導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解恒成立問(wèn)題

1、精品文檔導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則”巧解恒成立問(wèn)題第一部分：歷屆導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題1.2006年全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對(duì)所有的x0,都有£(*)可*成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.2006全國(guó)1理已知函數(shù)fxL_xeax.1x(i)設(shè)a0,討論yfx的單調(diào)性；(n)若對(duì)任意x0,1恒有fx1,求a的取值范圍.3.2007全國(guó)1理設(shè)函數(shù)f(x)exex.(I)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)為2；(n)若對(duì)所有x>0都有f(x)>ax,求a的取值范圍.4.2008全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f(x)sinx.2cosx(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)如果對(duì)任何x>0,

2、都有f(x)<ax,求a的取值范圍.5.2008遼寧理lnx設(shè)函數(shù)f(x)lnxln(x1).1x求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f(x)a的解集為(0,)?若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由.6.2010新課標(biāo)理設(shè)函數(shù)f(x)=ex1xax2.(i)若a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；-1-歡迎下載精品文檔(n)若當(dāng)x冷時(shí)f(x)可，求a的取值范圍7.2010新課標(biāo)文已知函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(I)若f(x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù)f(x)的解析式；(n)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,求a的取值范圍.8.2010全國(guó)大綱理設(shè)函數(shù)f(x)1ex.x(I)

3、證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)；x1x(n)設(shè)當(dāng)x0時(shí)，f(x)求a的取值范圍.ax19.2011新課標(biāo)理已知函數(shù)f(x)到nxb,曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x2y30.x1x(I)求a、b的值；()如果當(dāng)x0,且x1時(shí)，f(x)-lnxK,求k的取值范圍.x1x10.自編自編：若不等式sinxxax3對(duì)于x(0,一)恒成立，求a的取值范圍2第二部分：新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)及方法1 .新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題逐步做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅(jiān)持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，又注重考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。為此

4、，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為了熱點(diǎn).2 .分類(lèi)討論和假設(shè)反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類(lèi)重點(diǎn)考查的題型.這類(lèi)題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)法，一部分題用這種方法很奏效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類(lèi)討論和假設(shè)反證的方法.3 .洛必達(dá)法則高一0型及一型函數(shù)未定式的一種解法0雖然這些壓軸題可以用分類(lèi)討論和假設(shè)反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過(guò)于繁雜，學(xué)生掌握起來(lái)非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問(wèn)題的原因是出現(xiàn)了0”型的式子，而這就

5、是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法就是洛必0-2-歡迎下載精品文檔達(dá)法則.第三部分：洛必達(dá)法則及其用法1.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f(x)、g(刈滿足：(1)limf(x)limg(x)XaXa在Uo內(nèi)，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；(A可為實(shí)數(shù)，也可以是f(x)lim則xag(x)limxa9ag(x).(可連環(huán)使用)f(x)limAxag(x)注意使用洛必達(dá)法則時(shí)，是對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)，而不是對(duì)它們的商求導(dǎo)，求導(dǎo)之后再求極限得最值。2.2011新課標(biāo)理的常規(guī)解法已知函數(shù)f(x)也xb,曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x2y30.x1x(I)求a、

6、b的值；(”n)如果當(dāng)x0,且x1時(shí)，f(x)皿K,.求k的取值范圍.x1x(i)略解得a1,b1.(n)方法一：分類(lèi)討論、假設(shè)反證法2lnx1lnxk、1(k1)(x1)、由(i)知f(x)一，所以f(x)(-)2(2lnx).x1xx1x1xx考慮函數(shù)h(x)2lnx(k1)(x21)(x0),則h,(x)(k1)(x221)2xxx(i)當(dāng)k0時(shí),由h'(x)k(x21)(x1)2一知,當(dāng)x1時(shí)，h'(x)0.因?yàn)閔(1)0,1所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0,可得至h(x)1x12h(x)0,從而當(dāng)x0且x1時(shí)，f(x)1x,一.一，一，1一(ii)當(dāng)0k1時(shí)，由于當(dāng)x

7、(1,)時(shí)，(k1k0;當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0,可得,lnxklnx(”2°if(x)二21)(x21)2x0,故h'(x)0,而-3-歡迎下載精品文檔11h(1)h(x)0,與題設(shè)矛盾.0,故當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0,可得21k1x(iii)當(dāng)k1時(shí)，h'(x)0,而h(1)0,故當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0,可得11x2h(x)0,與題設(shè)矛盾.綜上可得,k的取值范圍為(，0.注：分三種情況討論：k0；0k船卜1不易想到.尤其是0k1時(shí),許多考生都停留在此層面，舉反例x(1,1')更難想到.而這方面根據(jù)不同題型涉及的解1k法也不相同，這是高中階段公認(rèn)的難

8、點(diǎn)，即便通過(guò)訓(xùn)練也很難提升3.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2011年新課標(biāo)理當(dāng)x0,且x1時(shí),f(x)也即kxlnxx11xlnxxx1lnxx12xlnx1x21lnxkxx12xlnx1x2則g'(x)2(x2_2_21)lnx2(1x)_2(x1)22(1x)(1(lnx富),x1記h(x)Inx1一+2x(1+x)4x(1222x(1+x)0,從而h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,且h(1)0,因此當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0;當(dāng)x(0,1)時(shí)，g'(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí)，g'(x)0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增.由

9、洛必達(dá)法則有l(wèi)img(x)lim(x1x12xlnx1)1limW1x11x2lim2x12x1時(shí),g(x)0.因?yàn)閗g(x)恒成立，所以k0.綜上所述，當(dāng)x0,且x1時(shí)，f(x)皿K成立，k的取值范圍為(x1x,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來(lái).然后對(duì)分離出來(lái)的函數(shù)g(x)2xlnj1求導(dǎo)，研究其單調(diào)性、極值1x此時(shí)遇到了“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)值沒(méi)有意義”這一問(wèn)題，很多考生會(huì)陷入困境.如果考前對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類(lèi)難題的這一有效方法.-4-歡迎下載精品文檔當(dāng)然這一法則出手的時(shí)機(jī)：(1)所構(gòu)造的分式型函數(shù)在定義域上單調(diào)(2

10、)是9型。04.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010新課標(biāo)理設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax.(i)若a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,求a的取值范圍應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)(n)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,即exxe1xe1.e1limg(x)lim2limlim一x0x0x2x02xx0221xax2.當(dāng)x0時(shí)，aR；當(dāng)x0時(shí)，ex1xax2等價(jià)于a人e1x記g(x)2-x(0+)，則g'(x)x(x2)exx23x記h(x)(x2)exx2x.x(0+),則h'(x)(x1)e1,當(dāng)x(0,+)時(shí),h''(x)xex0,所以h'(x)(x1)ex1在(

11、0+)上單調(diào)遞增，且h'(x)h'(0)0,所以h(x)(x2)exx2在(0,+)上單調(diào)遞增，且h(x)h(0)0,因此當(dāng)x(0+)時(shí)，g'(x)h(x)3x0,從而g(x)ex1x.2一在(0,+)上單調(diào)遞增.x由洛必達(dá)法則有,一，1-(0+)時(shí)，所以g(x)一,因此a20成立.自編：若不等式sinxxax3對(duì)于x(0,一)恒成立，求a的取值范圍2解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)-5-歡迎下載精品文檔當(dāng)x(0,)時(shí)，原不等式等價(jià)于2xsinxa3x記f(x)xsinx、3，則f(x)x3sinxxcosx2x記g(x)3sinxxcosx2x,貝Ug'(x)2cos

12、xxsinx2.因?yàn)間''(x)xcosxsinxcosx(xtanx),所以g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且2g'''(x)xsinx0,所以g''(x)在(0,萬(wàn))上單調(diào)遞減，且g''(x)0,g'(x)0.因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,2且g(x)0,故f'(x)§學(xué)0,因此f(x)x歹在(0,一)上單調(diào)遞減xx2由洛必達(dá)法則有f(x).xlim一sinxx1cosxsinxlim2limlimx03x2x06xx061一1即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1,即有f(x)-.66x(0,萬(wàn)

13、)恒成立.,，3，一時(shí)，不等式sinxxax對(duì)于通過(guò)以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足:可以分離變量；用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；出現(xiàn)“9”型式子.06.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年新課標(biāo)文2010海南寧夏文(21)已知函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(I)若f(x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù)f(x)的解析式;(n)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,求a的取值范圍解：(I)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)-6-歡迎下載精品文檔0時(shí)，f(x)0,即x(e設(shè)函數(shù)f(x)1e1)ax2.當(dāng)0時(shí),aR；當(dāng)0時(shí),x(ex1)ax2等價(jià)于ex1ax,也即aex1記g(x)，則g'

14、;(x)(x1)ex1記h(x)(x1)ex1,x(0,)，則h'(x)xex0,因此h(x)(x1)ex上單調(diào)遞增，且h(x)h(0)0,所以g'(x)”U0,從而g(x)1在(0,)在(0,)上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有x.e.limx0lim1,x01即當(dāng)x0時(shí),g(x)所以g(x)1,即有a1.綜上所述，當(dāng)a1,x0時(shí)，f(x)0成立.(i)證明：當(dāng)x1時(shí),(n)設(shè)當(dāng)x0時(shí),f(x)f(x)一xxa的取值范圍.ax17.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年大綱理2010全國(guó)大綱理(22)解：(I)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)f(x)0.當(dāng)0時(shí)，若xax0,f(x)ax當(dāng)0時(shí)

15、，當(dāng)x0時(shí),f(x)一不成立;1xax1ax0,則aR；0,則1exxax1等價(jià)于xax1xxexxex-7-歡迎下載精品文檔x記g(x)Jxe，則g'(x)2xe2xxxe2e1x2(xex)xe(xexx-72(ex)x22xe).記h(x)exx,則h'(x)xe2xeh''(x)xxe+e因此，h'(x)2xex在(0,)上單調(diào)遞增,h'(0)h'(x)0,即h(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且h(0)0,所以h(x)0.因此g'(x)=(xexx)2h(x)0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有XXxee1li

16、mg(x)limxx0x0xexlimx0exxxexxe1limx02exxexxe，、1，、g(x)-,即有g(shù)(x)28.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解設(shè)函數(shù)f(x)sinx2cosx所以a1，E一.綜上所述，a的取值范圍是22008年全國(guó)2理(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)如果對(duì)任何x>0,都有f(x)<ax,求a的取值范圍.(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1(2、2cosx)(22.cosx)當(dāng)2k：t當(dāng)2k：t2兀322t32兀34兀3因此f(x)在每一個(gè)區(qū)間f(x)在每一個(gè)區(qū)間2k冗(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)f(x)20,sinxaxcosx則aR；0,則sinx2cosxZ)Z)時(shí),時(shí),2冗一,2ku2冗,2k冗3ax等價(jià)于acosxcosx(,2.(kZ)sinxx(2cosx)-8-歡迎下載1212即f(x)即f(x)是增函數(shù),是減函數(shù).，即g(x)0;sinxx(2cosx)精品文檔則g'(x)2xcosx2sinxsinxcosxx22x(2cosx)記h(x)2xcosx2sinxsinxcosxx,h'(x)2cosx2xsinx2cosxcos2x12xsinxcos2x12sin2xsinx2sinx(sinxx)因此，