第八課時(shí)基本不等式(一)

1、第八課時(shí)基本不等式(一)教學(xué)目標(biāo)：1. 學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2. 能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)過程均值不等式定理的證明及應(yīng)用。等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。重要不等式：如果a、bR,那么a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)證明：a2+b22ab=(ab)2當(dāng)a豐b時(shí)，(ab)2>0,當(dāng)a=b時(shí)，(ab)2=0所以，(ab)20即a2+b2>2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理：如果a,a+bb是正數(shù)，那么2*ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)證明：(a)2+(:b)2>2aba+b>2,ab即a

2、+b>.ab顯然，當(dāng)且僅當(dāng)za+bja=b時(shí)，2=,abIb說明：1)我們稱a2為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱.ab為a,b的幾何平均數(shù)，因而,此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)22_a+b：a,b都是實(shí)數(shù),2) a+b>2ab和>,ab成立的條件是不同的：前者只要求而后者要求a,b都是正數(shù).3) “當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4) 數(shù)列意義問：a,bR?例題講解：例1已知x,y都是正數(shù)，求證：(1) 如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2.P;(2) 如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值寸S證明：因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以號

3、>,xy(1)積xy為定值P時(shí)，有胄>.Px+y>2.P上式當(dāng)x=y時(shí)，取“=”號，因此，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2,PQ(2)和x+y為定值S時(shí)，有，xy<Sxyw4s2上式當(dāng)x=y時(shí)取"=”號，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值1S2說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件：i) 函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；ii) 函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；iii) 等號成立條件必須存在。師：接下來，我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉均值定理的應(yīng)用例2:已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)>4abcd分析：此題要求

4、學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用,同時(shí)加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得ab+cd2叮abcd>0,ac+bd2>acbd>0,(ab+cd)(ac+bd)二4abcd即(ab+cd)(ac+bd)>4abcd例3某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長

5、度為xm,水池的總造價(jià)為I元，根據(jù)題意，得1600/1600I=240000+720(x+)>240000+720X2；x-xyx=240000+720X2X40=297600當(dāng)x=1600，即x=40時(shí)，I有最小值297600x因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件為了進(jìn)一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用，我們來進(jìn)行課堂練習(xí)課本P91練習(xí)1,2,3,4.3課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)