向量代數(shù)與空間解析幾何1

1、第六章 空間解析幾何與向量代數(shù)第二十二講§6.1向量及其運(yùn)算教學(xué)目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的運(yùn)算，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件；掌握空間直角坐標(biāo)系的概念，能利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算；教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的概念及向量的運(yùn)算。難點(diǎn)：運(yùn)算法則的掌握 教學(xué)過(guò)程：一、向量既有大小又有方向的量稱(chēng)作向量通常用一條有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有兩種:、向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量、的模分別記為、.單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,記作.規(guī)定：方向可以看作是任意的.相等向量

2、：方向相同大小相等的向量稱(chēng)為相等向量平行向量（亦稱(chēng)共線向量）：兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱(chēng)這兩個(gè)向量平行.記作a / b.規(guī)定：零向量與任何向量都平行.二、向量運(yùn)算向量的加法向量的加法:設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱(chēng)為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b. 當(dāng)向量a與b不平行時(shí),平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.向量的減法:設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的起點(diǎn)重合,此時(shí)連接兩向量終點(diǎn)且指向被減數(shù)的向量就是差向量。, 2、向量與數(shù)的乘法

3、向量與數(shù)的乘法的定義:向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個(gè)向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當(dāng)l>0時(shí)與a相同,當(dāng)l<0時(shí)與a相反.(1)結(jié)合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn). 解 ：a+b于是(a+b).因?yàn)?所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).定理1 設(shè)向量a¹ 0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)l,使b=la.三、空間直角坐標(biāo)系過(guò)空間

4、一個(gè)點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)。這三條數(shù)軸分別叫做x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸。三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)面。其中x軸與y軸所確定的平面叫做xOy面，y軸與z軸所確定的平面叫做yOz面，z軸與x軸所確定的平面叫做zOx面。三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做卦限。含x軸、y軸、z軸正半軸的那個(gè)卦限叫做第I卦限，其它第，卦限，在xOy坐標(biāo)面的上方，按逆時(shí)針?lè)较虼_定。第到第卦限分別在第到第卦限的下方（如圖）。zyOx 設(shè)P為空間一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作垂直x軸、y軸、z軸的平面，順次與x軸、y軸、z軸交于PX，P

5、Y，PZ，這三點(diǎn)分別在各自的軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)值x，y，z稱(chēng)為點(diǎn)P在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)，由此唯一確定的有序數(shù)組（x，y，z）稱(chēng)為點(diǎn)P的坐標(biāo)。依次稱(chēng)x，y和z為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，并通常記為P（x，y，z）。坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點(diǎn),y=0; 在xOy面上的點(diǎn),z=0. 如果點(diǎn)M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點(diǎn), 有x=y=0. 如果點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算對(duì)向量進(jìn)行加、減及與數(shù)相乘，只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)

6、量運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行:設(shè)a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,ay,az),于是.例2求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-2).解 如同解二元一次線性方程組, 可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3已知兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實(shí)數(shù)l

7、¹-1,在直線AB上求一點(diǎn)M, 使.解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x,y,z),則,.依題意有,即(x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x,y2-y,z2-z),.點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn).當(dāng)l=1,點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn),其坐標(biāo)為,.第二十三講§6.2空間向量數(shù)量積與向量積教學(xué)目的：掌握向量的數(shù)量積、向量積的定義及數(shù)量積的性質(zhì)；掌握其計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。教學(xué)過(guò)程：一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq, 其中q 為

8、F與s的夾角. 數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積,記作a×b, 即a·b=|a|b| cosq. 數(shù)量積與投影: 當(dāng)a¹0時(shí), |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影 數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2)a、b, 為非零向量，a·b =0是ab的充要條件數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c.(3) (la)·

9、b =a·(lb) =l(a·b), 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), 則a·b=axbx+ayby+azbz.設(shè)q是a與b的夾角，則當(dāng)a¹0、b¹0時(shí), 有復(fù)習(xí)高中時(shí)的有代表性的例題例1 一質(zhì)點(diǎn)在力F=4i +2j +2k的作用下,從點(diǎn)A(2, 1, 0)移動(dòng)到點(diǎn)B(5, 2, 6),求F所做的功及F與間的夾角. 解 由數(shù)量積的定義知, F所做的功是W=F.s, 其中s=3i3j+6k是路程向量, 故W=F.s=(4 i +2j +2k).( 3i3j+6k )=18.如果力的單位是牛頓(N),

10、位移的單位是米(m),則F所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有 cos=,因此, F與s的夾角為=.例2求向量a=(5, 2, 5)在 b=(2, 1, 2)上的投影.解Cos<a,b>=6.二、兩向量的向量積向量積: 設(shè)向量c、a、b滿(mǎn)足：c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q 為a與b間的夾角；c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 則稱(chēng)向量c是a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 向量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a´b = -b´a;(2) 分配律: (a+b)´

11、c = a´c + b´c. (3)(la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 向量積的坐標(biāo)表示: 若a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 則=i j +k . = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例3設(shè)a=(1,2,2), b=(2,1,0), 求ab及與a、b都垂直的單位向量.解 ab=ij +k = 2i +4j +5k .所求的單位向量為(2i +4j +5k)=(2i +4j +5

12、k ).例4 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例5設(shè)a=(2, 3, 1), b=(0,1, 1), c=(1, 1, 4),三個(gè)向量是否共面?解 因?yàn)閞 =ab與a、b所確定的平面垂直,所以當(dāng)a、b、c三個(gè)向量共面時(shí), 應(yīng)該有 rc ,即r .c=0. r =ab=(4, 2, 2) ,所以有r .c= (4i +2j +2k).( ij +4k)=42+8=100

13、,因此三個(gè)向量不共面.第二十四講§6.3 空間簡(jiǎn)單圖形及其方程方程教學(xué)目的：掌握直線、平面、常見(jiàn)曲面的方程及其求法；會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：直線、平面方程及其求法。 教學(xué)過(guò)程：一、 平面方程1、平面的點(diǎn)法式方程已知平面上一點(diǎn)M0 (x0,y0,z0)和它的一個(gè)法線向量n=(A,B,C) 則其方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.例1求過(guò)點(diǎn)(2,-3, 0)且以n=(1,-2, 3)為法線向量的平面的方程.解 得所求平面的方程為 (x-2)-2(y+3)+3z=0,即 x-2y+3z-8=0.例2已知空間兩點(diǎn)M1(1,2，-1)、M2

14、(3,-1,2)，求過(guò)M1點(diǎn)且與直線M1 M2垂直的平面方程。例3求過(guò)三點(diǎn)M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.解：我們可以用作為平面的法線向量n.因?yàn)?所以.根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程,得所求平面的方程為 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,即 14x+9y- z-15=0.2、平面的一般方程由平面的點(diǎn)法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0知，任一平面都可用x,y,z的一次方程來(lái)表示。方程Ax+By+Cz+D=0稱(chēng)為平面的一般方程,其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo),即 n=(A,B,C).例如,方

15、程3x-4y+z-9=0表示一個(gè)平面,n=(3,-4, 1)是這平面的一個(gè)法線向量.例4求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面的方程.解平面通過(guò)x軸,一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0;另一方面表明 它必通過(guò)原點(diǎn),即D=0.因此可設(shè)這平面的方程為By+Cz=0.又因?yàn)檫@平面通過(guò)點(diǎn)(4,-3,-1),所以有 -3B-C=0,將其代入所設(shè)方程并除以B (B¹0),便得所求的平面方程為y-3z=0.二、兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系不外是相交、垂直、平行與重合，利用兩平面法向量位置關(guān)系就可判定兩平面的法線向量分別為n1=(A1,B1,C1)和n2=(A2,B2,C2),由于.:

16、 是兩平面夾角，則有A1 A2 +B1B2 +C1C2=0充要條件為平面垂直;則平面重合或平行 例5 求兩平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角. 解 n1=(A1,B1,C1)=(1,-1,2), n2=(A2,B2,C2)=(2,1,1),所以, 所求夾角為.例6 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程. 解1:由M1到點(diǎn)M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1,1,1).設(shè)所求平面的法線向量為n=(A,B,C). 則有nn1,即-A-2C=0,A=-2C.又因?yàn)樗笃矫娲怪?/p>

17、于平面x+y+z=0,所以nn1,即A+B+C=0,B=C. 所求平面為-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0,即2x-y-z=0.解2 從點(diǎn)M1到點(diǎn)M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1,1,1).設(shè)所求平面的法線向量n 可取為n1´ n2. 因?yàn)?所以所求平面方程為2x-y-z=0.三 直線的方程直線是兩平面的交線，即直線的一般式方程：直線上一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)和方向向量s=m, n, p，直線的對(duì)稱(chēng)式方程：例7 將直線表為對(duì)稱(chēng)式解 取x0=1，代入方程組得y0=0、z0= -2，即點(diǎn)(1,0,-2)在直線上。兩平面

18、的法向量分別為n1=1,1,1和n2=2,-1,3，則s= n1×n2=4ij3k，所求對(duì)稱(chēng)式方程為：設(shè)直線l1和l2的方向向量為a=x1, y1, z1、b=x2, y2, z2，則=|cos(a,b)|=。四 幾個(gè)曲面方程例8方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解通過(guò)配方,原方程可以改寫(xiě)成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程,球心在點(diǎn)M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設(shè)有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy,yz,zx各項(xiàng),而且平方項(xiàng)系數(shù)相同,只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式,它的圖形就是一個(gè)球面. 例9方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？解方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓.在空間直角坐標(biāo)系中,這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣,只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿(mǎn)足這方程,那么這些點(diǎn)就在這曲面上.也就是說(shuō),過(guò)xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線