導(dǎo)數(shù)與不等式證明絕對(duì)精華

1、二輪專題(十一)與數(shù)與不等式證實(shí)之楊若古蘭創(chuàng)作【進(jìn)修目標(biāo)】1.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式.2,把握經(jīng)常使用的證實(shí)方法.【常識(shí)回顧】一級(jí)排查：應(yīng)知應(yīng)會(huì)1.利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證實(shí)成績(jī).比方要證實(shí)對(duì)任意Xa,b都有f(x)g(x),可設(shè)h(x)f(x)g(x),只需利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明h(x)在a,b上的最小值為0即可.二級(jí)排查：常識(shí)積累利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式，解題技巧總結(jié)如下：(1)利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(普通第一問(wèn)先讓解決由來(lái))，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問(wèn)要證實(shí)的不等式(2)多用分析法思考.兩邊取對(duì)數(shù)(指數(shù))，移項(xiàng)通分等等,要留意變形的方向：由于要

2、利用函數(shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊須要由現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式(4)經(jīng)常使用方法還有隔離函數(shù)法，f(x)min90濡*,放縮法(常與數(shù)列和基本不等式一路考查)，換元法，主元法，消元法，數(shù)學(xué)歸納法等等，但不管何種方法，成績(jī)的精髓還是構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式成績(jī)轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研討函數(shù)的單調(diào)性和最值成績(jī).(5)建議有能力同學(xué)可以了解一下羅必塔法則和泰勒睜開(kāi)式，有很多題都是利用泰勒睜開(kāi)式放縮得來(lái).三極排查：易錯(cuò)易混用導(dǎo)數(shù)證實(shí)數(shù)列時(shí)留意定義域.【課堂探究】一、作差(商)法例1、證實(shí)以下不等式：exx1lnxx1lnx1-1xInx2(x-1)(x1)sinx2x,x(0,)x12二、利用"五g(x)ma

3、x證實(shí)不等式例2、已知函數(shù)f(x)ax1b(a1)lnx,(a,bR),g(x)-x-.xe2(1)若函數(shù)f(x)在x2處取得極小值0,求a,b的值；(2)在(1)的條件下，求證：對(duì)任意的x1,x2e,e2,總有f(x1)g(x2).變式：證實(shí)：對(duì)一切x(0,),都有l(wèi)nx12成立.eex三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法例3、已知m,n為正整數(shù)，且1mn,求證：(1m)n(1n)m.變式：設(shè)函數(shù)f(x)lnx,g(x)2x2(x1).(1)試判斷F(x)(x21)f(x)g(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)0ab時(shí)，求證f(b)f(a)空ba).ab四、分析法證實(shí)不等式例4、設(shè)a1,函數(shù)f(x)(

4、1x2)exa.若曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證實(shí)：m31a-1.e變式：已知函數(shù)f(x)x2lnx.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證實(shí)：對(duì)任意的t0,存在獨(dú)一的s,使tf(s).(田)設(shè)(n)中所確定的S關(guān)于t的函數(shù)為sg(t),證實(shí)：當(dāng)te2時(shí)，有21.5lnt2五、隔離函數(shù)例5、已知函數(shù)f(x)exln(xm).(I)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m并討論f(x)的單調(diào)性；(II)當(dāng)m2時(shí)，證實(shí)：f(x)0.變式：已知函數(shù)f(x)nxxn,xR,其中nN,且n2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線yf(x

5、)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為yg(x),求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x)；(3)若關(guān)于x的方程f(x)a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根Xi,X2,求證：a小x2x12.1 n六、與數(shù)列結(jié)合例6、已知函數(shù)f(x)alnxax3(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:In2In3In4Inn變式：(1)2已知x1(nn(0,),求證:n2)ln(2)求證:lnn1x1x1：3x；1(nN,n2).n1【鞏固練習(xí)】)上，函數(shù)f(x)的圖像在函1.已知函數(shù)f(x)；x2Inx,求證：在區(qū)間(1,數(shù)g(x)|x3的圖像的下方ln1x1x(I)求曲線yfx在點(diǎn)

6、0,f0處的切線方程;3(n)求證：當(dāng)x0,1時(shí)，fx2x二；3'(m)設(shè)實(shí)數(shù)k使得fx3kxx對(duì)x0,1恒成立，求k的最大值.3nnn0x1x2,求證：22f(x)U(x0).x(1)判斷f(x)的單調(diào)性；(2)證實(shí)：(13ne(e為天然對(duì)數(shù)，nN*).n(1)求函數(shù)f(x)的最小值;(2)設(shè)不等式f(x)ax的解集為P,且0,2P,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;nnn設(shè)nN,證實(shí)：12'nnn一2_f(x)ln(1x)ax(a0).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證實(shí)：(11)(1)(1工)e(e為天然對(duì)數(shù)，nN*,n2),23n求函數(shù)f(x)的最大值；設(shè)0ab,證實(shí)：0g(a)g(b)2g(ab)(ba)In2.2x1f(x)aexInx,曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為ye(x1)2.x(i)求,b；(n)證實(shí)：f(x)1.9,已知函數(shù)fxexax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A,曲線yfx在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(I)求a的值及函數(shù)fx的極值；(II)證實(shí)：當(dāng)x0時(shí)，x2ex;(m)證實(shí)