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1、 AB11F1 2112 AB12F2 2212i j在在Fj作用下引起的作用下引起的Fi方向上的位移方向上的位移功功的互等定理的互等定理 位移互等定理位移互等定理 功的互等定理功的互等定理 位移互等定理位移互等定理是材料力學(xué)中的普遍定理,是材料力學(xué)中的普遍定理,它說明材料服從胡克定律且在小變形的條件下,作用在桿件上它說明材料服從胡克定律且在小變形的條件下,作用在桿件上的不同點(diǎn)的力和位移間相互關(guān)系。的不同點(diǎn)的力和位移間相互關(guān)系。以圖示梁為例證明如下:以圖示梁為例證明如下:1.先在先在1點(diǎn)作用點(diǎn)作用F1 再在再在2點(diǎn)作用點(diǎn)作用F2 外力功:外力功: 11121 F 外力功:外力功:1212222
2、1 FF 應(yīng)變能:應(yīng)變能: 12122211112121 FFFU AB11F1 2112 AB11F1F2 21 12 22121.先作用先作用F1再作用再作用F212122211112121 FFFU AB11F1F2 21 12 22122.先在先在2點(diǎn)作用點(diǎn)作用F2 再在再在1點(diǎn)作用點(diǎn)作用F1 外力功:外力功: 22221 F 外力功:外力功:21211121 FF 應(yīng)變能:應(yīng)變能: 21211122222121 FFFU AB12F2 22121.先作用先作用F1再作用再作用F212122211112121 FFFU 2.先作用先作用F2再作用再作用F1變形能只取決于力與位移的最終值
3、,變形能只取決于力與位移的最終值, 與加載次序無關(guān)與加載次序無關(guān) 21211122222121 FFFU 21UU 即:即:1 12221FF功的互等定理功的互等定理 AB11F1F2 21 12 22121 12221FF功的互等定理功的互等定理 AB11F1 2112 AB12F2 2212 結(jié)構(gòu)的第一力系在第二力系所引起的彈性結(jié)構(gòu)的第一力系在第二力系所引起的彈性位移上所做的功,等于第二力系在第一力系所位移上所做的功,等于第二力系在第一力系所引起的彈性位移上所做的功。引起的彈性位移上所做的功。由功的互等定理由功的互等定理 2112 位移互等定理位移互等定理注意:注意:1. .上述互等定理對
4、于所有的上述互等定理對于所有的線性結(jié)構(gòu)線性結(jié)構(gòu)都適用。都適用。2. .力和位移應(yīng)理解為力和位移應(yīng)理解為廣義力廣義力和和廣義位移。廣義位移。當(dāng)當(dāng)F1=F2=F 時時 AB11F 2112ABF 12 2212 (力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu))(力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)) 212121 FF 例例10 試求圖示梁在試求圖示梁在Me的跨中撓度的跨中撓度 yC 解:解: 1.當(dāng)當(dāng)Me作用時作用時 (第一力系第一力系)設(shè)想在設(shè)想在C點(diǎn)作用點(diǎn)作用F (第二力系第二力系) 2. . 由功的互等定理由功的互等定理3.查表查表(附附錄錄IV-10)2112e FM A 12EIFl162 21CyEIlM162e
5、12e FM 11 21討論:若應(yīng)用位移互等定理任何求解?討論:若應(yīng)用位移互等定理任何求解? 例:求圖示懸臂梁中點(diǎn)例:求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移處的鉛垂位移C。vC1B2解:由功的互等定理P vmCB12得:P vmPlEIC1222由此得:CCvmlEI128例:長為例:長為 l 、直徑為、直徑為 d 的圓桿受一對橫向壓力的圓桿受一對橫向壓力 P 作用,求此桿長度的伸長量。已知作用,求此桿長度的伸長量。已知E和和。解:由位移互等定理知,桿的伸長量等于桿直徑的減小量ldd dPAEd4PdE例例11 已知簡支梁在均布載荷已知簡支梁在均布載荷 q 作用下,梁的中點(diǎn)撓作用下,梁的中點(diǎn)撓度度 。求梁在中點(diǎn)集中力。求梁在中點(diǎn)集中力P作用下作用下(見圖見圖),梁,梁的撓曲線與梁變形前的軸線所圍成的面積的撓曲線
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