絕對值[提高]知識講解

1、絕對值(提高)撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)；2進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義；3. 會求一個數(shù)的絕對值，并會用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大小；4. 理解并會熟練運用絕對值的非負(fù)性進(jìn)行解題.【要點梳理】要點一、絕對值1. 定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.要點詮釋：(1) 絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即對于任何有理數(shù)a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2)絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越

2、遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.(3)一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.2. 性質(zhì)：絕對值具有非負(fù)性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.要點二、有理數(shù)的大小比較1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則avb.2. 法則比較法：“''兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下:兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負(fù)號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0:正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0:負(fù)數(shù)小于0要點詮釋：禾U用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分別計算兩數(shù)的絕對值；(2)比較絕對值的大

3、小；(3)判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b>0，則a>b;若a-b=0,則a=b;若a-bv0,avb；反之成立.aaa4. 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若一1，則ab；若1，則ab；若1，則ab；bbb反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于0，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、絕對值的概念C1.計算：(1)41(2)卜4|+|3|+|0|(3)-|+(-8)|5【答案與解析】運用絕對值意義先求出各個絕對值再計算結(jié)果111解：(1)4丄4丄4丄，555(2) |-4|+|3|+|0|=4+3+0=7,(3)

4、 T+(-8)|=-(-8)=-8.【總結(jié)升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解，一種是利用絕對值的代數(shù)意義求解，后種方法的具體做法：首先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是o再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，確定去掉絕對值符號的結(jié)果是它本身，是它的相反數(shù)，還是0.從而求出該數(shù)的絕對值.2.如果|x|=6,|y|=4,且xvy.試求x、y的值.【思路點撥】6和-6的絕對值都等于6,4和-4的絕對值都等于4,所以要注意分類討論.【答案與解析】解：因為|x|=6,所以x=6或x=-6;因為|y|=4,所以y=4或y=-4；由于xvy，故x只能是-6,因此x=-6,y=±4.【總結(jié)升

5、華】已知絕對值求原數(shù)的方法：(1)利用概念；(2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出來.無論哪種方法但要注意若一個數(shù)的絕對值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個，且互為相反數(shù)此外，此題x=-6,y=±4,就是x=-6,y=4或x=-6,y=-4.舉一反三：【變式1】(1)如果|x|=6,|y|=4，且x>y，則x、y的值各是多少？【答案】x=6,y=±4【變式2】如果數(shù)軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數(shù)為.如果|X2|=1,那么x=;如果Ix|>3,那么x的范圍是.【答案】6或-6;1或3;x>3或x<-3【變式3】已知|a|=3,|b|=4，若a,b同號，則|a

6、+b|=;若a,b異號，則|a+b|=.據(jù)此討論|a+b|與|a|+|b|的大小關(guān)系.【答案】7,1；若a,b同號或至少有一個為零，則|a+b|=|a|+|b|；若a,b異號，則|a+b|v|a|+|b|,由此可得：|a+b|<|a|+|b|.類型二、比大小4(1)-(-5)與-|-5|；(2)-(+3)與0；(3)4與53；(4)與|3.14|.【思路點撥】先化簡符號，去掉絕對值號再分清是“正數(shù)與個正數(shù)還是兩個負(fù)數(shù)”，然后比較.0、負(fù)數(shù)與0、正數(shù)與負(fù)數(shù)、兩4(2)化簡得：-(+3)=-3.因為負(fù)數(shù)小于零，所以-(+3)v0.(3)化簡得：33.這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因為44445331

7、5，且1615.所以413.442020205|4|-(-5)>-卜5|.-I-【答案與解析】解：(1)化簡得：-(-5)=5,-|-5|=-5.因為正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以3.14|=-3.14,這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因為卜討=n,1620(4)化簡得：而n>3.14,所以-nV-|-3.14|.【總結(jié)升華】在比較兩個負(fù)數(shù)的大小時，可按下列步驟進(jìn)行:卜3.14|=先求兩個負(fù)數(shù)的絕對值,3.14,再比較兩個絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.舉一反三:【高清課堂：絕對值比大小例(簡單舉例)】【變式1】比大?。?(1)0.3丄(2)113910【答案】&

8、gt;>【高清課堂：絕對值比大小典型例題2(最后兩個)】【變式2】比大?。?1)1.&&-1.384;(2)n3.14.【答案】><【變式3】右m>0,nv0,且|m|>|n|，用“”把m,-m,n,-n連接起來【答案】解法一：m>0,nv0,'m為正數(shù)，-m為負(fù)數(shù)，n為負(fù)數(shù)，-n為正數(shù).又正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，且|m|>|n|,m>-n>n>-m.解法二：因為m>0,nv0且|m|>|n|,把m,n，-m，-n表示在數(shù)軸上，如圖所示.ai.irhin0數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,/m>-n

9、>n>-m.類型三、含有字母的絕對值的化簡4把下列各式去掉絕對值的符號.(1) |a-4|(a>4);(2)|5-b|(b>5).【答案與解析】(1)/a>4,.a-4>0,.|a-4|=a-4.(2) vb>5,.5-bv0,.|5-b|=-(5-b)=b-5.【總結(jié)升華】由字母的取值范圍來判斷絕對值里面的符號情況，再根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值的符號舉一反三：【變式1】已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示：化簡：I人|.【答案】解：由圖所示，可得/j.-I；-<-2-二.二3ac0,4二:;-',7-二，；：，=3_G)+

10、Z+_(r_Q=3ac+(2a+&)一占)=3ac-2a+Z?+c-h=5d.原式二:二.【變式2】求.二的最小值.【答案】解法一：當(dāng)x2時，則(x2)(x3)x2x32x15X2X3當(dāng)時，則|x2x3(x2)(x3)x2x35當(dāng)X：門時，則|x2x3(x2)(x3)x2x32x15綜上：當(dāng)一2<?<j時，：二I-取得最小值為：5.解法二：借助數(shù)軸分類討論：x2;一：乞.-L<Z；廠：；3.-I-的幾何意義為工對應(yīng)的點到-2對應(yīng)點的距離與工對應(yīng)點到3對應(yīng)點的距離和.由圖明顯看出時取最小值.所以，一2蘭二三I時，二匚取最小值5.類型四、絕對值非負(fù)性的應(yīng)用已知a、b為有理

11、數(shù),且滿足:1|2tf-l-l|+|2|=0，貝Va=【答案與解析】2由|2也+1陰.0,|2占|二0,|2盤+11+12糾=0，可得*2£?=01a-'2b=2【總結(jié)升華】由于任何一個數(shù)的絕對值大于或等于0,要使這兩個數(shù)的和為0,需要這兩個數(shù)都為0.幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個數(shù)均為0.舉一反三：【變式1】已知14x-3|=3-4'，貝yx的取值范圍是.3 3【答案】；提示：將|,：看成整體二，即"丿，則故|jEi,丫.4 4【變式2】已知b為正整數(shù)，且a、b滿足-I'，求/的值.所以，ab22-4=0fa=-2【答案】解：由題意得=djb=1d=

12、l類型五、絕對值的實際應(yīng)用6正式足球比賽對所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是6個足球的質(zhì)量檢測結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)檢測結(jié)果（單位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判員應(yīng)該選擇哪個足球用于這場比賽呢？請說明理由.【答案與解析】解：因為丨+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40I,所以檢測結(jié)果為+10的足球的質(zhì)量好一些所以裁判員應(yīng)該選第二個足球用于這場比賽.【總結(jié)升華】絕對值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn)舉一反三：【變式】一只可愛的小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路