第25屆全國物理競賽決賽試題

1、第25屆全國物理競賽決賽試題考生須知題號五六七-1七-2總分得分閱卷復(fù)核1考生考試前請認(rèn)真閱讀本須知。2本試題包括試題紙和答題紙兩部分，其中試題紙從本頁開始，共3張（6頁），含7道大題，（其中第七題包括7-1和7-2兩部分），總分為140分，試題紙的每一頁下面標(biāo)出了該頁的頁碼和試題紙的總頁數(shù)，請認(rèn)真核對每一頁的頁碼和試題紙的總頁數(shù)是否正確每一頁是否有不清楚的地方，發(fā)現(xiàn)問題請及時與監(jiān)考老師聯(lián)系。3本試卷的第二部分為答題紙，緊接在試題紙的后面，共10張（20頁），請認(rèn)真核對答題紙的每一頁的頁碼和答題紙的總頁數(shù)，請在標(biāo)有對應(yīng)題號的答題紙上解答相應(yīng)的題目。4答題紙的密封線內(nèi)，答題紙的背面和試題紙一律不

2、能寫解答，所寫的解答一律無效。5試題紙與答題紙已經(jīng)裝訂在一起，嚴(yán)禁拆開。6考生可以用發(fā)的草稿紙打草稿，但需要閱卷老師評閱的內(nèi)容一定要寫到答題紙上，閱卷老師只評閱答題紙上的內(nèi)容，寫在草稿紙上的內(nèi)容一律無效。以下為試題一（18分）、足球比賽，一攻方隊員在圖中的A處沿AX方向傳球，球在草地上以速度V勻速滾動，守方有一隊員在圖中B處以d表示A、B間的距離，以7表示AB與AX之間的夾角，已知X90，設(shè)在球離開A處的同時，位于B處的守方隊員開始沿一直線在勻速運動中去搶球，以Vp表示他的速率，在不考慮場地邊界限制的條件下，求解以下問題（要求用題中所給參量間的關(guān)系式表示所求得的結(jié)果）。1 .求出守方隊員可以搶

3、到球的必要條件。2 如果攻方有一接球隊員個處在AX線上等球，以Lr表示他到A點的距離，求球不被原在B處的守方隊員搶斷的條件。3. 如果攻方有一接球隊員個處在AX線上等球，以L表示他到A點的距離，在球離開A處的同時，他開始勻速跑動去接球，以Vr表示其速率，求在這種情況下球不被原在B處的守方隊員搶斷的條件。二（25分）衛(wèi)星的運動可有地面的觀測來決定，而知道了衛(wèi)星的運動，又可以用空間的飛行體或地面上物體的運動，這都涉及到時間和空間坐標(biāo)的測定，為簡化分析和計算，不考慮地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，把它作慣性系。1先來考慮衛(wèi)星的測定，設(shè)不考慮相對論效應(yīng)，在衛(wèi)星上裝有發(fā)射電波的裝置和高精度的原子鐘。假設(shè)在衛(wèi)星上每次發(fā)

4、出的電波信號，都包含該信號發(fā)出的時刻這一信息。（1）地面觀測系統(tǒng)（包含若干個觀測站）可利用從電波中接收到的這一信息，并根據(jù)自己所處的已知位置和自己的時鐘來確定衛(wèi)星每一時刻的位置，從而確定衛(wèi)星的運動。這種測量系統(tǒng)至少需要包含幾個地面觀測站？列出可以確定衛(wèi)星位置的方程。（2）設(shè)有兩個觀測站Di,D2,分別位于同一經(jīng)線上的北緯B度和南緯日度處，若它們同時收到時間.之前衛(wèi)星發(fā)出的電波信號。（a）試求發(fā)出電波時刻衛(wèi)星距地面的最大高度H。（b）當(dāng)D1D2處觀測站的位置的緯度都有很小的誤差日時，試求的H誤差。（3）如果上述的時間.有很小的誤差."：.，試求的H誤差。2. 在上面的小題（1）中，若=

5、45，.=0.10s，（a）試問衛(wèi)星發(fā)射時刻衛(wèi)星距地面的最大高度H是多少km?（b）若3=_1.0，定出的H有多大誤差？（c）若.-=_0.010s，定出的H有多大誤差？假設(shè)地球為半徑R=6.38"03km的球體，光速c=2.998"08km，地面處的重力加速度g=9.81m/s2.3. 再來考慮根據(jù)參照衛(wèi)星的運動來測定一個物體的運動。設(shè)不考慮相對論效應(yīng)。假設(shè)從衛(wèi)星持續(xù)發(fā)出的電波信號包含衛(wèi)星運動狀態(tài)的信息，即每個信號發(fā)出的時刻及該時刻衛(wèi)星的位置，再假設(shè)被觀測的物體上有一臺衛(wèi)星信號接收器（設(shè)其上沒有時鐘），從而可獲知這些信息。為了利用這些信息來確定物體的運動狀態(tài)，即物體接收到

6、衛(wèi)星信號時物體當(dāng)時所處的位置，以及當(dāng)時的時刻，一般來說物體至少需要同時接收到幾個衛(wèi)星同時發(fā)來的信號電波？列出確定物體當(dāng)時位置和當(dāng)時時刻的方程。4. 根據(jù)狹義相對論，運動的鐘比靜止的鐘慢，鐘在引力場中慢?，F(xiàn)在來考慮在上述測量中相對論的這兩種效應(yīng)。已知天上衛(wèi)星的鐘與地面觀測站的鐘零點已對準(zhǔn)，假設(shè)衛(wèi)星在離地面h=2.00104m的圓形軌道上運行，地球半徑R、光速c和地球表面重力加速度g取小題2中給的值。（1）根據(jù)狹義相對論，試估算地上的鐘經(jīng)過24小時后，它的示數(shù)與衛(wèi)星上的鐘的示數(shù)差多少？設(shè)在處理這一問題時可以把勻速直線運動的時鐘走慢的公式用于勻速圓周運動。根據(jù)廣義相對論，鐘在引力場中變慢的因子是（1

7、-22）12是鐘所在位置的引力勢/c（引力勢能與所受引力作用的物體的質(zhì)量之比，取無限遠(yuǎn)處引力勢為0）的大小，試問地上的鐘24小時后，衛(wèi)星上的鐘的示數(shù)與地面上的鐘的示數(shù)差多少？三. （15分）制冷機(jī)是通過外界對機(jī)器做功，把從低溫吸取的熱量連同外界對機(jī)器做功得到的能量一起送到高溫處的機(jī)器。它能使低溫處的溫度降低，高溫處的溫度升高。已知當(dāng)制冷機(jī)工作在絕對溫度為Ti的高溫處和絕對溫度為T2的低溫處之間時，若制冷機(jī)從低溫處吸取的熱量為Q,外界對制冷機(jī)做的功為W,則有WTi-T2式中等號對應(yīng)于理論上的理想情況。某制冷機(jī)在冬天作熱泵使用（即取暖空調(diào)機(jī)），在室外溫度為-5.00C的情況下，使某房間內(nèi)的溫度保持

8、在20.00C。由于室內(nèi)溫度高于室外，故將有熱量從室內(nèi)傳遞到室外。本題只考慮傳導(dǎo)方式的傳熱，它服從以下的規(guī)律：設(shè)一塊導(dǎo)熱層，其厚度為I，面積為S,兩側(cè)溫度差的大小為T，則單位時間內(nèi)通過導(dǎo)熱層由高溫處傳導(dǎo)到低溫處的熱量為其中為導(dǎo)熱率，取決于導(dǎo)熱層材料的性質(zhì)。21.假設(shè)該房間向外散熱是由面向室外的面積為S=5.00m、厚度為I=2.00mm的玻璃引起的，已知該玻璃的導(dǎo)熱率為.=0.75WLIm_k，電費為每度0.50元，試求在理想情況下該熱泵工作12小時需要多少度電？2.若將上述玻璃板換為“雙層玻璃板”，兩層玻璃的厚度均為2.00mm，玻璃板之間夾有厚度為I。=0.50mm的空氣層，假設(shè)空氣的導(dǎo)熱

9、率為直=0.025WLIm，_k*，電費仍為每度0.50元，若該熱泵仍然工作12小時，問這時的電費比上一問單層玻璃情形節(jié)省多少？四. （25分）圖1所示器件由相互緊密接觸的金屬層M薄絕緣層I和金屬層M構(gòu)成，按照經(jīng)典物理的觀點，在I層絕緣性能理想的情況下，電子不可能從一個金屬層穿過絕緣層到達(dá)另一個絕緣層。但是按照量子物理的原理，在一定的條件下，這種渡越是可能的。習(xí)慣上將這一過程稱之為“隧穿”，它是電子具有波動性的結(jié)果。隧穿是單個電子的過程，是獨立的事件。通過絕緣層轉(zhuǎn)移的電荷量只能是電子電荷量-e（e=1.6x:109c）的整數(shù)倍，因此也稱為“單電子隧穿”，MIM器件也稱為“隧穿結(jié)”，或“單電子隧

10、穿結(jié)”。本題涉及對單電子隧穿過程控制的庫侖阻塞原理，由于據(jù)此可望制成尺寸很小的單電子器件，這是目前研究的很多、有應(yīng)用前景的領(lǐng)域。c圖1圖21. 顯示庫侖阻塞原理的最簡單的做法是將圖1的器件看成一個電容為c的電容器。如圖2所示，電容器極板上的電荷來源于金屬極板上導(dǎo)電電子云相對于正電荷的背景的很小的位移，可以連續(xù)變化。如前所述，以隧穿方式通過絕緣層的只可能是分立的單電子電荷。如果隧穿過程會導(dǎo)致體系靜電能上升，則此過程不能發(fā)生，這種現(xiàn)象稱為庫侖阻塞。試求出發(fā)生庫侖阻塞的條件。即電容器極板間的電勢差Vab二Va-Vb在什么范圍內(nèi)單電子隧穿過程被2假定Vab=0-10mV，是剛能發(fā)生的隧穿電壓，試估算電

11、容C的大小，3.將圖1的器件與電壓為V的恒壓源相接時，通常采用圖3所示的雙結(jié)構(gòu)器件來觀察，電子隧穿，避免雜散電容的影響。中間的金屬塊層稱為單電子島。作為電極的左、右金屬塊層分別記為S、D。若已知島中有凈電荷量為-ne,其中凈電子數(shù)n可為正、負(fù)整數(shù)或零，e為電子電荷量大小，兩個MIM結(jié)的電容分別為CS和CD,試證明：雙結(jié)結(jié)構(gòu)器件的靜電能中與島上凈電荷量相關(guān)的靜電能（簡稱單電子島靜電能）為(-ne)22(CsCD)o4. 在圖3給出的具有S（源八D（漏）電極雙結(jié)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過和島連接的電容Cg添加門電極G構(gòu)成如圖4給出的單電子三極管結(jié)構(gòu)，門電極和島間沒有單電子隧穿事件發(fā)生。在V較小且固定的情況

12、下，通過門電壓Vg可控制島中的凈電子數(shù)n，簡單的模型是將Vg的作用視為在島中附加的等效電荷q。=CGVG，這時單電子島的靜電能可近似為Un（-neq。）22C、式中，C-、=CSCDCG。利用答卷紙上的方格圖，考慮庫侖阻塞效應(yīng)，用粗線畫出凈電子數(shù)從n=0開始，C由0增大到3的過程中，單電子島的靜電能Un隨CgVg的變化的圖線（縱坐標(biāo)表示Un,取Un的單位為的變化范圍填在答卷紙表格中。把n=0,1,2,3時;橫坐標(biāo)表示CgVg，取CgVg的單位為e）。要求表出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，并此小題只按作圖及所填表格給分。五. （15分）折射率為n=1.50、半徑為R的透明半圓柱體放在空氣中，其垂直于柱體軸線的橫

13、截面如圖所示，圖中O點為橫截面與軸線的交點，光僅允許從半圓柱體的平面AB進(jìn)入，一束足夠?qū)挼钠叫袉紊庋卮怪庇趫A柱軸的方向以入射角i射至AB整個平面上，其中有一部分入射光束能通過半圓柱體從圓柱面射出，這部分光束在入射到AB面上時沿y軸方向的長度用d表示。本題不考慮在光線在透明圓柱體內(nèi)經(jīng)一次或多次反射后再射出柱體的復(fù)雜情形。1. 當(dāng)平行入射光的入射角i從0到90變化時，試求d的最大值dmax和最小值dmin.2. 在如圖所示的平面內(nèi)，求出射光束與柱面相交的圓弧對O點張角二與入射角i的關(guān)系，并求在掠入射時上述圓弧的位置。六. （17分）根據(jù)廣義相對論，光線在星體的引力場中會發(fā)生彎曲，在包含引力中心的

14、平面內(nèi)是一條在引力中心附近微彎的曲線，它距離引力中心的最近的點，稱為光線的近星點。通過近星點與引力中心的直線，是光線的對稱軸。若在光線所在的平面內(nèi)選擇引力中心為平面極坐標(biāo)（r,J的原點，選取光線的對稱軸為極坐標(biāo)軸，則光線方程（光子的軌跡方程）為GM/2r=/c2_acos©+a2(1+sin2占)G是萬有引力恒量，M是星體質(zhì)量，C是光速，a是絕對值遠(yuǎn)小于1的參數(shù)。現(xiàn)在假設(shè)離地球80.0光年處有一星體，在它與地球球心的連線的中點處有一白矮星。如果經(jīng)過該白矮星兩側(cè)的星光對地球上的觀察者所張的視角是1.8010J弧度，試問此白矮星的質(zhì)量是多少千克？已知6-673<iojim>f

15、kg>2)七-1.(11分)假設(shè)對氦原子基態(tài)采用玻爾模型，認(rèn)為每個電子都在以氦核為中心的圓周上運動，半徑相同，角動量為門，其中h是普朗克常數(shù)。2(1) 如果忽略電子間的相互作用，氦原子的一級電離能是多少eV?一級電離能是指把把其中的一個電子移到無限遠(yuǎn)所需要的能量。(2) 實驗測得的氦原子的一級電離能是24.4eV，若在上述玻爾模型的基礎(chǔ)上來考慮電子之間的相互作用，進(jìn)一步假設(shè)：兩個電子總通過氦核的一條直徑的兩端。試用此模型和假設(shè)，求出電子運動軌道的半徑r0，基態(tài)能量E0以及一級電離能E。并與實驗測得的氦原子的一級電離能相比較。已知電子質(zhì)量m=0.511MeV2,c是光速，組合常數(shù)力c=197.3MeVfm=197.3MeVnm,/c2ke=1.44MeVfm=1.44MeVnm,k是靜電力常量，e是基本電荷。七-LI(14分)右圖是某粒子穿過云室留下的徑跡的照片。徑跡在直面內(nèi)，圖的中間是一塊與紙面垂直的鉛板，外加的恒定的勻強(qiáng)磁場的方向垂直于紙面向里，假設(shè)粒子的電荷的大小是一個基本電荷量e,e=1.60109c,鉛板下部徑跡的曲率半徑r210mm，鉛板上部徑跡的曲率半徑r76