第一章自由振動

1、 34206332-818興建興建 34206332-818EM206 辦公室 機(jī)械樓A樓818/818室1.基礎(chǔ)知識2.單自由度自由振動3.單自由度強(qiáng)迫振動4.任意激勵下的響應(yīng)正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述t正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述簡諧運(yùn)動可由長度為簡諧運(yùn)動可由長度為A且以固定的角速且以固定的角速度旋轉(zhuǎn)的向量來表示度旋轉(zhuǎn)的向量來表示求兩個簡諧運(yùn)動的和求兩個簡諧運(yùn)動的和方法方法1： 三角函數(shù)法三角函數(shù)法方法方法2：矢量運(yùn)算法：矢量運(yùn)算法根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為：根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為：方法方法3：復(fù)數(shù)方法：復(fù)數(shù)方法分別表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的分別表示為復(fù)數(shù)形式后再

2、按復(fù)數(shù)的加減法規(guī)則：加減法規(guī)則： Mass - mStiffness - k不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運(yùn)動方程最終可以不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運(yùn)動方程最終可以歸結(jié)為一個二階常微分方程組歸結(jié)為一個二階常微分方程組0mxkxNot driven by external force ( )estx tcLetthen2estxcs代入方程，可以得到20msk1,2nsi 且：/nk m固有圓頻率固有圓頻率所以，解的一般形式可以寫成12( )s ts tx tAeBe( )nnititx tAeBe12( )sin()cos()nnx tctct(1)單自由系統(tǒng)的解單自由系統(tǒng)的解特征值特征值

3、特征方程特征方程求求 c1 和和 c2 c1 和 c2 是和初值相關(guān)的常數(shù)，可有x(0) and 得到(0)x 12( )cos()sin()nnnnx tctct12( )sin()cos()nnx tctct2(0)xc1(0)nxc2(0)cx1(0)nxc(0)( )sin()(0)cos()nnnxx ttxt簡諧振動簡諧振動(0)( )sin()(0)cos()nnnxx ttxt22(0)( (0) /)nRxx (0)arctan (0)0(0)(0)+arctan (0)0(0)nnxxxxxx( )cos()nx tRtwithand簡諧振子簡諧振子xto(0)xRnn2/

4、nn (2)固有頻率的討論固有頻率的討論,/nstkkggWkmmgWknstg固有頻率固有頻率12nstgf12stnnTfg固有周期固有周期固有圓頻率固有圓頻率速度、加速度速度、加速度通過簡單的微分關(guān)系，可以從振動位移通過簡單的微分關(guān)系，可以從振動位移求得振動速度及加速度求得振動速度及加速度( )sin()nnv tRt 2( )cos()nna tRt Position, velocity and acceleration of a harmonic oscillator( )cos()nx tRtPosition, velocity and acceleration of a SHM

5、as phasors能量關(guān)系能量關(guān)系l系統(tǒng)的 動能動能 T 隨時間的變化規(guī)律可寫為222222111( )( )sin ()sin ()222nnnT tmv tmRtkRtl系統(tǒng)的 勢能勢能 U 隨時間的變化規(guī)律可寫為22211( )( )cos ()22nU tkx tkRtl系統(tǒng)的總能量總能量可以寫為22211(0)( )( )( )(0)22nxE tT tU tkRkxk221(0)(0)(0)(0)2kxmxUT自由振動的特點(diǎn)自由振動的特點(diǎn)黏性阻尼系統(tǒng)的解黏性阻尼系統(tǒng)的解令得到特征方程兩個特征根對應(yīng)的解解的一般形式臨界阻尼與阻尼比臨界阻尼與阻尼比當(dāng)阻尼滿足 ，稱為系統(tǒng)的臨界阻尼臨界

6、阻尼無量綱量稱為阻尼比阻尼比，此時有：解的一般形式（量綱：牛頓秒/米 ）cc欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小于其臨界阻尼，稱為欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)。即：為負(fù)數(shù)通解可寫成初始條件初始條件為任意常數(shù)給定初始條件可求得解的具體形式為常數(shù)可寫為（圖中 ）欠阻尼系統(tǒng)的時域曲線欠阻尼系統(tǒng)的時域曲線即為阻尼振動的角頻率阻尼振動的角頻率1?X阻尼增大頻率阻尼增大頻率 變?。∽冃。「鶕?jù)初始條件 有：臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)的兩個根相等，即：通解為此時，稱為臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)（ ）過阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)。其兩個實(shí)根通解為當(dāng)由初始條件可得：不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)臨

7、界阻尼是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動的最小阻尼！根軌跡根軌跡（反映了特征方程的根隨阻尼變化的規(guī)律）相軌跡相軌跡對數(shù)衰減系數(shù)對數(shù)衰減系數(shù)定義：任意兩個相鄰的振幅之比的自然對數(shù)任意兩個相鄰的振幅之比的自然對數(shù)定義 t1和 t2 為兩個連續(xù)的振幅相對應(yīng)的時間，則有則有因?yàn)樗粤?稱為稱為“對數(shù)衰減系數(shù)對數(shù)衰減系數(shù)”或或“對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率”小阻尼情形有對數(shù)衰減率與阻尼比之間的相互關(guān)系為對數(shù)衰減率與阻尼比對數(shù)衰減率與阻尼比（用于實(shí)驗(yàn)測試阻尼）也可通過任意m個整數(shù)周期的位移來求得，則有：當(dāng) ， 二、有阻尼情形二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程

8、得用三角函數(shù)公式展開用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項(xiàng)相等令兩邊同諧波項(xiàng)相等幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)和瞬和瞬態(tài)問態(tài)問題！題！全解！全解！無量綱化無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：卷積積分卷積積分非周期變化的激振力大小是隨著時間變換的，最簡單的非周非周期變化的激振力大小是隨著時間變換的，最簡單的非周期激振力即為沖擊力期激振力即為沖擊力-幅值大但作用時間短幅值大但作用時間短當(dāng)沖擊力很短時，則可根據(jù)沖量定理當(dāng)沖擊力很短時，則可根據(jù)沖量定理更一般的沖量表達(dá)形式為更一般的沖量表達(dá)形式為則單位沖量則單位沖量 定義為定義為沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)沖量作用下的單自由度

9、系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧考慮具有粘性阻尼的彈簧 - 質(zhì)量系統(tǒng)在質(zhì)量系統(tǒng)在 t = 0 時受到一個單位沖量作用時受到一個單位沖量作用:對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為對于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中其中對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)閯t系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為我們有我們有:稱為稱為 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是如果沖量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 變?yōu)樽優(yōu)榇藭r系統(tǒng)的響應(yīng)成為此

10、時系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量如果沖量 是作用在任意時刻是作用在任意時刻 處，處，則該時刻速度變化為則該時刻速度變化為 。假設(shè)沖量。假設(shè)沖量作用前作用前 ，則系統(tǒng)響應(yīng)為，則系統(tǒng)響應(yīng)為 脈沖發(fā)生的時刻脈沖發(fā)生的時刻對任意外力的作用，可將任意力看成對任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。是一系列大小變化的沖量組成的。對一般力的響應(yīng)對一般力的響應(yīng)假設(shè)在假設(shè)在 時刻，力時刻，力 在很短的在很短的時間時間 作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻的沖量就是的沖量就是 ，對于任意時刻，對于任意時刻 ，沖量發(fā)生的時間為沖量發(fā)生的時間為 ，則該沖量在，則該沖量在 時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在 t 時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的響應(yīng)的疊加：響