醫(yī)學數學-初等變換與線性方程組參考模板

1、一、矩陣的初等變換 定義 對矩陣進行下列三種變換，稱為矩陣的初等變換： （1）交換矩陣的任意兩行； （2）矩陣的任意一行乘以非零數 k ；（3）矩陣的任意一行乘以 k 加到另外一行。 、 行階梯形矩陣，特點是可以畫一條階梯線，線的左下方元素全為零；行簡化階梯形矩陣，其非零行的首非零元為 1，且非零元所在列的其它元素都為零。二、矩陣的秩 定義 當矩陣 A 為階梯形矩陣，或經過若干次初等變換可轉換為階梯形矩陣時，其非零行的行數稱為矩陣 A 的秩，記為 r(A)。二、線性方程組解的判定 定理 若 n 元線性方程組的系數矩陣為 A，增廣矩陣為 B，有 如果 r（B）= r（A）= n 則線性方程組有唯

2、一解； 如果 r（B）= r（A） n 則線性方程組有無窮多解； 如果 r（B） r（A） 則線性方程組無解。例6 解線性方程組 （1） 求增廣矩陣 B 的秩 r(B) 與系數矩陣 A 的秩 r(A)； （2） 判斷線性方程組解的情況； （3) 若有解，求解。 解 （1） 對增廣矩陣 B 做初等變換，化為階梯形矩陣，即 1 第一行乘以 -1 加到第二行，第一行乘以 -2 加到第三行；所以，得出：r(B) = 3，r(A) = 3. （2）由于 r(B) = r(A) = 3 n = 4 所以該線性方程組有無窮多解。 （3）繼續(xù)做初等變換，化為簡化階梯形矩陣2 第二行乘以 1/2 ；3 第三行加

3、到第一行；4 第二行加到第一行。得到 得到此線性方程組無窮多解的一般表達式為 （其中 c 為任意常數） 驗算取 c = 0 與 c = 1，分別得出 帶入原方程組方程組成立例7 已知線性方程組有解，求 的值，并解線性方程組。 解：對增廣矩陣 B 進行初等變換1 第一行的 -1 倍加到第三行；2 第二行的 -1 倍加到第三行；系數矩陣 A 的秩 r(A) = 2 由題意可知方程組有解，表明 r(B) = r(A) = 2，可得出 4 = 0解得 = 4即當 = 4 時，有 r(A) = r(B) = 2 3 = n 繼續(xù)做初等變換，化為簡化階梯矩陣，有3 第二行乘以 1/3；4 第二行加到第三行

4、；得到即方程組無窮多解的一般表達式為（c 為任意常數）驗算取 c = 0 與 c = 1，分別得出分別帶入 方程組成立，表明所求解無誤。 例6 解線性規(guī)劃問題 解 1 確定約束條件范圍 在 X1OX2 中，畫出邊界直線 x1 + 2x2 = 6、x1 = 4 和 x2 = 2 。 （a）對于 x1 + 2x2 = 6 取 x2 = 0，則 x1 = 6 得出與 x1 軸交點 （6，0）； 取 x1 = 0，則 x2 = 3 得出與 x2 軸交點 （0，3）。 （b）對于 x1 = 4 取 x1 = 4，x2 = 0 點做 x2 軸平行線。 （c）對于 x2 = 2 取 x1 = 0，x2 =

5、2 點做 x1 軸平行線。 判斷約束條件的取值區(qū)域 （a）對于 x1 + 2x2 6，取 x1 = 0，x2 = 0 有x1 + 2x2 = 0 6，表明直線 x1 + 2x2 = 6 左下側滿足x1 + 2x2 6。 （b）對于 x14，取 x1 = 0，x2 = 0 點，得 x1 = 0 4，表明直線 x1 = 4 左側滿足 x14。 （c）對于 x22，取 x1 = 0，x2 = 0 點，得 x2 = 0 2，表明直線 x2 = 2 下側滿足 x22。 約束條件范圍 考慮決策變量為非負的約束，即 x1 0，x2 0，得出約束條件范圍，即決策變量可取值范圍（可行域）為 OABCD。2 確定

6、目標函數取值趨向 選取適當的量值，在坐標系中畫出目標函數直線族中的一條直線。 設 Z = 2，有 x1 + 2x2 = 2 取 x2 = 0，則 x1 = 2 得出與 x1 軸交點為（2，0）； 取 x1 = 0，則 x2 = 1 得出與 x2 軸交點為（0，1）。 判定目標函數取值趨向 取 x1 = 0，x2 = 0，有 x1 + 2x2 = 0 2，表明目標函數向右上側移動量值增加，反之減少。 3 確定最優(yōu)解 由目標函數可移動區(qū)域 OABCD，得出 BC 之間連線上點的坐標均為為最優(yōu)解。 線段 BC 的表達式為 x1 + 2x2 = 6 （2 x1 4)即 x2 = -1/2x1 + 3 （2 x1 4)最優(yōu)解的一般表達式為 x