線性代數(shù)課件第一章第一節(jié)學習教案

1、會計學1第一頁，共52頁。 該課程的主要內(nèi)容有：行列式、矩陣(j zhn)、線性方程組、向量的線性相關、相似矩陣(j zhn)及二次型。1231nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 123210 123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx , , , , ,，123127214110 2221235yyy第1頁/共51頁第二頁，共52頁。課 本工程數(shù)學(shxu)-線性代數(shù)（第五版）第2頁/共51頁第三頁，共52頁。參 考 書第3頁/共51頁第四頁，共52頁。30%70%AB 總總評評= =第4頁/共51頁第五頁，共52頁。線性代數(shù)(x

2、in xn di sh)用矩陣(j zhn)解方程組用方程組解矩陣(j zhn)判斷解的存在性用有限個解表示所有解行列式矩陣及其運算解方程組向量的線性相關性1-4章相似矩陣及二次型第5章求特征值，特征向量對角化，化簡實二次型第1章第2章第3章第4章第5頁/共51頁第六頁，共52頁。 線性代數(shù)比其他大學數(shù)學課程具有更大的潛在(qinzi)價值. 應用(yngyng)一、石油勘探 當船只勘查海底石油儲量時，船上的計算機每天都要計算數(shù)千個線性方程組.方程組的震動(zhndng)數(shù)據(jù)從氣槍發(fā)射所產(chǎn)生的水下沖擊波中獲取.沖擊波經(jīng)海底巖石反射，被連接在尾船數(shù)英里外的地震探波儀接受并測量.第6頁/共51頁第

3、七頁，共52頁。 當今，很多重要的管理決策建立在含有上百個變量的線性規(guī)劃模型上.例如，營養(yǎng)食譜問題、列車最優(yōu)調度問題、排課表(kbio)問題等等. 應用(yngyng)二、線性規(guī)劃第7頁/共51頁第八頁，共52頁。 應用(yngyng)三、電網(wǎng) 工程師利用仿真軟件設計電路以及包含百萬(bi wn)晶體管的微芯片.這類軟件離不開線性代數(shù)方法和線性代數(shù)方程.第8頁/共51頁第九頁，共52頁。 應用(yngyng)四、經(jīng)濟學和工程學中的線性模型 列昂惕夫 美籍俄裔著名經(jīng)濟學家，1906年8月日生于俄國彼得堡，1925年畢業(yè)(b y)于列寧格勒大學經(jīng)濟系。1928年獲德國柏林大學哲學博士學位。 194

4、9年夏末，哈佛大學的瓦.列昂惕夫教授小心翼翼的將最后一張穿孔卡片插入學校(xuxio)的Mark計算機.這些卡片存儲著美國勞工統(tǒng)計署歷時兩年緊張工作所得的250000多條數(shù)據(jù).列昂惕夫把美國的經(jīng)濟系統(tǒng)分成500個“部門”，如：煤炭工業(yè)、汽車工業(yè)、通訊業(yè)等.針對每個部門給出了一個線性方程，描述該部門如何向其他部門分配產(chǎn)出.第9頁/共51頁第十頁，共52頁。但是，當時Mark還不能處理500個未知量、500個方程組的方程組.所以他把這個問題提煉(tlin)成42個未知量、42個方程的方程組. 最后(zuhu)，經(jīng)過56小時的持續(xù)運轉， Mark終于求出了一個解. 列昂惕夫開啟了通往經(jīng)濟學數(shù)學模型一

5、個新時代的大門，并于1973年榮獲諾貝爾獎.從那時起，其他領域(ln y)的研究者也開始使用計算機分析數(shù)學模型. 常用的數(shù)學軟件有Matlab、Maple、Mathematica、SAS、Mathcad.第10頁/共51頁第十一頁，共52頁。123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx , , , , ,第11頁/共51頁第十二頁，共52頁。解方程組行列式唯一(wi y)解矩陣(j zhn)及初等變換無窮(wqing)多解或無解向量的線性相關解的結構相似矩陣及二次型綜合應用第12頁/共51頁第十三頁，共52頁。第13頁/共51頁第十四頁，共52頁

6、。 早在1683年和1693年,日本(r bn)數(shù)學家關孝和和德國數(shù)學家萊 布尼茲就分別獨立地提出了行列式的概念.之后很長一段時間內(nèi),行列式主要應用于討論線性方程組.約160年后，行列式發(fā)展成為矩陣的一個獨立的理論分支.第14頁/共51頁第十五頁，共52頁。第15頁/共51頁第十六頁，共52頁。用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組11112212112222,.a xa xba xa xb (1)(2) :122a 1112222221221,aaaxxb aa :212a 2112221221212,a xaaxbaa2x兩兩式式相相減減消消去去，得得11221221112212

7、2();a aa axb aa b122122111221221b aa bxa aa a 第16頁/共51頁第十七頁，共52頁。1x類類似似地地，消消去去，得得112212212112121(),a aa axa bb a112212210a aa a當當時時，方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的系數(shù)由方程組的系數(shù)(xsh)(xsh)確定確定. .11112212112222,.a xa xba xa xb 11122122aaaa為為簡簡潔潔，引引進進記記號號：21a 11a 第17

8、頁/共51頁第十八頁，共52頁。第二第二列列ija 稱稱為為行行列列式式的的元元素素第一第一行行112212211112212211122122.aa aa aaaaaaaa：將將稱稱作作行行列列式式，它它是是一一種種特特殊殊的的運運算算，即即定定二二階階義義11a12a22a12a主對角線副對角線2211aa 1221.a a 對角線法則對角線法則(fz):(fz):第18頁/共51頁第十九頁，共52頁。11112212112222,.a xa xba xa xb 12bb .,22221211212111bxaxabxaxa對于(duy)二元線性方程組11122122,aaaaD 若若 記

9、記系數(shù)行列式1,D 1222aa122111221222121b aa baaxaa 方方程程組組的的解解 .D 1D11221221.a aa a12212 2b aa b第19頁/共51頁第二十頁，共52頁。11112212112222,.a xa xba xa xb 12bb11122122aaaaD 2,D 1121aa將下式稱為將下式稱為(chn wi)二元線性方程組二元線性方程組的公式解的公式解:1122221111221221,babaxaaaDaD1112122111212222.ababDxaaaaD112121112212122a bb axa aa a 方方程程組組的的解

10、解 .D 2D11 2121a bb a第20頁/共51頁第二十一頁，共52頁。12123212,21.xxxx 求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解D 2 2313 ( 4) , 07 1D 12( 2)14 ，2D 32421 ，11DxD, 2714 DDx22 . 3721 3212121 121第21頁/共51頁第二十二頁，共52頁。1212511,1.xxxx 求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解5111D 5( 1) 60,111111D 12, 251111D 6, DDx11 122,6DDx22 61.6 第22頁/共51頁第二十三頁，共52頁。對一階行列式規(guī)定對一

11、階行列式規(guī)定(gudng)如下：如下：aa 例如例如(lr)：22, 22. 第23頁/共51頁第二十四頁，共52頁。 對于(duy)三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa111213212223313233aaaaaaaaDa 定定義義行行列列三三階階式式，三、三階(sn ji)行列式三行三列（九個數(shù)）共同參與三行三列（九個數(shù)）共同參與(cny)的一種的一種運算運算.第24頁/共51頁第二十五頁，共52頁。333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa 1123

12、32122133132231.a a aa a aa a a三階(sn ji)行列式的計算:322113312312332211aaaaaaaaa D1 1、沙路法、沙路法: :三階(sn ji)行列式有6項第25頁/共51頁第二十六頁，共52頁。332211aaa .322311aaa 注意: 對角線或平行對角線上三元素(yun s)的乘積冠以正號，322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 副對角線或者平行副對角線上三元素(yun s)的乘積冠以負號行標按照從小到大排列說明 三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正

13、,三項為負.333231232221131211aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa第26頁/共51頁第二十七頁，共52頁。 3、對角線法則只適用于二、三階行列式。還可以用展開法計算三階行列式:111213212223313233aaaDaaaaaa 11a 22233233aaaa12a 21233133aaaa13a 21223132aaaa第27頁/共51頁第二十八頁，共52頁。124221342D 計計算算三三階階行行列列式式例例2 解一：解一：按對角線法則按對角線法則(fz)，有有 D1 2 (

14、 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 ( 3)2 ( 4) ( 2) 2 ( 2) 4 1 1 46322448 14 第28頁/共51頁第二十九頁，共52頁。124221342D 計計算算三三階階行行列列式式例例2 解二：解二：利用利用(lyng)展開展開法法1 2142 2 2132 2234 D 124 ( 4) 8 2 74 ( 2) 8148 14 第29頁/共51頁第三十頁，共52頁。211123049xx 求求解解方方程程例例3 3解解方程方程(fngchng)左左端端D 23x4x 18 12 9x 22x 256xx 2560 xx即即(2)(3)0 xx 解解得

15、得：23xx 或或第30頁/共51頁第三十一頁，共52頁。01) ,00.101aba bba滿滿足足什什么么關關系系時時，有有1422)303245D 求求行行列列式式的的值值。第31頁/共51頁第三十二頁，共52頁。00101abba 01) ,00.101aba bba滿滿足足什什么么關關系系時時，有有答 案 解：解：220ab 若若要要，2a 2b 0.ab 則則第32頁/共51頁第三十三頁，共52頁。練練 習習1422)303245D 求求行行列列式式的的值值。D 0解：解：( 2) ( 3) ( 4) 2 3 4 0 1 ( 3) 4 3 ( 4) 5 1260 72 第33頁/共

16、51頁第三十四頁，共52頁。111122133211222233311322312333,;a xa xa xa xa xa xa xa xa xbbb ,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD 的系數(shù)的系數(shù)(xsh)行列式行列式1112132122233132330aaaDaaaaaa ，.3323122221112113baabaabaaD 123bbb123bbb則三元(sn yun)線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 123bbb證明見第七節(jié)-克萊默法則第34頁/共51頁第三十五頁，共52頁。

17、例4 解線性方程組12312312322,231,0.xxxxxxxxx 解由于(yuy)方程組的系數(shù)行列式D 131 1 211 121 6 2 1 3 4 5 , 0 1D 131 211 210 2 1 6 2 5, 第35頁/共51頁第三十六頁，共52頁。2D 131 210 121 1 6 1 4 10 D 131 211 121 3D 210 211 121 2 4 2 1 5 故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第36頁/共51頁第三十七頁，共52頁。練習練習(linx)(linx)1232312234,3,34.xxxxxxx 解解方方程程組組

18、解：解： 方程組的系數(shù)(xsh)行列式為123011130D 2332 1432311430D 82712 12 11 第37頁/共51頁第三十八頁，共52頁。2130401134D 494 1 3120143413D 46 49 7 于是(ysh)，方程組的解為:115.5,DxD 220.5,DxD333.5DxD第38頁/共51頁第三十九頁，共52頁。作業(yè)作業(yè)(zuy)(zuy)：3232頁頁 習題習題(xt)(xt)一一 1 12312312312312312313121231232323453441.3522. 3778377646738353. 22974.52520 xxxxxx

19、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 補補充充題題：計計算算下下列列方方程程組組：第39頁/共51頁第四十頁，共52頁。第40頁/共51頁第四十一頁，共52頁。 在一個排列 中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 例如例如(lr) 排列排列32514 中，有中，有5個逆序個逆序 定義定義(dng(dngy)y) 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, ,n 個不同個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序標準次序. .排列的逆序數(shù)3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序為逆序為54，51，2

20、1，31，32第41頁/共51頁第四十二頁，共52頁。定義 一個(y )排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如例如(lr)(lr)1 6 3 5 2 4 8 7 中逆序為逆序為逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)為為887，54，64，52，32，62，65，63第42頁/共51頁第四十三頁，共52頁。計算(j sun)排列逆序數(shù)的方法：逆序數(shù)(xsh)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)(u sh)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性從后向前數(shù)，個數(shù)求和例如例如5級排列23154，(23154)t1 02 0 0 3 該排列為奇排列。第43頁/共51頁第四十四頁，共52頁。例例1 1 計算下列排列的逆序數(shù)

21、計算下列排列的逆序數(shù)(xsh)(xsh)，并討，并討論它們的奇偶性論它們的奇偶性. .(1)217986354解解453689712544311 t18 此排列(pili)為偶排列(pili).54 4311 第44頁/共51頁第四十五頁，共52頁。(2)(1)(2)321n nn 解(1),2n n 當當 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當 時為奇排列.34 , 24 kkn(1)tn(2)21n(1) (2)3 2 1n nn1n 2n 3n 21第45頁/共51頁第四十六頁，共52頁。練練 習習計算下列排列的逆序數(shù)，并討論計算下列排列的逆序數(shù)，并討論(toln)(toln)它們它們的奇偶性的奇偶性. .(2 ) 1 (21) 2 (22) 3 (23)(1)kkkkkk第46頁/共51頁第四十七頁，共52頁。t (11)(1)22kkk2k 當