難點(diǎn)07奇偶性與單調(diào)性(一)

1、難點(diǎn) 7奇偶性與單調(diào)性 (一)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場( )設(shè) a>0,f(x)=exa是 R 上的偶函數(shù)，(1)求 a 的值； (2)證明： f(x)在 (0， +aex) 上是增函數(shù) .案例探究例 1已知函數(shù) f(x)在 ( 1， 1)上有定義， f( 1)= 1,當(dāng)且僅當(dāng) 0< x<1 時 f( x)<0,且對任2意 x、 y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)= f(xy),試證明：1 xy(1) f(x)為奇函數(shù)； (2)

2、 f(x)在 ( 1， 1)上單調(diào)遞減 .命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力屬題目.知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得 .技巧與方法：對于(1)，獲得 f(0)的值進(jìn)而取x= y 是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定x2x11x1x2的范圍是焦點(diǎn) .證明：(1) 由 f(x)+f(y)=f( xyxx1xy ),令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y= x,得 f(x)+f( x)=f(1x 2 )=f(0)=0. f(x)= f( x). f(x)為奇函

3、數(shù) .(2)先證 f(x)在 (0，1) 上單調(diào)遞減 .令 0<x1<x2<1,則 f(x2) f(x1)=f(x2) f(x1)=f(x2x1 )1x1 x2 0<x1<x2<1, x2 x1>0,1 x1x2>0， x2 x1 >0,1 x2 x1又 (x2 x1) (1 x2 x1)=( x2 1)(x1+1)<0 x2 x1<1 x2x1, 0< x2x1 <1, 由題意知 f(x2x1 )<01x2 x11x1 x2即 f(x2 )<f(x1). f(x)在(0 ， 1)上為減函數(shù)，又 f(x)

4、為奇函數(shù)且 f(0)=0. f(x)在( 1， 1)上為減函數(shù) .例2 設(shè)函數(shù)f(x) 是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間( ,0)內(nèi)單調(diào)遞增，22的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=(1)a23a 1的單調(diào)遞減區(qū)f(2a +a+1)< f(3a 2a+1).求 a2間.命題意圖： 本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法 .本題屬于級題目 .知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法： 本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類

5、，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè) 0< x1<x2,則 x2< x1<0， f(x)在區(qū)間 ( ,0)內(nèi)單調(diào)遞增， f( x2)< f( x1), f(x)為偶函數(shù)， f( x2)=f(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)<f(x1). f(x)在 (0， + )內(nèi)單調(diào)遞減 .又 2a2a1 2(a1 )270,3a22a 1 3( a1) 220.4833由 f(2a2+a+1)< f(3a2 2a+1) 得： 2a2+a+1>3a2 2a+1.解之，得 0<a<3.又 a2 3a+1=( a 3 ) 2 5 .24函數(shù)

6、 y=( 1 ) a2 3a 1 的單調(diào)減區(qū)間是3 ，+22結(jié)合 0<a<3,得函數(shù) y=( 3) a23a 1 的單調(diào)遞減區(qū)間為3 ，3).22錦囊妙計本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 .復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展

7、開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()x1A. f(x)=( x 1)1 xx 2 x( x 0)C.f(x)=x2x( x0)lg(1x 2 )B. f(x)=22 |2| x1sin xcosxD. f(x)=cosxsin x12.( )函數(shù) f(x)=1x2x1的圖象 ()1x 2x1A. 關(guān)于 x 軸對稱B. 關(guān)于 y 軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱D. 關(guān)于直線 x=1 對稱二、填空題3.( )函數(shù) f(x)在 R 上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是_.4.( )若函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=

8、f(x1)=f( x2)=0 (0< x1<x2),x2,+) 上單調(diào)遞增，則 b 的取值范圍是 _.三、解答題5.( )已知函數(shù)x x2f(x)=a +(a>1).x1(1)證明：函數(shù)f(x)在 ( 1，+ )上為增函數(shù) .(2)用反證法證明方程f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 .6.( )求證函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間 (1， + ) 上是減函數(shù) .( x21) 2f ( x1 ) f ( x2 ) 1；7.( )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足：(i) f(x1 x2)=f ( x1 )f ( x2 )(ii) 存在正常數(shù) a 使 f( a)=1. 求證：(1) f(x

9、)是奇函數(shù) .(2) f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.8.( )已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，且對 m、n R ,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且f( 1 )=0, 當(dāng) x> 1 時， f(x)>0.22(1)求證： f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗(yàn)證.參考答案難點(diǎn)磁場exa1x1(1)解：依題意，對一切x R,有 f(x)=f( x),即aexaex+ae .整理，得 (aa )(ex 1 )=0.因此，有 a 1=0, 即 a2=1, 又 a>0, a=1exa(2)證法一：設(shè)xx11xx11)0 x1 x2,

10、則 f(x1) f(x2)= e 1 e2xx(e2e 1 )(x xe 1e2e 12ex1 ( ex2 x11) 1 ex1 x2ex1 x2由 x1>0,x2>0,x2>x1, ex2x1 1 >0,1 e x1 x2 0, f(x1) f(x2) 0,即 f(x1) f(x2) f(x)在(0,+ )上是增函數(shù)xxxx>0,e2x 1>0.證法二： 由 f(x)=ex+e，得 f (x)=exe=e·(e2x1).當(dāng) x (0,+ )時，e此時 f (x)>0,所以 f(x)在 0， + )上是增函數(shù) .殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練x 2x( x 0

11、)( x 2x)( x 0)一、 1.解析： f( x)=x( x 0)( x 2x)= f(x)，故 f(x)x2( x 0)為奇函數(shù) .答案： C2.解析： f( x)= f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.答案： C二、3.解析：令 t=|x+1|,則 t 在 ( ,1 上遞減， 又 y=f(x)在 R 上單調(diào)遞增， y=f(|x+1|)在( , 1 上遞減 . 答案： ( , 1 324.解析： f(0)= f(x1)= f(x2)=0, f(0)= d=0.f(x)=ax(x x1)( xx2)=ax a(x1+x2)x +ax1x2x， b=a(x1+x2),又 f(x)

12、在 x2,+ ) 單調(diào)遞增，故a>0. 又知 0 x1 x,得 x1+x2>0, b=a(x1+x2) 0.答案： ( ,0）三、 5.證明： (1）設(shè) 1 x1 x2 +,則 x2 x1>0,a x2 x1 >1 且 a x1>0,ax2ax1ax1(ax2 x11)12>0, 又 x +1>0, x +1>0x22 x12 ( x22)( x11) ( x12)( x21)3( x2x1 )x21x11( x11)( x21)( x11)( x2>0,1)于是 f(x2) f(x1)= a x2 a x1 + x22x12>0x2

13、1x11 f(x)在( 1， +）上為遞增函數(shù) .(2）證法一：設(shè)存在x0 0(x0 1)滿足 f(x0)=0, 則 ax0x02且由 0 ax0 1得 0x01 x02 1,即 1 x0 2 與 x0 0 矛盾，故 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 .x012證法二：設(shè)存在x0 0(x0 1)使 f(x0)=0, 若 1 x0 0,則 x02 2, a x0 1, f(x0)x011 與 f(x0)=0 矛盾，若 x0x02ax0>0 ， f(x0)>0 與 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=01,則>0,x01沒有負(fù)數(shù)根 .6.證明： x 0, f(x)=111,1) 2x

14、( x 21) 21( x22x3x 4x(1x2 )設(shè) 1x1 x2+ ,則 111,11110 .x2 2x12x2 2x12x2 (11) 2x1 (11)2 0.11x2 2x121212x2 (1x2 2 )x1 (1x12 ) f(x1)>f(x2),f(x)在(1 ，+）上是減函數(shù) .(本題也可用求導(dǎo)方法解決）7.證明： (1）不妨令 x=x1 x2,則 f( x)=f(x2 x1)=f ( x2 ) f ( x1 ) 1f ( x1 ) f ( x2 ) 1f ( x1 )f ( x2 )f ( x2 ) f ( x1 )=f(x1 x2)= f( x). f(x) 是奇函數(shù) .(2）要證 f(x+4 a)=f(x),可先計算f(x+a),f( x+2a). f(x+a)=f x( a) = f (a) f ( x)1f ( a) f ( x) 1f ( x)1 ( f ( a) 1) .f (a) f (x)f ( a) f (x)f ( x)1f ( xa)1f ( x 2a) f ( x a) a a)1f ( xf ( x )111f ( x)1f ( x)11f ( x).f ( x)11 f(x+4a)=f( x+2a)+2 a =f