對一道高考試題解法的探究

1、對一道高考試題解法的探究四川省蓬安中學(xué) 蔣明斌1引言2008年江西高考數(shù)學(xué)理科最后一題為：已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；對任意正數(shù)，證明：第題不難，下面討論第題考試結(jié)束后，考生都認(rèn)為第題太難，根本無從下手，閱卷后回饋的信息也證實(shí)了這一點(diǎn)，第題基本上沒人做，屬于廢題很多高中數(shù)學(xué)教師也認(rèn)為此題很難，參考答案沒出來之前，他們也不知道如何下手，看到參考答案后，覺得證明確實(shí)巧妙，但也只有競賽高手或不等式高手才想得到事實(shí)上，若令，則，問題化為：設(shè)，求證： （1）（1）的背景應(yīng)當(dāng)是下面幾道競賽題：題1 （2004年西部數(shù)學(xué)奧林匹克最后一題）：求證：對任意正實(shí)數(shù)都有 （2）題2（2001年第42屆IMO第二題）

2、：對任意正實(shí)數(shù)，證明 （3）題3 （2003年中國數(shù)學(xué)奧林匹克第三題）：給定正整數(shù)，求最小的正數(shù)使得對于任何，只要，就有.注：時(shí)，題3的答案為 特別地，當(dāng)時(shí)，令，即得：已知，則 （4）所以有數(shù)學(xué)老師發(fā)出了“江西卷最后一題太難，比聯(lián)賽加試題還難”的感嘆此題也引起了著名數(shù)學(xué)家張景中院士的注意，張?jiān)菏空J(rèn)為此題難度較大，適宜競賽而不適合高考命題者提供的參考答案看似推理自然，但實(shí)際上做題者難以想到這促使我們思考，此題真的難么？難在哪里呢？下面對此題的解法作些探討2解法探究2.1 減元，多元化為一元先看命題者的證題思路（其中對（1）右邊不等式的證明基本取自于題3命題人黃玉民對題3的解答）：先將所證問題化為

3、證明三元條件不等式（1），然后應(yīng)用放縮法，通過 來證明左邊不等式的；應(yīng)用及來證明右邊不等式的按這種思路給出的證明確實(shí)有些難，正如前面提到的張景中院士所言“看似推理自然，但實(shí)際上做題者難以想到”原題本來是一個(gè)二元問題，變成（1）則化成了三元問題（實(shí)質(zhì)上是求三元函數(shù)的值域問題），這與學(xué)生熟悉的處理多元問題的減元策略正好背道而馳一個(gè)很自然的思路是將看作常數(shù)（參數(shù)），化為求含參數(shù)的一元函數(shù)的值域問題，具體處理時(shí)須分兩步：第一步，先對固定的求出的值域，即得到的最大值（或最小上界）、最小值（或最大下界）分別為、第二步，證明、對任意實(shí)數(shù)都成立，這樣就把二元問題化為了一元問題，這種思路則是學(xué)生所熟悉的按這種思

4、路又有兩種不同解法：證明1 （應(yīng)用導(dǎo)數(shù)）：在求的值域之前，我們先對變量的范圍作優(yōu)化假設(shè)，記，則，注意到 ，不妨設(shè)，那么，下面在的條件下，求的值域顯然，與的符號相同，又由在內(nèi)是增函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，與符號相同所以，與的符號相同，而，注意到，當(dāng)且僅時(shí)取等號所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由此可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取最大值，又，所以，即對，有 （5）應(yīng)用（5）左邊不等式有，應(yīng)用（5）右邊不等式知，要證，只需證，當(dāng)時(shí)，有 （6）令，由，則它與的符號相同，而當(dāng)時(shí)，因此，在上是減函數(shù)，所以，即（6）成立，故證明2 （不用導(dǎo)數(shù)）： 求的值域及證明（6）不用導(dǎo)數(shù)，而通過平方、換元、分解等變形手段加以

5、解決因?yàn)?令，顯然，所以，又令，則， 當(dāng)時(shí)，因，所以在上是增函數(shù)，則,即；當(dāng)時(shí)，則， 在上是增函數(shù)，則即當(dāng)時(shí)，所以，即此時(shí)的值域?yàn)?；綜上所述：對，有按證法1；要證，只需證(6)，令，由，則（6）等價(jià)于，由知后一不等式顯然成立，所以（6）成立，故注記1證法2中求的值域，若用導(dǎo)數(shù)，可避免分類討論因?yàn)椋?，有，又，因此，對，有，所以在上是增函?shù)，因而，注記2應(yīng)用第二種方法可以很容易求出，當(dāng)時(shí)的值域?qū)嶋H上作者在3給出的第725題：“設(shè)，為正常數(shù)，求函數(shù)的值域”已完全解決了這一問題，得到的結(jié)論為：當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)樽⒂?：上面的證法雖然不是最最簡單的，其證明思路卻是最自然的如

6、果通過合情推理先猜出（5），然后直接證明（5）可以使問題得到簡化令，由，則，考慮極端的情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意到當(dāng)時(shí)，有，可以猜測：當(dāng)時(shí)，有 （7） 證： (7)左邊，而 只需證 ，由知，上式顯然成立，所以（7）左邊的不等式成立令，則，則（7）右邊 ，后一式顯然成立（這是因?yàn)橛捎屑埃纱思坝屑埃?，所以?）左邊的不等式成立2.2 正難則反直接證明不容易時(shí)，我們可以考慮用反證法證明，這里我們用反證法證明與原題等價(jià)的(1)式證明3： 令，則 （8）假設(shè)存在正數(shù)滿足使（1）左邊的不等式不成立，即存在正數(shù)滿足（8）但注意到 ，有，所以，同理，有，故，這與(8)矛盾，因此(1)左邊的不等式成立假設(shè)存在正數(shù)滿足使（1）右邊的不等式不成立，即存在正數(shù)滿足（8）但注意到，有，所以，同理，有，故這與（8）矛盾，因此（1）右邊的不等式成立通過以上分析，我們認(rèn)為此題有一定難度，但也并不是無從下手考生不知道如何下手，并不是缺少相應(yīng)的知識、方法，而是缺乏制