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1、習題課 多元函數(shù)微分學的應用一多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法 例1 已知函數(shù)由方程是常數(shù)，求導函數(shù)。解：方程兩邊對求導，例2 設函數(shù)由方程組 確定， 求. 解 解方程得：=由此得到 .(3) 隱函數(shù)由方程確定，求解： 函數(shù)關系分析: 5 (變量) - 3 (方程)=2(自變量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ), , .二二階偏導數(shù)例3 設，其中函數(shù)于的二階偏導數(shù)連續(xù)，求例4 設，二階連續(xù)可微，求.解記; ,則 ,因為 都是以為中間變量，以為自變量的函數(shù)，所以將以上兩式代入前式得:.三方向?qū)?shù)和梯度例5 設在點可微，如果，求在點的微分答案：例6 設函數(shù)有連

2、續(xù)的偏導數(shù),且在點的兩個偏導數(shù)分, .則在點增加最快的方向是( )四幾何應用例7 求曲面:上切平面與直線平行的切點的軌跡。解: (1) 直線的方向：. 切點為處曲面的法向：. (2)所求軌跡：,軌跡為空間曲線：例8 已知可微，證明曲面上任意一點處的切平面通過一定點，并求此點位置證明：設，于是有：,則曲面在處的切平面是：可以得到：易見當時上式恒等于零。于是知道曲面上任意一點處的切平面通過一定點，此定點為例9 求曲線 ,在點處的切線方程.解: 取，則 所以曲線在處的切向量為 ，于是所求的切線方程為 五極值問題例10 函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在D內(nèi)部偏導數(shù)存在,在的邊界上的值為零，在內(nèi)部滿足，其中是嚴格單調(diào)函數(shù)，且，證明 .證明：假設不恒為0，不妨設其在區(qū)域上某點P處取極大值，則有，這與是嚴格單調(diào)函數(shù)矛盾。例11 （隱函數(shù)的極值）設由確定，求該函數(shù)的極值解：三個方程聯(lián)立，得駐點在點且，點是極小值點；在點且，點是極大值點例12 求原點到曲面的最短距離解：拉格倫日函數(shù)：解方程組，

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