高考專題復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破六　概率統(tǒng)計(jì)在高考中的熱點(diǎn)題型

1、專項(xiàng)突破六概率統(tǒng)計(jì)在高考中的熱點(diǎn)題型概率和統(tǒng)計(jì)命題主要以解答題的形式考查,難度屬中等.主要以生活中的實(shí)際問題為背景,考查隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型、離散型隨機(jī)變量的均值與方差.樣本分布與概率的綜合應(yīng)用典例1甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員,日工資方案如下:甲公司規(guī)定底薪80元,每銷售一件產(chǎn)品提成1元;乙公司規(guī)定底薪120元,日銷售量不超過45件沒有提成,超過45件的部分每件提成8元.(1)請將兩家公司各一名推銷員的日工資y(單位:元)分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;(2)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員,對他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)

2、計(jì),得到如圖所示的條形圖.記甲公司的推銷員的日工資為X,乙公司的推銷員的日工資為Y,將頻率視為概率.若某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員,僅從日均收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為他做出選擇,并說明理由.答題規(guī)范答題過程第一步:利用已知條件,求出甲公司一名推銷員的日工資y與日銷售件數(shù)n的關(guān)系式,得2分;第二步:利用已知條件,求出乙公司一名推銷員的日工資y與日銷售件數(shù)n的關(guān)系式,得2分;第三步:利用條形圖,分別求出X,Y的分布列,得4分;第四步:利用公式求出E(X),E(Y),得2分;第五步:比較E(X),E(Y)的大小,做出選擇,得2分解析(1)由題意得,甲公司一名推銷員的日工

3、資y(單位:元)與日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y=80+n,nN.乙公司一名推銷員的日工資y(單位:元)與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y=120(n45,nN),8n-240(n45,nN).(2)由條形圖可得X的分布列如下:X122124126128130P0.20.40.20.10.1由條形圖可得Y的分布列如下:Y120128144160P0.20.30.40.1所以E(X)=1220.2+1240.4+1260.2+1280.1+1300.1=125,E(Y)=1200.2+1280.3+1440.4+1600.1=136.因?yàn)镋(X)E(Y),所以僅從日均收入的角度考慮,選擇去乙公司更好.方

4、法歸納破解此類條形圖、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、分段函數(shù)相交匯的開放性問題的關(guān)鍵:一是會識圖獲取數(shù)據(jù),能從條形圖中讀出頻數(shù),進(jìn)而求出頻率;二是會運(yùn)用分段函數(shù)式表示所求;三是會對開放性問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如本題中把對兩公司的選擇轉(zhuǎn)化為比較兩公司推銷員的日均收入的高低,從而做出選擇.(2020安徽蚌埠模擬)某省為迎接新高考,擬先對考生某選考學(xué)科的實(shí)際得分進(jìn)行等級賦分,再按賦分后的分?jǐn)?shù)從高到低劃分為A,B,C,D,E五個等級,考生實(shí)際得分經(jīng)賦分后的分?jǐn)?shù)在30分到100分之間.在等級賦分科學(xué)性論證時,對過去一年全省高考考生的該學(xué)科成績重新賦分后進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了2 000名考生的該學(xué)科賦分后的成績,得

5、到如下頻率分布直方圖.(不考慮缺考考生的試卷)(1)求這2 000名考生該學(xué)科賦分后的平均分x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)某市有20 000名考生,請估計(jì)賦分后成績不低于80分的人數(shù);(3)用分層隨機(jī)抽樣的方式在60分到80分的學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本,再從這5人中任選兩人,求這兩人分?jǐn)?shù)都超過70分的概率.解析(1)依題意,x=350.05+450.107 5+550.19+650.3+750.2+850.102 5+950.05=65.(2)依題意,所求人數(shù)為20 000(0.010 2510+0.005 0010)=3 050.(3)由頻率分布直方圖可知,60分到

6、70分與70分到80分的學(xué)生人數(shù)比為32,所以用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取的樣本中,60分到70分的學(xué)生有3人,分別記為A1,A2,A3,70分到80分的學(xué)生有2人,分別記為B1,B2.從中任選兩人,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種情況,而兩人分?jǐn)?shù)都超過70分的情況共有1種,所以從這5人中任選兩人,這兩人分?jǐn)?shù)都超過70分的概率P=110.回歸分析與概率的綜合應(yīng)用典例2隨著人民生活水平的提高,某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增.該小區(qū)建成時間較早,沒有配套建造地下

7、停車場,小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成居民出行不便,物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年(截至2018年年底)小區(qū)登記在冊的私家車數(shù)量(每位業(yè)主至多有一輛車),得到如下表格:年份20142015201620172018年份編號x12345私家車數(shù)量y(單位:輛)3495124181216(1)若私家車數(shù)量y與年份編號x滿足線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測截至2020年年底該小區(qū)的私家車數(shù)量;(2)該小區(qū)于2018年年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造,劃設(shè)了120個停車位.為解決小區(qū)內(nèi)車輛亂停亂放的問題,物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進(jìn)入小區(qū).由于車位有限,物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競拍的方式將車位對業(yè)主出租

8、,租期為一年,競拍方案如下:截至2018年年底已登記在冊的私家車業(yè)主擁有競拍資格;每輛車至多申請一個車位,由車主在競拍網(wǎng)站上提交申請并給出自己的報價;根據(jù)物價部門的規(guī)定,競價不得超過1 200元;申請階段截止后將所有申請的業(yè)主的報價自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報價成交;若最后出現(xiàn)并列的報價,則提交申請?jiān)谇暗臉I(yè)主獲得車位.為預(yù)測本次競拍的成交最低價,物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競拍資格的40位業(yè)主進(jìn)行競拍意向的調(diào)查,統(tǒng)計(jì)了他們的擬報競價(單位:百元),得到如下頻率分布直方圖:(i)求所抽取的業(yè)主中有意向競拍且擬報競價不低于1 000元的人數(shù);(ii)如果所有符合條件的業(yè)主均參與競拍,利用樣本估

9、計(jì)總體的思想,請你預(yù)測至少需要報價多少元才能競拍車位成功.(精確到整數(shù))附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=ybx.答題規(guī)范答題過程第一步:根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出x,y,得2分;第二步:運(yùn)用公式求出b,a,得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,然后進(jìn)行預(yù)測,得4分;第三步:由頻率分布直方圖求出有意向競拍且擬報競價不低于1 000元的人數(shù),得2分;第四步:求出競拍成功的比例,然后結(jié)合頻率分布直方圖,預(yù)測出競拍成功的最低報價,得4分解析(1)由題表中數(shù)據(jù),得x=15(1

10、+2+3+4+5)=3,y=15(34+95+124+181+216)=130,則b=(-2)(-96)+(-1)(-35)+0+151+286(-2)2+(-1)2+0+12+22=45010=45.a=ybx=130-453=-5,故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=45x5,令x=7,得y=310,所以預(yù)測截至2020年年底該小區(qū)的私家車數(shù)量為310輛.(2)(i)由頻率分布直方圖可知,有意向競拍且擬報競價不低于1 000元的頻率為(0.25+0.05)1=0.3,所以有意向競拍且擬報競價不低于1 000元的人數(shù)為400.3=12.(ii)因?yàn)?20216=59,所以競價自高到低排列位于前59的業(yè)主

11、可以競拍成功,結(jié)合頻率分布直方圖,預(yù)測競拍成功的最低報價為1 00059-3100.4100936(元).方法歸納建立一元線性回歸模型的基本步驟:(1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是響應(yīng)變量.(2)畫出解釋變量和響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系,則選用經(jīng)驗(yàn)回歸方程).(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大,殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等).若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等.(2020福建漳州模擬)某芯片公

12、司為了制訂下一年的某種產(chǎn)品研發(fā)投入計(jì)劃,需要了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)和年收益z(單位:億元)的影響,為此收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理,得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.為了進(jìn)一步了解年研發(fā)資金投入量x對年銷售額y的影響,公司三位員工查閱大量資料,對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析,分別提出了三個回歸方程模型:y=a+bx;y=c+dx2;y=fegx.xyi=112(xix)2i=112(xix)(yiy)i=112(yiy2)4066770250200ui=112(uiu)2i=112(uiu)(xix)vi=

13、112(viv)2i=112(vi v)(yi y)3.600.499.8065.0030.00表中ui=ln yi,vi=xi2.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖及表中數(shù)據(jù),請分別選用兩個比較恰當(dāng)?shù)幕貧w方程模型,建立y關(guān)于x的回歸方程;(2)(i)根據(jù)(1)中的回歸方程模型,從數(shù)據(jù)相關(guān)性的角度考慮,判斷哪一個更適宜作為年銷售額y關(guān)于年研發(fā)資金投入量x的回歸方程,并說明理由;(ii)已知這種產(chǎn)品的年收益z服從正態(tài)分布N(40,204.75),那么這種產(chǎn)品的收益超過54.31億元的概率為多少?附:經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)公式:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(x

14、i-x)2,a=ybx,r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2;若zN(,2),則有P(-z+)=0.682 7,P(-2z+2)=0.954 5;參考數(shù)據(jù):377.319.42,103.16,204.7514.31.解析(1)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中x與y之間不是線性關(guān)系,所以可以判斷模型不適合.故選用兩個回歸方程模型.令v=x2,先建立y關(guān)于v的經(jīng)驗(yàn)回歸方程:設(shè)y關(guān)于v的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=dv+c.因?yàn)閐=i=112(vi-v)(yi-y)i=112(vi-v)2=30.005.00=6,所以c=ydv=66-66=30,所以y關(guān)于v的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=30+

15、6v,因此模型為y=30+6x2.由y=fegx,得ln y=gx+ln f,令u=ln y,=g,=ln f,所以u=x+,因?yàn)?i=112(ui-)(xi-x)i=112(xi-x)2=9.807700.013,所以=ux=3.6-0.01340=3.08,所以u關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為u=0.013x+3.08,因此模型為y=e0.013x+3.08.(2)(i)模型中,相關(guān)系數(shù)r2=i=112(vi-v)(yi-y)i=112(vi-v)2i=112(yi-y)2=30.005200=310100.33.16=0.948,模型中,相關(guān)系數(shù)r3=i=112(ui-u)(xi-x)i=112

16、(ui-u)2i=112(xi-x)2=9.800.497700.505,可得r3r254.31)=1-0.682 72=0.158 65.獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合應(yīng)用典例3某種常見疾病可分為,兩種類型.為了了解所患該疾病的類型與地域、初次患該疾病的年齡(單位:歲)(以下簡稱為初次患病年齡)的關(guān)系,在甲、乙兩個地區(qū)隨機(jī)抽取了100名患者調(diào)查其所患疾病類型及初次患病年齡,得到如下數(shù)據(jù).初次患病年齡甲地區(qū)型疾病患者人數(shù)甲地區(qū)型疾病患者人數(shù)乙地區(qū)型疾病患者人數(shù)乙地區(qū)型疾病患者人數(shù)10,20)815120,30)433130,40)352440,50)384450,60)392660,7021117(1

17、)從型疾病患者中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)其初次患病年齡小于40歲的概率;(2)記初次患病年齡在10,40)內(nèi)的患者為“低齡患者”,初次患病年齡在40,70內(nèi)的患者為“高齡患者”.根據(jù)表中數(shù)據(jù),解決以下問題:(i)將以下兩個列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個變量中哪個變量與所患疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大;(直接寫出結(jié)論,不必說明理由)表一疾病類型患者所在地域型型總計(jì)甲地乙地總計(jì)100表二疾病類型初次患病年齡型型總計(jì)低齡高齡總計(jì)100(ii)記(i)中與所患疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為X,試判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為所患疾病的類型與X有關(guān).附:K2=n

18、(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828答題規(guī)范答題過程第一步:根據(jù)題表數(shù)據(jù)求出甲、乙兩個地區(qū)型疾病患者的人數(shù)和型疾病患者初次患病年齡小于40歲的人數(shù),得出概率,得4分;第二步:根據(jù)題表數(shù)據(jù)把兩個列聯(lián)表補(bǔ)充完整并給出判斷,得4分;第三步:求出K2值,并利用臨界值表作出統(tǒng)計(jì)推斷,得4分解析(1)依題意,甲、乙兩地區(qū)型疾病患者共40人,甲、乙兩地區(qū)型疾病患者初次患病年齡小于40歲的人數(shù)分別為15,10,則從型疾病患者中隨機(jī)抽取1人,其初次患病年齡

19、小于40歲的概率的估計(jì)值為15+1040=58.(2)(i)填寫列聯(lián)表如下.表一疾病類型患者所在地域型型總計(jì)甲地233760乙地172340總計(jì)4060100表二疾病類型初次患病年齡型型總計(jì)低齡251540高齡154560總計(jì)4060100“初次患病年齡”與所患疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.(ii)由(i)可知X為初次患病年齡,根據(jù)表二中的數(shù)據(jù)可得K2=100(2545-1515)24060406014.06310.828,所以認(rèn)為所患疾病的類型與X有關(guān),此判斷犯錯誤的概率不大于0.001.方法歸納本題考查頻數(shù)分布表、獨(dú)立性檢驗(yàn)、概率等多個知識點(diǎn),且以生活題材為背景,使整個題目顯得新穎.解決本

20、題的關(guān)鍵是會準(zhǔn)確讀取頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù),并會用頻率來估計(jì)概率,充分利用22列聯(lián)表,從而準(zhǔn)確計(jì)算出K2的值,并與臨界值進(jìn)行對比,進(jìn)而作出統(tǒng)計(jì)推斷.為了解使用手機(jī)對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響,某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,對其學(xué)習(xí)成績和使用手機(jī)的情況進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示(不完整):使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀1040學(xué)習(xí)成績一般30總計(jì)100(1)將所給表格補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用手機(jī)有關(guān);(2)現(xiàn)從上表中不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績是否優(yōu)秀分層隨機(jī)抽樣選出6人,再從這6人中隨機(jī)抽取3人,求其中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生恰有2人的概率.參考公式: K2=n(ad-b

21、c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):P(K2k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解析(1)補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下.使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀104050學(xué)習(xí)成績一般302050總計(jì)4060100K2=100(1020-3040)25050406016.6710.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用手機(jī)有關(guān).(2)從不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績是否優(yōu)秀分層隨機(jī)抽樣選出6人,其中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的有4人,學(xué)習(xí)成績一般的有2人,從這6人中隨機(jī)抽取3人,有C63=20種

22、取法,其中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生恰有2人的取法有C21C42=12種,因此所求概率為1220=35.題型一樣本分布與概率的綜合應(yīng)用 1.(2020湖北黃石第二中學(xué)模擬)某物流公司專營從甲地到乙地的貨運(yùn)業(yè)務(wù)(貨物全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝),現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了最近100天內(nèi)每天可配送的貨物量,按照可配送貨物量T(單位:箱)分成了以下幾組:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值為代表,將頻率視為概率).(1)該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層隨機(jī)抽樣的方法從前3組中隨機(jī)抽出11天的數(shù)據(jù)來分析可配送貨物量少

23、的原因,并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行財務(wù)分析,求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來自50,60)這一組的概率;(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該物流公司每日的可配送貨物量T(單位:箱)服從正態(tài)分布N(,14.42),其中近似為樣本平均數(shù).(i)試?yán)迷撜龖B(tài)分布估計(jì)該物流公司2 000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間54.1,97.3內(nèi)的天數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(ii)該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制訂了兩種不同的工作獎勵方案.方案一:直接發(fā)放獎金,按每日的可配送貨物量劃分為以下三級:T60時,獎勵50元;60T80時,獎勵80元;T80時,獎勵120元.方案二:利用抽

24、獎的方式獲得獎金,其中每日的可配送貨物量不低于時有兩次抽獎機(jī)會,每日的可配送貨物量低于時只有一次抽獎機(jī)會,每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率如下:獎金50100概率4515小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工,試從數(shù)學(xué)期望的角度分析,小張選擇哪種獎勵方案對他更有利.附:若ZN(,2),則P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.解析(1)由分層隨機(jī)抽樣可知,這11天中前3組的數(shù)據(jù)分別有1個,4個,6個,所以至少有2天的數(shù)據(jù)來自50,60)這一組的概率P=C42C71C113+C43C113=46165.(2)(i)由題意得=450.05+550.2+650.3+750.3+850.1+

25、950.05=68.5,所以P(54.1T97.3)=P(68.5-14.4T68.5+28.8)12(0.682 7+0.954 5)=0.818 6.故2 000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間54.1,97.3內(nèi)的天數(shù)為2 0000.818 6=1 637.21 637.(ii)易知P(TE(X),所以從數(shù)學(xué)期望的角度看,小張選擇方案二更有利.2.(2020湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)盟模擬)為慶祝新中國成立70周年,某市工會組織部分事業(yè)單位職工舉行“迎國慶,廣播操比賽”活動.現(xiàn)有200名職工參與了此項(xiàng)活動,將這200人按照年齡(單位:歲)分組,第一組:15,25),第二組:25,35),第三

26、組:35,45),第四組:45,55),第五組:55,65,得到的頻率分布直方圖如圖所示.記事件A為“從這200人中隨機(jī)抽取一人,其年齡不低于35歲”,已知P(A)=0.75.(1)求a,b的值;(2)在第二組、第四組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人作為活動的負(fù)責(zé)人,求這2人恰好都在第四組中的概率.解析(1)由題意知P(A)=10(a+0.030+0.010)=0.75,解得a=0.035,又10(b+0.010)=0.25,所以b=0.015.(2)在第二組、第四組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人,則在第二組中應(yīng)抽取2人,分別記為a1,a2,在第四組中應(yīng)抽取4人,分別記

27、為b1,b2,b3,b4,從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能情況有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15種.其中從這6人中抽取的2人恰好都在第四組中的情況有(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共6種,所以所求概率為615=25.3.(2020內(nèi)蒙古高三模擬)某種產(chǎn)品的質(zhì)量m以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如下表:質(zhì)量指標(biāo)

28、值m185185m205m205等級三等品二等品一等品從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下頻率分布直方圖:(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一等品至少要占全部產(chǎn)品50%”的規(guī)定?(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(216,139),則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了多少?解析(1)根據(jù)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),知一等品所占比例的估計(jì)

29、值為0.260+0.090+0.025=0.375.由于該估計(jì)值小于0.5,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一等品至少要占全部產(chǎn)品50%”的規(guī)定.(2)由頻率分布直方圖知,一、二、三等品的頻率分別為0.375,0.5,0.125,故在樣本中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的8件產(chǎn)品中,一等品有3件,二等品有4件,三等品有1件,再從這8件產(chǎn)品中抽取4件,一、二、三等品都有的情況有2種:一等品2件,二等品1件,三等品1件.一等品1件,二等品2件,三等品1件.故所求概率P=C32C41C11+C31C42C11C84=37.(3)“質(zhì)量提升月”活動前,該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為1700.025

30、+1800.1+1900.2+2000.3+2100.26+2200.09+2300.025200.“質(zhì)量提升月”活動后,產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(216,139),即質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為216.所以,“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了16.4.(2020黑龍江哈爾濱二模)某校積極響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召,實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課,為檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果,高三年級進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全年級共有1 500人,現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績,繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).已知這100人中,110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比100,110)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6.(

31、1)求頻率分布直方圖中a,b的值,并估計(jì)抽取的100名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);(2)若年級打算給數(shù)學(xué)成績不低于135分的同學(xué)頒發(fā)“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀獎”,將這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的樣本頻率視為概率.(i)估計(jì)全年級的獲獎人數(shù);(ii)若從大量高三年級學(xué)生中隨機(jī)選取3人,求所選3人中至少有2人獲獎的概率.解析(1)依題意知a+b=0.046,1 000(b-a)=6,解得a=0.02,b=0.026,設(shè)中位數(shù)為x,所以0.02+0.08+0.14+0.2+(x-110)0.026=0.5,解得x=112413.所以中位數(shù)為112413.(2)(i)因?yàn)闃颖局袛?shù)學(xué)成績不低于135分的學(xué)生人數(shù)為(0.

32、005+0.012)1 000=10,所以估計(jì)全學(xué)年獲獎人數(shù)為101001 500=150,答:估計(jì)全年級的獲獎人數(shù)為150.(ii)設(shè)所選3人中獲獎人數(shù)為X,則XB(3,0.1),則P(X2)=C320.120.9+0.13=0.028,所以所選3人中至少有2人獲獎的概率為0.028.題型二回歸分析與概率的綜合應(yīng)用1.(2020江蘇蘇州第一中學(xué)模擬)某公司準(zhǔn)備實(shí)施對一項(xiàng)產(chǎn)品的科技改造,經(jīng)過充分的市場調(diào)研與模擬,得到x,y之間的五組數(shù)據(jù)如下表:x23578y58121416其中x(單位:百萬元)是科技改造的總投入,y(單位:百萬元)是改造后的額外收益.已知x=5,y=11,G(x,y)=2x+

33、y是對當(dāng)?shù)厣a(chǎn)總值的增長貢獻(xiàn)值.(1)若從以上五組數(shù)據(jù)中任取兩組,求至少有一組滿足G(x,y)25的概率;(2)對于表中數(shù)據(jù),甲、乙兩名同學(xué)給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為l1:y=2x+1,l2:y=52x32,試用最小二乘法判斷哪條直線的擬合效果更好.附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),若其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+a,Q=i=1n(yi-bxi-a)2,則Q越小擬合效果越好.解析(1)由題意知,最后兩組數(shù)據(jù)滿足條件,將所給五組數(shù)據(jù)分別記為A,B,C,D,E,則從五組數(shù)據(jù)中任意取出兩組的情況有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10種,其中有一組

34、數(shù)據(jù)滿足條件的情況有6種(為AD,BD,CD,AE,BE,CE),兩組數(shù)據(jù)均滿足條件的情況有1種(為DE),故共有7種情況滿足條件.故所求概率P=710.(2)根據(jù)甲同學(xué)給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程列表如下:x23578y58121416y=2x+157111517根據(jù)乙同學(xué)給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程列表如下:x23578y58121416y=52x323.56111618.5由表中數(shù)據(jù)及Q的公式得,Q甲=02+12+12+(-1)2+(-1)2=4,Q乙=1.52+22+12+(-2)2+(-2.5)2=17.5,Q甲Q乙,直線l1的擬合效果更好.2.(2020陜西西安西北工業(yè)大學(xué)模擬)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差

35、與某反季節(jié)大豆新品種的發(fā)芽數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日每天的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x/攝氏度101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率;(2)若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a,由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選取的檢

36、驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是可靠的,試問:(2)中所得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否可靠?附:參考公式:b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2,a=ybx.解析(1)設(shè)“抽到不相鄰2天的數(shù)據(jù)”為事件A,從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C52=10種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的,其中抽到相鄰2天的數(shù)據(jù)的情況有4種,所以P(A)=1-410=35.(2)由題表中數(shù)據(jù),可得x=10.8,y=24,i=15xiyi=1 335,i=15xi2=598,5x y=1 296,5x2=583.2,所以b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx22.6,a=ybx=4.08.

37、所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=2.6x-4.08,當(dāng)x=10時,y=2.610-4.08=21.92,|21.92-23|2;當(dāng)x=8時,y=2.68-4.08=16.72,|16.72-16|2,所以,該農(nóng)科所得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是可靠的.3.(2020四川成都樹德中學(xué)高三適應(yīng)性考試)某地區(qū)在一次考試后,從全體考生中隨機(jī)抽取44名,獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績x(單位:分)和物理成績y(單位:分),繪制成如下散點(diǎn)圖:根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,但圖中有兩個異常點(diǎn)A,B.經(jīng)調(diào)查得知,A考生由于感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常,B考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確,剔除這

38、兩組數(shù)據(jù)后,對剩下的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到一些統(tǒng)計(jì)值:i=142xi=4 641,i=142yi=3 108,i=142xiyi=350 350,i=142(xi-x)2=13 814.5,i=142(yi-y)2=5 250,其中xi,yi分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績,i=1,2,42,y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r0.81.(1)若不剔除A,B兩名考生的數(shù)據(jù),用44組數(shù)據(jù)作回歸分析,設(shè)此時y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為r0,試判斷r0與r的大小關(guān)系,并說明理由;(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并估計(jì)如果B考生參加了這次物理考試(已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?25分),那么其物理成績

39、是多少;(精確到個位)(3)從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看,本次考試該地區(qū)的物理成績X服從正態(tài)分布N(,2).以剔除后的物理成績作為樣本,用樣本平均數(shù)y作為的估計(jì)值,用樣本方差s2作為2的估計(jì)值.試求該地區(qū)5 000名考生中,物理成績位于區(qū)間62.8,85.2的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望.(精確到個位)附:經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=ybx.若XN(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5.12511.2.解析(1)r0r.理由如下:由題圖可知,y與x呈現(xiàn)正相關(guān).異常點(diǎn)A,B會降低變量之間的線性相關(guān)程度.44個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其經(jīng)驗(yàn)回

40、歸直線的總偏差更大,回歸效果更差,所以樣本相關(guān)系數(shù)更小.42個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的總偏差更小,回歸效果更好,所以樣本相關(guān)系數(shù)更大.42個數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其經(jīng)驗(yàn)回歸直線.44個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其經(jīng)驗(yàn)回歸直線更離散.(2)設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+a.由題中數(shù)據(jù)可得,x=142i=142xi=110.5,y=142i=142yi=74,所以i=142(xi-x)(yi-y)=i=142xiyi42xy=350 350-42110.574=6 916.又因?yàn)閕=142(xi-x)2=13 814.5,所以b=i=142(xi-x)(yi-y)i=142(xi-x)20.50,a=ybx=74-0.

41、50110.5=18.75,所以y=0.50x+18.75.將x=125代入,得y=0.50125+18.75=62.5+18.7581,所以估計(jì)B考生的物理成績?yōu)?1分.(3)y=142i=142yi=74,s2=142i=142(yi-y)2=1425 250=125,所以XN(74,125),又因?yàn)?2511.2,所以P(62.8X85.2)=P(74-11.2X74+11.2)0.682 7,所以ZB(5 000,0.682 7),所以E(Z)=5 0000.682 73 414,即該地區(qū)本次考試物理成績位于區(qū)間62.8,85.2的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望約為3 414.4.(2020四川遂寧

42、二中高三適應(yīng)性考試)春節(jié)的意義在于團(tuán)圓與和諧,外出遠(yuǎn)行的人們會盡可能地回家過年,中國人口基數(shù)大,便有了春運(yùn)這一獨(dú)特的現(xiàn)象.為更準(zhǔn)確了解返鄉(xiāng)人流情況,以便有針對性地布置工作,某地交通管理部門調(diào)取了轄區(qū)內(nèi)幾個主要路口的監(jiān)控錄像,連續(xù)記錄了第x天(x=1,2,3,4,5,6)同一時間段的外地返鄉(xiāng)汽車數(shù)量的平均數(shù)y,且y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,其中i=16xi2=91,i=16yi=55.8,i=16xiyi=226.8.(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測第10天該時間段的汽車數(shù)量的平均數(shù);(2)為鼓勵在外工作的人員回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),當(dāng)?shù)卣瞥鲆环N“回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)優(yōu)惠”宣傳電話卡券,發(fā)放給所調(diào)查的部分返鄉(xiāng)的外地

43、車車主并進(jìn)行抽獎活動,活動方案如下:車主需要從9張卡券中不放回地抽取3張,其中1張卡券的面額為500元,4張卡券的面額均為300元,另外4張卡券的面額均為100元,所抽到的3張卡券的金額之和X即該車主所獲得的電話卡券的最終金額.求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考公式:b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=ybx.解析(1)由題意得x=1+2+3+4+5+66=3.5,y=55.86=9.3,所以b=i=16xiyi-nx yi=16xi2-nx2=226.8-63.59.391-63.52=1.8,a=9.3-1.83.5

44、=3,所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=1.8x+3,將x=10代入,得y=1.810+3=21.所以第10天該時間段的汽車數(shù)量的平均數(shù)為21.(2)X的可能取值為1 100,900,700,500,300,則P(X=1 100)=C11C42C93=114,P(X=900)=C11C41C41+C43C93=521,P(X=700)=C11C42+C42C41C93=514,P(X=500)=C41C42C93=27,P(X=300)=C43C93=121.所以X的分布列為X1 100900700500300P11452151427121E(X)=1 100114+900521+700514+

45、50027+300121=700.題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合應(yīng)用1.為防控新冠肺炎,各地中小學(xué)延期開學(xué).某學(xué)校積極響應(yīng)“停課不停學(xué)”政策,在甲、乙兩班分別開展了H、G兩個不同平臺的線上教學(xué),經(jīng)過一段時間的試用,從兩班各隨機(jī)調(diào)查了20名同學(xué),得到他們各自對所使用平臺的評價結(jié)果如下:評價結(jié)果差評一般好評甲班5人10人5人乙班2人8人10人(1)假設(shè)兩個班的評價相互獨(dú)立,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,若從甲、乙兩班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,求甲班學(xué)生的評價結(jié)果比乙班學(xué)生的評價結(jié)果好的概率;(2)根據(jù)對兩個班的調(diào)查,完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為是不是“差評”與線上平臺有關(guān).差評好評或一般總計(jì)H平臺G平臺總計(jì)附: K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解析(1)記A1表示事件:從甲班抽取的學(xué)生的評價結(jié)果為“好評”;A2表示事件:從甲班抽取的學(xué)生的評價結(jié)果為“一般”;B1表示事件:從乙班抽取的學(xué)生的評價結(jié)果為“差評”或“一般”;B2表示事件:從乙班抽取的學(xué)生的評價結(jié)果為“差評”;C表示事件:甲班學(xué)生的評價結(jié)果比乙班學(xué)生的評價結(jié)果好.因?yàn)閮蓚€班的評價相互獨(dú)立,所以P(C)=P(A1B1+A2B2)=P(A1)P(