數(shù)學(xué)物理方程_定解問題

1、第二篇第二篇 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程數(shù)理方程）是指從物理）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程程數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中自然界中的的許多許多物理現(xiàn)象物理現(xiàn)象和和普遍規(guī)律普遍規(guī)律.物理規(guī)律是代表某物理物理規(guī)律是代表某物理現(xiàn)象的物理量在空間的現(xiàn)象的物理量在空間的分布規(guī)律和時(shí)間的變化分布規(guī)律和時(shí)間的變化

2、規(guī)律?？捎靡?guī)律。可用u(r,t)表示。表示。物理規(guī)律反應(yīng)的是同一物理規(guī)律反應(yīng)的是同一類物理現(xiàn)象遵從的共同類物理現(xiàn)象遵從的共同規(guī)律，具有普遍性。規(guī)律，具有普遍性。 對于具體問題，由于所對于具體問題，由于所處的處的“環(huán)境環(huán)境”或或“歷史歷史原因原因”不同，代表同一不同，代表同一類物理現(xiàn)象的物理量的類物理現(xiàn)象的物理量的具體表達(dá)式不同。具體表達(dá)式不同。物理規(guī)律的物理規(guī)律的普遍性普遍性具體問題的具體問題的特殊性特殊性泛定方程：泛定方程：數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身叫做泛定方程。邊界條件：邊界條件：物理量在邊界處需滿足的關(guān)系。初始條件：物理量在一開始的狀態(tài)值初始條件：物理量在一開始的狀態(tài)值。定解條件：邊界條件

3、和初始條件合稱為定解條件定解條件：邊界條件和初始條件合稱為定解條件。定解問題：由泛定方程和定解條件構(gòu)成的數(shù)理問題定解問題：由泛定方程和定解條件構(gòu)成的數(shù)理問題。幾個(gè)概念幾個(gè)概念振（波）動(dòng)是研究源與波、場振（波）動(dòng)是研究源與波、場之間的變化關(guān)系之間的變化關(guān)系熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散是研究熱源與溫?zé)醾鲗?dǎo)、擴(kuò)散是研究熱源與溫度場、濃度之間的關(guān)系度場、濃度之間的關(guān)系泊松（泊松（S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法國數(shù)學(xué)家），法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是靜態(tài)勢（或場）方程表示的是靜態(tài)勢（或場）和源分布之間的關(guān)系和源分布之間的關(guān)系定解定解問題問題從物理規(guī)律角度來分析，

4、數(shù)學(xué)物理定解問題表征的從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系多數(shù)為二多數(shù)為二階線性偏階線性偏微分方程微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足播滿足波動(dòng)方程波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方熱傳導(dǎo)方程程靜電場和引力勢滿足靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方拉普拉斯方程或泊松方程程或泊松方程第七章第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題7.1 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模-數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方程的建立具有波動(dòng)方具有波動(dòng)方程的數(shù)理方程的數(shù)理方程的建立程的建立弦的橫振動(dòng)弦的橫振動(dòng) 桿的縱振

5、動(dòng)桿的縱振動(dòng) 再討論再討論定解條定解條件件傳輸線方程傳輸線方程 一、波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程1. 弦的微小橫振動(dòng)弦的微小橫振動(dòng)考察一根長為考察一根長為l且兩端固定、水平拉緊的弦且兩端固定、水平拉緊的弦討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：題要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定確定弦的弦的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪）被研究的物理量遵循哪些物理定理？些物理定理？牛頓第二定律牛頓第二定律. （3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？要

6、研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ； ( , )u x t任選一小段弧任選一小段弧ABC（端點(diǎn)除外），作為研究對（端點(diǎn)除外），作為研究對象。象。 由于其長度非常小由于其長度非常小, 可以看作質(zhì)點(diǎn)?？梢钥醋髻|(zhì)點(diǎn)。 下面下面分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。圖圖7.1注意：注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化 數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在

7、端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)何位置作為考察點(diǎn) 根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律mFau在橫向的運(yùn)動(dòng)方程可以描述為在橫向的運(yùn)動(dòng)方程可以描述為 2211sinsind( d )ttTTg ss u（7.1.1） 作用于小段作用于小段ABC的縱向合力應(yīng)該為零：的縱向合力應(yīng)該為零： 2211coscos0TT (7.1.2) 僅考慮僅考慮微小微小的橫振動(dòng)，的橫振動(dòng)， 21,2221,夾角夾角為很小的量，忽略為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有 2112cos11, cos12! 311111

8、222sintan, sintan3!222d(d )(d )1 () ddxsxuuxx注意到: tansinxuux故由圖故由圖7.1得得1122dtansin, tansinxxxxxuu這樣，這樣，(7.1.1)和和(7.1.2)簡化為簡化為21d21dd (9.1.3) 0 (9.1.4) xxttxxxT uT ug xuxTT(7.1.3)(7.1.4)因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出 12TT ，弦中張力不隨，弦中張力不隨x而變，而變， 可記為可記為 21TTT故有 d()ddxxttxxxT uug xux (7.1.5) 變化量dx可以取得很小，

9、根據(jù)微分知識有下式成立 dddxxxxxxxxuuuxuxx這樣，這樣，ABC段的運(yùn)動(dòng)方程段的運(yùn)動(dòng)方程(7.1.5)(7.1.5)就成為就成為 0 ttxxuTug (7.1.6)即為即為2ttxxua ug （7.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱為弦振動(dòng)方程上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱為弦振動(dòng)方程 其中其中2/aT討論：討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(7.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略由此得到下列齊次右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略由此得到下列齊次偏微分方程：偏微分方程： 2ttxxua u （7.1.8） 稱式（稱式

10、（7.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程。）為弦的自由振動(dòng)方程。(2) 如果在弦的單位長度上還有橫向外力 ( , )F x t作用，則式(7.1.8)應(yīng)該改寫為 2( , )ttxxua uf x t (7.1.9) 式中式中( , )( , )F x tf x t稱為力密度稱為力密度 t，為，為時(shí)刻作用于時(shí)刻作用于x處單位質(zhì)量上的橫向外力處單位質(zhì)量上的橫向外力式（式（7.1.97.1.9）稱為弦的）稱為弦的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)方程方程. . 2、 均勻桿的縱振動(dòng)均勻桿的縱振動(dòng)B段的運(yùn)動(dòng)方程為段的運(yùn)動(dòng)方程為 dd( d )xxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux（7.1.10） 可得可得 0 xx

11、ttYuu（7.1.11） 這就是桿的縱振動(dòng)方程桿的縱振動(dòng)方程 一根桿，只要其中任一小段做縱向移動(dòng)，必然使一根桿，只要其中任一小段做縱向移動(dòng)，必然使它的鄰段壓縮或伸長，這鄰段的壓縮或伸長又使它的鄰段壓縮或伸長，這鄰段的壓縮或伸長又使它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，任一小段的縱它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，任一小段的縱振動(dòng)必然傳播到整個(gè)桿振動(dòng)必然傳播到整個(gè)桿,這種振動(dòng)的傳播是這種振動(dòng)的傳播是縱波縱波.3. 傳輸線方程（電報(bào)方程）傳輸線方程（電報(bào)方程） 在非常長的兩條平行傳輸線的輸入端加上交變電源時(shí)，等效電路為設(shè)傳輸線上任一點(diǎn)處的電壓和電流分別為u(x,t), i(x,t)傳輸線所滿足的方程分別為傳

12、輸線所滿足的方程分別為 2222()LCRC GLGRxttvvvv （7.1.10） 2222()iiLCRCGLGRittix (7.1.11) 式（7.1.10）及（7.1.11）即為一般的傳輸線方程（或電報(bào)方程） 令令 無損耗情況下無損耗情況下2222L Cxtvv（7.1.12） 上式具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同。LCa1222222xvatv7.2.1 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定場方程類型的建立穩(wěn)定場方程類型的建立 1 靜電場的電勢方程靜電場的電勢方程 直角坐標(biāo)系中泊松方程泊松方程為 2222220UUUxyz (7.1)V0若空間中無電荷，即電荷密度，上式成

13、為 2222220UUUxyz (7.8) 稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 二、穩(wěn)定場方程二、穩(wěn)定場方程2. 穩(wěn)定溫度分布穩(wěn)定溫度分布 導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化 故熱傳導(dǎo)方程中對時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程即為下列拉普拉斯方程和泊松方程. 2222220uuuxyz (7.1.19)22222221( , , )uuuf x y zxyza (7.1.20)7. 波動(dòng)方程的定解條件波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件初始條件 波動(dòng)方程含有對時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過程中每點(diǎn)的加速度要確定振動(dòng)狀態(tài)

14、，需知道開始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速度 波動(dòng)方程的初始條件通常是 00( , )|( , )( ), ( , )|( ,0)0)(ttttu x tu xxu x tu xx （7.2.1） 7. 數(shù)學(xué)物理定解條件數(shù)學(xué)物理定解條件例例7.2.1 一根長為 l的弦，兩端固定于 0 x 和xl,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為 b的位置將弦沿著橫向拉開距離的位置將弦沿著橫向拉開距離 h，如圖7.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。 x u o b l h 圖 7.5 【解解】 初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有 0( , )|( ,0)0tttu x tu x 初始位移如圖所示 (0)( ,0)

15、() ()hxxlbu xhlxbxLlb2.邊界條件邊界條件 常見的線性邊界條件分為三類： 第一類邊界條件第一類邊界條件 直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值 第二類邊界條件第二類邊界條件 規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值 000,000( , , , )|(, )xyzu x y z tf xyz t （7.2.2） 000000,(, )xyzuf xyz tn（7.2.3） 第三類邊界條件第三類邊界條件 規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值 000000,()(, )nxyzuHuf xyz t（7.2.4） ftH其中其中是時(shí)間是時(shí)間的已知

16、函數(shù)，為常系數(shù)為常系數(shù) 7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件. 邊界條件分為三類: 1、在邊界上直接給定未知函數(shù)u, 即為第一類邊界條件2、在邊界上給定未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值,即為第二類邊界條件3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的某種線性組合, 即第三類邊界條件. 第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成 ( , )uutn (7.2.5)其中是邊界上的變點(diǎn)； unu表示物理量沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)； , 為常數(shù)，它們不同時(shí)為零 7.3其它邊界條件其它邊界條件

17、除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊第一、第二、第三類邊界條件界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界自然邊界條件，銜接條件條件，銜接條件, 周期性條件周期性條件 7.2.4 數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性 (1) 解的存在性解的存在性 看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一個(gè)解 (3) 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性 定解問題來自實(shí)際，它的解答也應(yīng)回到實(shí)際中去。應(yīng)當(dāng)要求：定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性定解問題的適定性. 當(dāng)定解問題的自由項(xiàng)自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量 三類典型的數(shù)學(xué)物理方程

18、三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表波動(dòng)方程為代表拋物型方程拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程退化為拉普拉斯方程 7.2.6 數(shù)學(xué)物理定解問題的求解方法數(shù)學(xué)物理定解問題的求解方法 1.行波法；行波法；2.分離變量法；分離變量法；3.冪級數(shù)解法；冪級數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；格林函數(shù)法； 5.積分變換法；積分變換法；6.保角變換法；保角變換法； 7.變分法；變分法；8.計(jì)算機(jī)仿真解法；計(jì)算機(jī)仿真解法；9.數(shù)值計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法典型綜合實(shí)例典型綜合實(shí)例 l0 xxl0t ()x lx例例 長為的弦在端固定，另一端自由，且在

19、初始時(shí)刻時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動(dòng)，試寫出此定解問題. 【解解】 （1）確定泛定方程）確定泛定方程： x0 x 取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)， 弦作自由（無外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程 20ttxxua u(2)確定邊界條件確定邊界條件 對于弦的固定端，顯然有 (0, )0ut 另一端自由，意味著其張力為零故0 x lux(3)確定初始條件確定初始條件 ( ,0)0u x0t 根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零 初始速度 0|()tux lxt綜上討論，故定解問題為綜上討論，故定解問題為20 (0,0) (0, )0,|0 (0) ( ,0)0,(

20、,0)() (0) ttxxxx ltua uxl tututu xu xx lxxl歷年試題一、填空題一、填空題 (2010)5、常見的三類數(shù)學(xué)物理方程根據(jù)物理過程可分、常見的三類數(shù)學(xué)物理方程根據(jù)物理過程可分為為 、 和和 ；一、填空題一、填空題 (2009)5. (6分)常見的數(shù)學(xué)物理方程都是線性二階偏微分方程，主要有 ， 和 三類，對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的分類，即 ， 和 ；四、簡述題四、簡述題(2008)3 簡述數(shù)理方程分析物理問題的步驟以及數(shù)理方程、邊界條件的分類。（9分）作業(yè)：作業(yè)： 122頁：頁： 第第3, 7題；題； 128頁：頁： 第第1, 3題題. 7.3 行波法行波法對于常微分方程

21、的求解對于常微分方程的求解, 一般是先求方程的通解一般是先求方程的通解,而通解中含有任意常數(shù)而通解中含有任意常數(shù)(積分常數(shù)積分常數(shù)), 用初始條件用初始條件確定這些常數(shù)確定這些常數(shù). 本節(jié)仿照這個(gè)方法求解偏微分方本節(jié)仿照這個(gè)方法求解偏微分方程的定解問題程的定解問題.先求通解先求通解(其中含其中含有任意函數(shù)有任意函數(shù))用定解條件確定用定解條件確定這些函數(shù)這些函數(shù)波動(dòng)方程的初值問題（一維）波動(dòng)方程的初值問題（一維）)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxuxtxuRxttxfxuatuttt（I）1. 無界弦的自由振動(dòng)無界弦的自由振動(dòng))(),()(),(, 0 ,0022222xtx

22、uxtxuRxtxuatuttt可以改寫為0uxatxat作線性變換,atx atx 方程改寫為02u02u022222xuatuatx atx uuxu22222222uuuxuuuatuuuatu222222222uuuatu02u)(Fu)()( )()(),(212fffdFu)()(),(21atxfatxftxu此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數(shù)f1, f2.)()0 ,(xxu)()()(21xxfxf)()0 ,(xxut)()()(21xxfxfa)()(d)(1)()(0201210 xfxfaxfxfxx其中 為任意一點(diǎn).0 x)()(21d)(21)(21)(02

23、0110 xfxfaxxfxx)()(21d)(21)(21)(020120 xfxfaxxfxxd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu)()(21)()(21atxatxaatxatx把定解問題的解表示為左、右行進(jìn)波把定解問題的解表示為左、右行進(jìn)波相疊加的方法稱為相疊加的方法稱為“行波法行波法”。也可寫為也可寫為物理意義：物理意義：)(),(1atxftxu)()0 ,(1xfxu0t0tt )(),(010atxftxuuxxtuOO0 x00atx xO0 xatx 0)(1xfu )(

24、1atxfuatxO0 xatx 0)(2atxfu)(2xfu at右傳播波右傳播波左傳播波左傳播波例1：xuxuxuatuttt0022222,cos0d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu解：由達(dá)朗貝爾公式解：由達(dá)朗貝爾公式d212)cos()cos(atxatxaatxatxxtxatcoscos2. 無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng))(),()(),(, 0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt)(),()(),( ,0022222xtxtuxtxuxuatutt0),(0),( ),(0022222tttxtutxutxfxuatu（

25、I）（II）（III）疊加原理疊加原理定解問題（I）的解),(Itxu是定解問題(II)的解),(IItxu),(IIItxu與定解問題（III）的解之和。問題（II）的解可以用達(dá)朗貝爾公式來求解。故只須考慮求解問題（III）的解。我們利用齊次化原理來求解問題（III）的解。(在此從略)3. 半無界弦的自由振動(dòng)半無界弦的自由振動(dòng))(), 0()(),( ),(),(0 , 0 ,0022222tgtuxtxtuxtxuxtxuatutt我們先考慮0)(tg情形，即一端 x = 0 固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解。d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu為此，我們要作

26、奇延拓)0(),()0(),(),(xtxuxtxutxU)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxx)(),( ),(),( , 0 ,0022222xtxtUxtxUxtxUatUttd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxU為了得到半無界問題的解，只須限制0 x當(dāng)0, 0atxx時(shí)，當(dāng)0, 0atxx時(shí)，d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxud)(212)()(),(atxxataxatatxtxu當(dāng)在當(dāng)在 x = 0處有一個(gè)自由端，即處有一個(gè)自由端，即0), 0(tux則需要作偶延拓。則需要作偶延拓。例例303,0 t, 0 ,00202222xtttuxuxuxxutu0, 0txx當(dāng)d)3(212)()(),(22txtxtxtxtx