系統(tǒng)復(fù)頻域域分析

1、信號與系統(tǒng)復(fù)頻域分析n信號復(fù)分析n系統(tǒng)復(fù)分析n系統(tǒng)函數(shù)與特性n系統(tǒng)模擬 頻域分析以虛指數(shù)信號頻域分析以虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2tu(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來

2、解決這些問題。域來解決這些問題。 本章引入復(fù)頻率本章引入復(fù)頻率 s = +j，以復(fù)指數(shù)函數(shù)，以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子為此，可用一衰減因子e- t(

3、 為實常數(shù)）乘信號為實常數(shù)）乘信號x(t) ，適，適當(dāng)選取當(dāng)選取 的值，使乘積信號的值，使乘積信號x(t) e- t當(dāng)當(dāng)t時信號幅度趨時信號幅度趨近于近于0 ，從而使，從而使x(t) e- t的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換為相應(yīng)的傅里葉逆變換為:()( )eed( )edtjtjtx ttx ttswsw-+- - =蝌X(X( +j+j )=)= x(t) e- t= 令令s = + j ，d =ds/j，有，有1( )()ed2tjtx t eXjswswwp- =+()1( )()ed2jtx tXjswswwp+- =+定義( )( )d( )( ( )stX

4、 sx t etX sL x t- =雙邊拉普拉斯變換對X(s)稱為稱為x(t)的雙邊拉氏變換（或的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)象函數(shù)），），x(t)稱為稱為X(s) 的雙邊拉氏逆變換（或的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)原函數(shù)）。）。 FT: FT: 實頻率實頻率 是振蕩頻率是振蕩頻率LT: LT: 復(fù)頻率復(fù)頻率S S 是振蕩頻率，是振蕩頻率， 控制衰減速度控制衰減速度 j1j1( )( )e d( )( )2jstx tX ssx tLX sssp+ - =二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挥羞x擇適當(dāng)?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號 x(t) 的雙的雙邊拉普拉斯變換存在。邊拉普拉斯變

5、換存在。 使使 x(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為X(s)的收斂域的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明X(s)收斂域的問題。收斂域的問題。例例1 因果信號因果信號f1(t)= e t U(t) ，求拉氏變換。，求拉氏變換。()()j100e1( )e ed1limee()()sttstttbtFstssaasawaa-=-解解 可見，對于因果信號，僅當(dāng)可見，對于因果信號，僅當(dāng)Res= 時，其拉氏變換存時，其拉氏變換存在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界1,Re sssaasasa= - = 不定，例例2 反因果信號反因果信號f2

6、(t)= e tU(-t) ，求拉，求拉氏氏變換。變換。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF ，不定不定無界無界)(1Re,ss可見，對于反因果信號，僅當(dāng)可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Res= 時，其收斂域時，其收斂域為為 Res 22131)()(22 sssFtfRes= 32131)()(33 sssFtf 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢姡蠛瘮?shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。須標(biāo)出收斂域。通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點。這樣，標(biāo)

7、原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 單邊拉氏變換單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換def0( )( )edstX sx tt-=defjj1( )( )e d( )2jstx tX ss u tssp+ - 輊犏=犏臌簡記為簡記為 X(s)=Lx(t) x(t)=L-1X(s) 或或 x(t) X(s)常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換1、)(t 0( )( )stX stedtd+ -=0 se1 2、 u(t)0( )( )stX su tedt+ -=dtest 01 0sests1 3、0( )ts tX

8、 seedta+ -=dtets 0)( s1( )teu ta-lim| ( )|0ttx tes-=常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換4、00sin( )cos( )t u tt u tww鬃 （或）0001sin()2jtjtteejwww-=-00111( )()2F sj sjsjww=-+0220sww=+常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換5、0(1)( )( )sttu tF stedt-= 00dtseeststst 02sest21s 2( )( )tu tt u t、斜波和加速度函數(shù)函數(shù)常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換6、sin( )tet

9、u taw-鬃122sin( )( )t u tX sswww撰=+0( )sints tX set edtaw-=鬃()0sinstetdtaw-+=10( )sins tXsetdtw-=122( )()()X sXsswaaw=+=+cos( )tetu taw-撰同理：( )tt eu ta-撰22()ssaaw+2)(1 s 已知：)(t )(t )(tt ( )ntte )(tet )(tett 0sintw0costwcos( )tettaw e-撰sin( )tettaw e-撰常用常用單邊單邊拉氏變換小結(jié)拉氏變換小結(jié)1s121s0220sww+220ssw+ s11!nns+

10、2)(1 s22()ssaaw+22()swaw+一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若x1(t)X1(s) Res 1 , x2(t)X2(s) Res 2則則 a1x1(t)+a2x2(t)a1X1(s)+a2X2(s) Resmax( 1, 2) 例例x(t) = (t) + (t) 1 + 1/s， 0 拉氏變換性質(zhì)拉氏變換性質(zhì)二、尺度變換二、尺度變換若若x(t) X(s) , Res 0，且有實數(shù)，且有實數(shù)a0 ，則則x(at) 1( )sXaa0()()edstL x atx att-=，則，則令令at 0()( )edsaL x atx a-驏-桫驏=桫01( )edsax a-驏-桫=證

11、明：證明：1( )sXaa=三、時移特性三、時移特性若若x(t) X(s) , Res 0, 且有實常數(shù)且有實常數(shù)t00 ,則則x(t-t0)u(t-t0)e-st0X(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合x(at-t0)u(at-t0)01etsasXaa-驏桫例例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。求如圖信號的單邊拉氏變換。解：解：f1(t) = u(t) u(t-1)F1(s)=)e1(1ss 例例2:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.

12、5t) 2F1(2s)f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s域平移）特性域平移）特性若若x(t) X(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則x(t)esat X(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù) F(s)= 12 ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9)1(1 sss例例2: f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解解 cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4)

13、 + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222 ssssssF五、時域的微分特性（微分定理）五、時域的微分特性（微分定理）若若x(t) X(s) , Res 0, 則則x(t) sX(s) x(0-) ( )( )22d( )0(0 )d ( )(0 )(0 )x tLs X sxxts X ssxx-輊輊犏=-臌犏臌=-11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrrx tLs X ssxt- -=輊犏=-犏臌推廣：推廣：證明：證明：()()()000edeedstststx ttx tsx tt-輊=-犏犏臌蝌( ) 0( )xsX s-= -+( )( )()

14、( )( )212110( )(0 )0( )(0 )nnmnnmmxs Xssxxxs Xssx-=-L0121SSSSSnnn 規(guī)律：規(guī)律：(1)(2)(1)( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnX sxxxx-技舉例若若f(t)為因果信號，則為因果信號，則f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? 例例2:?)(cosddttt 122 ssns)(sin)(cos)(cosddttttttt 1112 s六、時域積分特性（積分定理）六、時域積分特性（積分定理）( )( )L x tX s=若，( )1(0 )( )( )dtxX sLx ss- 輊犏=+犏臌01( )

15、d( )ntnx xxX ss-驏桫例例1: t 2 (t) ? )(d)(0ttxxt ttttxxxxx0220)(2d)(d)( 322)(stt 則：例例2:已知因果信號已知因果信號f(t)如圖如圖 ,求求F(s)f(t)t022解解：對：對f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f (t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0 ftfxxft由于由于f(t)為因果信號，故為因果信號，故f(0-)=0 txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)sss22e)e1(1 ssFsF)()(1 結(jié)論：若結(jié)論：若f(t)為因果信號，已知為因果信號，已知f(n)(

16、t) Fn(s) 則則 f(t) Fn(s)/sn七、卷積定理七、卷積定理時域卷積定理時域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsFFtftf d)()(j21)()(2121八、八、s 域微分和積分域微分和積分若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()( nnnssFtftd)(d)()( 例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 32

17、2)2(2)21(dd sss sdFttf )()(例例2：?)(sinttt 11)(sin2 stt d11)(sin2 sttt例例3：?e12 tt211e12 sst stssste1112d)211(1ssarctan2arctan sssss2ln2ln11 九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函數(shù)而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(t) 不含不含 (t) 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)（即（即F(s)為真分式，若為真分式，若F(s)為假分式化為

18、真分式），則為假分式化為真分式），則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 終值定理終值定理 若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時存在，并且時存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)(0ssFfs 例例1：222)(2 ssssF2222lim)(lim)0(22 sssssFfss0222lim)(lim)(2200 sssssFfss例例2：22)(22 ssssF22222lim)(lim)0(22 ssssssFfss22221)(2 ssssF02222lim)(lim)(2200 ssssssFfss拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換直

19、接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開部分分式展開 -結(jié)合結(jié)合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm 若若mn （假分式）（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項式解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF 6116332261161531258)(23223234 sssssssssss

20、sssF由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項式，故多項式P(s)的拉的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。一、零、極點的概念一、零、極點的概念若若F(s)是是s的實系數(shù)有理真分式（的實系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為，則可寫為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm )()()()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsAsBsF 分解分解零點零點極點極點 0)(0)( sFsB因為因為 的零點的零點稱為稱為的根的根是是sFsBzzzzm,0,321 的極點的極點稱為稱為的根的根是是sFsAppppn,0,321 )(0)(sFsA因為因為二、拉氏逆變換的過程求求F(s)的極點的極點將將F(s)展開為部分分式展開為部分分式查變換表求出原函數(shù)查變換表求出原函數(shù)f(t)部分分式展開部分分式展開1.第一種情況：單階實數(shù)極點 ,321為不同的實數(shù)根為不同的實數(shù)根npppp)()()()(21npspspssBsF nnpsKpsKpsKsF 2211)(ipsiisFpsK )()()(e11tpsLtpii 假分式情況：假分式情況：23795)(223 ssssssF作