀態(tài)x(0),使得-fx(0)

26、0而對(duì)能控的x(0),又一定存在適當(dāng)?shù)膖1和u(t),使得下式成立:10d)()0(tABuex因此有rtAttBRf)(, 00d)(101uue 上式和式(4-6)矛盾,故原假定e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能控不成立。因此,必要性得證。q 綜上所述,即證明了條件1。110( )d00,( )(4-6)tArBttfeuuR代數(shù)判據(jù)(10/18)(2) 再證明條件再證明條件2 下面通過證明 e-AtB的各行函數(shù)線性相關(guān)等價(jià)于能控性矩陣的各行函數(shù)線性相關(guān)等價(jià)于能控性矩陣Qc非滿非滿秩秩,即rankQc=rankB AB An-1Bt0,t1T),可以找到一個(gè)輸入控制向量u(t), 能在

27、有限時(shí)間t0,t1內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出y(t0)控制到原點(diǎn),即y(t1)=0,則稱系統(tǒng)輸出完全能控,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)輸出能控。 即,若數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系式y(tǒng)(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(y(t1)=0) 為真,則稱系統(tǒng)輸出完全能控。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性(3/5)(3/5)輸出能控性定理輸出能控性定理 若系統(tǒng)存在某個(gè)初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是輸出不完全能控的,簡(jiǎn)稱為輸出不能控。q 定理4-4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D)輸出完全能控的充要條件為輸出能控性矩陣CB CAB CAn-1B D 滿秩,即rank CB CAB

28、 CAn-1B D=m其中m為輸出變量向量y的維數(shù)。 q 定理4-4的證明可仿照定理4-1給出。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性(4/5)(4/5)例例4-74-7q 例例4-7 試判斷如下系統(tǒng)的輸出能控性u(píng)xyuxx0 11 110000q 解 由輸出能控性的代數(shù)判據(jù)有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系統(tǒng)輸出完全能控。 q 對(duì)例4-7中的系統(tǒng),因?yàn)?10101rankrankABB故系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性(5/5)(5/5)q 因此,由例4-7可知,輸出能控性與狀態(tài)能控性是不等價(jià)的兩個(gè)不同

29、概念,它們之間亦沒有必然的聯(lián)系。線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性(1(1/13)/13)4.1.5 線性線性時(shí)變時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)能控性q 以上討論的狀態(tài)能控性判據(jù)是針對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言的,對(duì)時(shí)變系統(tǒng)不成立。 下面給出線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的充分必要判據(jù)。q 定理定理4-5(格拉姆矩陣判據(jù)) 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)(A(t),B(t)在初始時(shí)刻t0上狀態(tài)完全能控的充分必要條件為: 存在t1(t1t0),使得如下能控能控格拉姆格拉姆(Gram)矩陣矩陣為非奇異的100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t

30、B tt tt線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (2/13)2/13)q 證明證明 1) 充分性證明。 即證明，若存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是非奇異的, 則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 若能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是非奇異的,這樣對(duì)任意的初始狀態(tài)x(t0)=x0,總可以定義如下輸入向量u(t)10010( )( )( , )( , )ctBtt t Wt t ux則經(jīng)過有限時(shí)間t0,t1后,可使系統(tǒng)狀態(tài)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (3/13)3/13)q 上式表明,如果能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是非

31、奇異的,那么在有限時(shí)間區(qū)間t0,t1內(nèi),任何一個(gè)初始狀態(tài)x0都可以找到控制規(guī)律在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。 于是系統(tǒng)的狀態(tài)能控性得以證明。0),(),(),(),(),(d),()()(),(),(),(d),(),()()(),(),(d)()(),(),()(010110010010101000100101010100110011101010 xxxxxxuxxttWttWttttttWttttBtBtttttttttWtttBtBtttttttBtttttcccttttctt線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (4/13)4/13)q 2) 必要性證明。 即

32、證明,若系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,則存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是非奇異的。 現(xiàn)采用反證法證明。 假設(shè)對(duì)任意的t1(t1t0),能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是奇異的,但系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 對(duì)任意的t1,能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是奇異的,則必定存在某個(gè)非零的向量x0Rn,使得00101( , )0cW t ttxx線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (5/13)5/13) 由此可導(dǎo)出 由于B(t)(t0,t)x(t0)是t的有限分段連續(xù)向量函數(shù),所以上式成立必導(dǎo)致10100010000000001( , )( , ) ( )( )

33、( , )d( )( , )( )( , )d0tctttW t tt t B t B tt tB tt tB tt tt xxxxxx11000,0),()(tttttttBx線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (6/13)6/13)然而已假定系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,即對(duì)任意初始狀態(tài)x(t0)Rn,都存在有限時(shí)間t1和輸入向量u(t),使得或即上述方程對(duì)u(t)有解。 因此,狀態(tài)方程對(duì)初始狀態(tài)x(t0)=x0一樣存在輸入u(t)的解,即存在u(t)滿足10100110( , ) ( )( , ) ( ) ( )d,( )tntt ttt t B ttttt xuuR10

34、001( )( , ) ( ) ( )d,( )tnttt t B ttttt xuuRntttttttBttRuux)(,d)()(),(10010線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (7/13)7/13) 將上式兩邊左乘以 ,代入式(4-14),可得 由于x0為非零向量,故上式矛盾,即方程(4-15)不存在u(t)的解。 因此原假定對(duì)任意t1(t1t0),能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)是奇異的,但系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,顯然不成立。 故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,則一定存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩陣Wc(t0,t1)必是非奇異的。 于是必要性得以明證。 nttt

35、ttttBttRuux)(,d)()(),(100101000001( , ) ( ) ( )d0,( )tntt t B ttttt x xxuuR0 x線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (8/13)8/13)q 在應(yīng)用由定理4-5給出的線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控的判據(jù)時(shí),需先求出時(shí)變的系統(tǒng)矩陣A(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0),然后再求能控格拉姆矩陣Wc(t1,t0),計(jì)算量較大。 而且狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0)的計(jì)算,對(duì)一般的時(shí)變矩陣A(t)還無(wú)法得到以有限項(xiàng)表示的解析解。 因此,利用定理4-5判定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性有一定困難。 下面給出一個(gè)較為實(shí)用的較為實(shí)用的時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù),該判據(jù)只需利用矩陣A(t)和B(t)的信息即可。100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t B tt tt為非奇異的線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性( (9/13)9/13)q 定理定理4-6(秩判據(jù)